精品解析：2019年上海市控江中学高三三模数学试题(解析版)

控江中学高三三模数学试卷
一.填空题
1.函数2()log (2)f x x =-的定义域是_______. 【答案】(2,)+∞ 【解析】
由20x -> 得2x > ,所以函数()()2log 2f x x =-的定义域是()2,+∞,故答案为()2,+∞.
2.已知一个圆锥的底面圆的半径为1，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】3π 【解析】
试题分析：∵圆锥的底面圆的半径为1，体积为
，∴圆锥的高为，∴圆锥的母线为
3=，∴圆锥的侧面积为133ππ⨯⨯=
考点：本题考查了圆锥的性质
点评：解决此类问题的关键是掌握圆锥中的体积和侧面积公式，属基础题 3.等差数列{}n a 中，31025a a +=，则其前12项之和12S 的值为______ 【答案】150 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式、前n 项和公式直接求解． 【详解】∵等差数列{a n }中，a 3+a 10＝25， ∴其前12项之和S 12()11212
2
a a =+=6（a 3+a 10）＝6×25＝150． 故答案为：150．
【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的公式，考查等差数列的性质的应用，考查运算求解能力，是基础题．
4.幂函数k y x =的图象经过点(14,2
)，则它的单调减区间为________ 【答案】(0,)+∞
【解析】 【分析】
将点(14,2)代入k
y x =,解得1
2
k =-
,从而可得幂函数的单调递减区间. 【详解】依题意得,1
42
k =,即1222k -=, 所以12
k =-
, 所以的解析式为:1
2y x -=, 所以单调递减区间为(0,)+∞. 故答案
: (0,)+∞.
【点睛】本题考查了幂函数
的单调区间,属于基础题.
5.三角形ABC 中，45A =︒，75B =︒，AB 边的长为BC 边的长为________. 【答案】4 【解析】 【
分析】
利用三角形内角和定理先求C 的值，再根据正弦定理求得BC 【详解】
45A ∠=︒，75B ∠=︒，
18060C A C ∴∠=︒-∠-∠=︒，
又2AB =sin sin BC AB
A C
=，可得：4
AB sin A BC sinC ⋅=
==
故答案为：4
【点睛】本题考查三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题
6.已知a 是实数，方程220x x a ++=的两根在复平面上对应的点分别为P 和Q ，若三角形POQ 是等腰直角三角形，则a =________. 【答案】2 【解析】 【分析】
由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程220x x a ++=的两复根为11x bi =-+，21x bi =--，根据条件
可得OP OQ ⊥，列方程求解即可
【详解】根据题意设方程220x x a ++=的两虚根为11x bi =-+，21x bi =--，b 为实数， 方程的两根在复平面上对应的点分别为P 和Q ，三角形POQ 是等腰直角三角形，
∴OP OQ ⊥，∴210OP OQ b ⋅=-=，
21b ∴=，2
1212a x x (bi )∴==-=，
a ∴的值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，向量垂直对应的数量积的坐标关系，属于基础题 7.设实数x 、y 满足||||1x y +≤，则2x y +的最大值为________ 【答案】2 【解析】 【分析】
作出可行域后,观察图象利用直线的纵截距最大找到最优解,代入即可求得. 【详解】作出不等式||||1x y +≤所表示的平面区域,如图:
令2z x y =+,则2y x z =-+,
要使z 最大,即直线2y x z =-+的纵截距最大,观察图象可知,最优解为(1,0), 所以2z x y =+的最大值为2102⨯+=. 故答案为:2
【点睛】本题考查了利用线性规划求目标函数的最大值.
