江南区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

江南区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如果双曲线经过点P （2，），且它的一条渐近线方程为y=x ，那么该双曲线的方程是（ ）
A ．x 2﹣
=1 B ．
﹣
=1 C ．
﹣
=1 D ．
﹣
=1
2． 设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则=（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ．
3． 某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．1+
B ．1+
C ．1+
D ．1+π
4． 特称命题“∃x ∈R ，使x 2+1＜0”的否定可以写成（ ） A ．若x ∉R ，则x 2+1≥0
B ．∃x ∉R ，x 2+1≥0
C ．∀x ∈R ，x 2+1＜0
D ．∀x ∈R ，x 2+1≥0
5． 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面ABCD 上的动点．若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则E 点位于（ ）
A ．点A 处
B ．线段AD 的中点处
C ．线段AB 的中点处
D ．点D 处
6． 复数满足2＋2z
1－i ＝i z ，则z 等于（ ）
A ．1＋i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．－1－i
7． 设函数f （x ）满足f （x+π）=f （x ）+cosx ，当0≤x ≤π时，f （x ）=0，则f （
）=（ ）
A．B．C．0 D．﹣
8．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（，
﹣），∠AOC=α，若|BC|=1，则cos2﹣sin cos﹣的值为（）
A．B．C．﹣D．﹣
9．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）
A．6 B．5 C．3 D．4
10．已知向量，，其中．则“”是“”成立的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
11．已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）
A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0
12．函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示：函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）
A．14 B．12 C．10 D．8
二、填空题
13．已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m=．
14．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单
位：小时）间的关系为
0e kt
P P-
=（
P，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了
消除27.1%的污染物，则需要___________小时.
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.
15．若函数f（x）=3sinx﹣4cosx，则f′（）=．
16．已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=．
17．若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是．
18．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为．
三、解答题
19．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2csinA=a．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，a2+b2=6，求△ABC的面积．
20．等差数列{a n}的前n项和为S n．a3=2，S8=22．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
21．（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法
知识竞赛.5名职工的成绩，成绩如下表：
（1
掌握更稳定；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差至少是4的概率.
22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．（1）求BD长；
（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．
23．2()sin 22
f x x x =+
. （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12
A f =，ABC ∆的面积为.
24．已知集合A={x|1＜x ＜3}，集合B={x|2m ＜x ＜1﹣m}． （1）若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； （2）若A ∩B=∅，求实数m 的取值范围．
江南区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，
可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），
代入点P（2，），可得
λ=4﹣2=2，
可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，
即为﹣=1．
故选：B．
2．【答案】C
【解析】解：由于q=2，
∴
∴；
故选：C．
3．【答案】A
【解析】解：由三视图知几何体的下部是正方体，上部是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为1；
正方体的边长为1，
∴几何体的体积V=V正方体+=13+××π×12×1=1+．
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及图中数据所对应的几何量．
4．【答案】D
【解析】解：∵命题“∃x∈R，使x2+1＜0”是特称命题
∴否定命题为：∀x∈R，都有x2+1≥0．
故选D．
5． 【答案】A
【解析】解：如图，
E 为底面ABCD 上的动点，连接BE ，CE ，D 1E ， 对三棱锥B ﹣D 1EC ，无论E 在底面ABCD 上的何位置， 面BCD 1 的面积为定值，
要使三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则侧面BCE 、CAD 1、BAD 1 的面积和最大， 而当E 与A 重合时，三侧面的面积均最大，
∴E 点位于点A 处时，三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大． 故选：A ．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
6． 【答案】
【解析】解析：选D.法一：由2＋2z
1－i ＝i z 得
2＋2z ＝i z ＋z ， 即（1－i ）z ＝－2，
∴z ＝－21－i ＝－2（1＋i ）2＝－1－i.