8.已知偶函数()y f x =的定义域为R ，且当0x ≥时，()4f x x =-，则不等式()5xf x ≤的解为________. 【答案】(]5,-∞ 【解析】 【分析】
由函数是偶函数，0x …
时，()4f x x =-，先求出0x <时的()f x ，再根据二次不等式求解即可 【详解】
偶函数()y f x =的定义域为R ，且当0x …
时，()4f x x =-， ∴当0x <时，0x ->，()()4f x f x x -==--，
()5xf x …，
当0x …
时，原不等式可化为(4)5x x -…，可解得：15x -剟，所以05x 剟； 当0x <时，原不等式可化为(4)5x x --…，即2450x x ++≥，由∆<0可得x ∈R 恒成立，解得0x <， 综上所述，5x …， 故答案为：(]5,-∞
【点睛】本题考查偶函数对称区间上解析式的求解，二次不等式的解法，体现了分段函数分类讨论的思想，易错点为分类讨论过程中所求解集忽略分类讨论的大前提，直接书写答案 9.等比数列{}n a 的首项为1，公比为3，则极限12231
1221
lim n n n n a a a a a a a a a +→∞-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+的值为_______.
【答案】94
【解析】 【分析】
分别求出12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+前n 项和与1221n a a a -++⋅⋅⋅+对应的前21n -项的和，再化简求极限即可 【详解】
等比数列{}n a 的首项为1，公比为3，
∴1
3-=n n a ，∴1
21
193
33
3
n
n n n n n a a --+=⋅==， 1223119(19)
3(19)
n n n a a a a a a +-∴++⋯+=⋅-，
21
123211313
n n a a a a ---+++⋯+=-，
∴1223112321
1
1991999lim
lim()lim()34934419
n
n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a +→∞→∞→∞--
++⋯+-=⋅=⋅=+++⋯+-- 故答案为：
94
【点睛】本题考查等比数列的前n 项，数列的极限的求法，属于基础题
10.甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a 与b ，乙的骰子的点数为c ，则掷出的点数满足||a b c -=的概率为________（用最简分数表示）. 【答案】
536
【解析】 【分析】
分析可知，基本事件总数666216n =⨯⨯=，利用列举法表示掷出的点数满足||a b c -=对应的基本事件
()a,b,c 有30个，进而求得||a b c -=的概率
【详解】由题可知，基本事件总数666216n =⨯⨯=， 掷出的点数满足||a b c -=包含的基本事件(a ，b ，)c 有：
当1c =时，有：(1，2，1)，(2，1，1)，(2，3，1)，(3，2，1)，(3，4，1)，
(4，3，1)，(4，5，1)，(5，4，1)，(5，6，1)，(6，5，1)，共10个；
当2c =时，有：(1，3，2)，(3，1，2)，(2，4，2)，(4，2，2)，(3，5，2)， (5，3，2)，(6，4，2)，(4，6，2)，共8个；
当3c =时，有(1，4，3)，(4，1，3)，(2，5，3)，(5，2，3)，(3，6，3)，(6，3，3)，共6个； 当4c =时，有(1，5，4)，(5，1，4)，(2，6，4)，(6，2，4)，共4个； 当5c =时，有(1，6，5)，(6，1，5)，共2个； 合计共30个，
∴掷出的点数满足||a b c -=的概率为305
21636
p =
=． 故答案为：
536
． 【点睛】本题考查古典概型的基本求法、列举法表示概率事件，属于基础题
11.已知a 是实数，在8(1)ax +的二项展开式中，第1k +项的系数为18k k
k c C a +=⋅（0,1,2,3,,8k =⋅⋅⋅），若
1239c c c c <<<⋅⋅⋅<，则a 的取值范围为________.
【答案】8a > 【解析】 【分析】
若要满足1239c c c c <<<⋅⋅⋅<， 即1k k c c +>，即1188k k k k C a C a -->，分别对0,0a a ><进行分类讨论，利用不等式的性质化简，即可求得a 的取值范围
【详解】由题可得1k k C C +>，所以1188k k k k C a C a -->，所以0a ≠
当0a <时，必然会出现当k 为奇数时，即()21,14k n n =-≤≤，80k k C a ⋅<，而11
80k k C a -->，此时与
1k k c c +>相矛盾，故0a <舍去
当0a >时，118
8
k k
k k C a C
a
-->⇒1889k k C k
a C k
->=-，(0.1.28)k =⋯，
又8
(
)8998
max k k ==--，所以a 的取值范围为8a >， 综上所述，8a > 故答案为：8a >．
【点睛】本题考查二项式定理基本概念，不等式恒成立问题，属于中档题
12.设1238PP P P ⋅⋅⋅是平面直角坐标系中的一个正八边形，点i P 的坐标为(,)i i x y （1,2,,8i =⋅⋅⋅），集合{|A y =存在{1,2,,8}i ∈⋅⋅⋅，使得}i y y =，则集合A 的元素个数可能为________（写出所有可能的值）. 【答案】4或5或8 【解析】 【分析】
根据正八边形特征可分为三种情况研究集合A 的元素个数． 【详解】如图所示：
①如果正八边形边//x 轴，或正八边形隔两个顶点的对角线//x 轴，如3812////P P PP x 轴时，可得集合1{A y =，3y ，4y ，5}y ，此时A 的元素个数为4．
②如果正八边形隔一个顶点的对角线//x 轴，或正八边形隔三个顶点的对角线//x 轴，如3782////P P P P x 轴时，可得集合1{A y =，2y ，3y ，4y ，5}y ，此时A 的元素个数为5．
③如果正八边形边与对角线都与x 轴不平行时，可得集合1{A y =，2y ，3y ，4y ，5y ，6y ，7y ，8}y ，此时A 的元素个数为8．
综上可得：集合A 的元素个数可能为4或5或8． 故答案为：4或5或8．
【点睛】本题考查集合中元素的特征、正八边形特征、分类讨论方法，图形推理能力，属于中档题
二.选择题
13.方程2sin(2)103
x π
+-=在区间[0,4)π上的解的个数为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】D 【解析】 【分析】
将函数解的个数通过构造函数法转化为在对应区间交点个数，原式可变形为1232sin x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，分别构造
1sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭和212y =，结合[)04x ,π∈图像，采用数形结合法找出交点个数即可
【详解】由2sin(2)103x π
+
-=得1232sin x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，[]04x ,π∈，分别画出1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭和212y =在
[)04x ,π∈的图像，如图：
两函数图像有8个交点，故方程22103sin x π⎛
⎫+-= ⎪⎝
⎭在区间[)04,π上的解的个数为8个
故选：D
【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，数形结合求函数的交点，属于基础题
14.已知直线l 平行于平面α，平面β垂直于平面α，则以下关于直线l 与平面β的位置关系的表述，正确的是（ ） A. l 与β不平行 B. l 与β不相交
C. l 不在平面β上
D. l 在β上，与β平行，与β相交都有可能
【答案】D 【解析】 【分析】
以正方体为载体能推导出直线l 平行于平面α，平面β垂直于平面α，从而直线l 与平面β相交、平行或在平面内.
【详解】如下图所示：
在正方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD ⊥平面11CDD C ，
11//A B 平面ABCD ，11//A B 平面11CDD C ； 11//A D 平面ABCD ，11A D 与平面11CDD C 相交； 11//C D 平面ABCD ，11C D ⊂平面11CDD C .
所以，直线l 平行于平面α，平面β垂直于平面α， 则直线l 与平面β相交、平行或在平面内，故选：D.