法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ）， 即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＝a －b
2b ＝a ＋b
， ∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i. 7． 【答案】D
【解析】解：∵函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x+π）=f （x ）+cosx ， 当0≤x ＜π时，f （x ）=1，
∴f （）=f （）=f （）+cos =f （）+cos +cos =f （）+cos +cos =f
（
）+cos
+cos
=f （
）+cos
+cos
+cos
=0+cos
﹣cos
+cos
=﹣．
故选：D ．
【点评】本题考查抽象函数以及函数值的求法，诱导公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
8． 【答案】 A
【解析】解：∵|BC|=1，点B 的坐标为（，﹣），故|OB|=1，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC=，
又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos （
﹣α）=
，﹣sin （
﹣α）=﹣
，
∴sin （
﹣α）=
．
∴cos α=cos[﹣（
﹣α）]=cos
cos （
﹣α）+sin sin （
﹣α）
=
+
=，
∴sin α=sin[﹣（﹣α）]=sin
cos （
﹣α）﹣cos sin （
﹣α）
=﹣=．
∴cos 2
﹣sin cos ﹣=（2cos
2
﹣1）﹣sin α=cos α﹣sin α
=
﹣
=
，
故选：A ．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．
9． 【答案】D
【解析】解：∵等比数列{a n }中a 4=2，a 5=5， ∴a 4•a 5=2×5=10，
∴数列{lga n }的前8项和S=lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1•a 2…a 8）=lg （a 4•a 5）4 =4lg （a 4•a 5）=4lg10=4
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．
10．【答案】A
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若，则成立；
反过来，若，则或
所以“”是“”成立的充分而不必要条件。

故答案为：A
11．【答案】B
【解析】解：∵函数是R上的增函数
设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）
由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a≤﹣2
故选B
12．【答案】A
【解析】解：由图象可知，
若f（g（x））=0，
则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；
由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；
g（x）=0时，x的值有3个；
g（x）=1时，x=2或x=﹣2；
若g （f （x ））=0，
则f （x ）=﹣1.5或f （x ）=1.5或f （x ）=0； 由图1知，
f （x ）=1.5与f （x ）=﹣1.5各有2个； f （x ）=0时，x=﹣1，x=1或x=0； 故n=7； 故m+n=14； 故选：A ．
二、填空题
13．【答案】8或﹣18
【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．
【解答】解：整理圆的方程为（x ﹣1）2++y 2
=1 故圆的圆心为（1，0），半径为1 直线与圆相切
∴圆心到直线的距离为半径
即
=1，求得m=8或﹣18
故答案为：8或﹣18 14．【答案】15
【解析】由条件知5000.9e k
P P -=，所以5e 0.9k
-=.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为00.729P ，
于是000.729e
kt P P -=，∴315e 0.7290.9e kt
k --===，所以15t =小时.
15．【答案】 4 ．
【解析】解：∵f ′（x ）=3cosx+4sinx ， ∴f ′（
）=3cos
+4sin
=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了导数的运算法则，掌握求导公式是关键，属于基础题．
16．【答案】 ．
【解析】解：∵
=1﹣bi ，∴a=（1+i ）（1﹣bi ）=1+b+（1﹣b ）i ，
∴，解得b=1，a=2．
∴|a﹣bi|=|2﹣i|=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
17．【答案】m＞1．
【解析】解：若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，
则命题“∀x∈R，x2﹣2x+m＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m＜0，
解得m＞1，
故答案为：m＞1
18．【答案】．
【解析】解：由题意画出几何体的图形如图
由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．
∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．
在RT△SHO中，OH=OC=OS
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，
∴体积V=Sh=××22×1=．
故答案是．
【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本小题满分10分）
解：（1）∵，
∴，…2分
在锐角△ABC中，，…3分
故sinA≠0，
∴，．…5分
（2）∵，…6分
∴，即ab=2，…8分
∴．…10分
【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
20．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=2，S8=22．
∴，
解得，
∴{a n}的通项公式为a n=1+（n﹣1）=．
（2）∵b n===﹣，
∴T n=2+…+
=2
=．
21．【答案】（1）90=甲x ,90=乙x ,5242=
甲s ,82=乙s ，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）2
1. 【解析】 试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共10种情况,抽取的两名职工的分数差至少是的事件用列举法求得共有种,由古典概型公式得出概率.
试题解析：解：（1）90939191888751
=++++=）（甲x ，9093929189855
1=++++=）（乙x 5
24])9093()9091()9091()9088()9087[(51222222
=-+-+-+-+-=甲s 8])9093()9092()9091()9089()9085[(5
1222222=-+-+-+-+-=乙s ∵8524<，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定. （6分）
考
点：1.平均数与方差公式；2.古典概型．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∴∠OAC=∠ODB ．
∵∠BOD=∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴
，
∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．… （2）证明：∵OC=OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD=∠BOD=∠A ．
∴∠AOD=180°﹣∠A ﹣∠ODC=180°﹣∠COD ﹣∠OCD=∠ADO ．
∴AD=AO …
【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．
23．【答案】（1）5,36k k ππππ⎡⎤+
+⎢⎥⎣⎦
（k ∈Z ）；（2）【解析】 试题分析：（1）根据3222262k x k πππππ+
≤-≤+可求得函数()f x 的单调递减区间；（2）由12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得3A π
=，再由三角形面积公式可得12bc =，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1
试题解析:（1）111()cos 22sin(2)2262
f x x x x π=
-=-+， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536
k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++（k Z ∈）.
考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用．
24．【答案】
【解析】解：（1）由A ⊆B 知：，
得m ≤﹣2，即实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]；
（2）由A ∩B=∅，得：
①若2m ≥1﹣m 即m ≥时，B=∅，符合题意；
②若2m＜1﹣m即m＜时，需或，
得0≤m＜或∅，即0≤m＜，
综上知m≥0．
即实数m的取值范围为[0，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答（2）题时要分类讨论，以防错解或漏解．。