【点睛】本题考查线面关系有关命题真假的判断，可以利用简单几何体作载体来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
15.设三角形ABC 是位于平面直角坐标系xOy 的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点P 满足：
222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++，已知动点P 的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形
ABC 的（ ）
A. 内心
B. 外心
C. 重心
D. 垂心
【答案】C 【解析】 【分析】
可设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ， ()33,C x y ，由222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++列
出关系式，由P 的轨迹为圆，求出圆心坐标即可
【详解】设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ， ()33,C x y ，由2
2
2
22
2
||||
||||||||
P
A P
B P
C O A O B O C ++=++得：222222222222112233112233()()()()()()x x y y x x y y x x y y x y x y x y -+-+-+-+-+-=+++++ 展开整理，得22123123332()2()0x y x x x x y y y y +-++-++=．
∴2222123123123123111[()][()][()()]339
x x x x y y y y x x x y y y -+++-++=+++++． ∴圆的圆心坐标为1231
(()3
x x x ++，1231())3
y y y ++，为三角形ABC 的重心．
故选：C
【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，重心坐标公式的应用，计算量偏大，化简时需进行整体代换，简化运算难度，属于中档题
16.已知()y f x =与()y g x =皆是定义域、值域均为R 的函数，若对任意x ∈R ，()()f x g x >恒成立，且
()y f x =与()y g x =的反函数1()y f x -=、1()y g x -=均存在，命题P ：“对任意x ∈R ，11()()
f x
g x --<恒成立”，命题Q ：“函数()()y f x g x =+的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（ ）
A. 命题P 真，命题Q 真
B. 命题P 真，命题Q 假
C. 命题P 假，命题Q 真
D. 命题P 假，命题Q 假
【答案】D 【解析】 【分析】
利用反函数的定义和原函数与反函数关于直线y x =的对称性，通过列举的方式加以说明即可
【详解】由题，可设1,0()11,0x y f x x x ⎧=⎪⎪==⎨⎪+≠⎪⎩与0,0()1,0x y g x x x ⎧=⎪⎪
==⎨⎪≠⎪⎩
其反函数10,1()1,11x y f x x x -⎧=⎪⎪==⎨⎪≠⎪-⎩，1
0,0()1,0x y g x x x
-⎧
=⎪⎪==⎨⎪≠⎪⎩均存在，
命题p ：对任意x ∈R ，11()()f x g x --<恒成立”由图象关于y x =直线对称可知p 是错误的． 如图：
对命题Q ：
可 设(),1,2,33,11,22
,3
x x x f x x x ≠⎧⎪=⎪
=⎨
=⎪⎪=⎩，()3
,2,30
,21,3
x x g x x x -≠⎧⎪
==⎨⎪-=⎩
令()()()h x f x g x =+，存在()()23=1h h =，根据反函数特征，若函数存在反函数，则不能存在一个y 值对应两个x 的情况，说明()h x 不存在反函数 故命题P 假，命题Q 假 故选：D ．
【点睛】本题考查命题真假的判断，反函数的性质，解题时，既要学会把握常规函数，也要学会列举特殊函数，特殊性往往是解题的关键
三.解答题
17.如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P 是圆锥的顶点，AB 是圆柱下底面的一条直径，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线，C 是弧AB 的中点.
（1）求异面直线1PA 与BC 所成的角的大小； （2）求点1B 到平面PAC 的距离.
【答案】（1
）arccos 10；（2
）11
. 【解析】 【分析】
（1）以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线1PA 与BC 所成的角的大小即可
（2）求出平面PAC 的法向量，利用向量法求出点1B 到平面PAC 的距离 【详解】（1）由题意以O 原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
如图
则()004P ,,，()10,1,2A -， ()0,1,0B ，()1,0,0,C ，
()10,1,2PA =--， ()1,1,0BC =-，
111cos ,||||
5PA BC PA BC PA BC ⋅<>=
=
=⋅
∴异面直线1PA 与BC 所成的角的大小为arccos 10
．
（2）()10,1,2B ， ()0,10A --， ()10,1,2PB =-， ()0,1,4PA =--， ()1,0,4PC =-， 设平面PAC 的法向量(),,n x y z =，则40
40
n PA y z n PC x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z =，得()4,4,1n =-，
∴点1B 到平面PAC 的距离为：1||||
33
PB n d n ⋅=
=
=
【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、点到平面的距离的求法，向量法在立体几何中的应用，属于中档题
18.已知α、λ是实常数，cos sin()
()sin()cos x x f x x x
λαα-=+.
（1）当1λ=，3
π
α=
时，求函数()y f x =的最小正周期、单调增区间与最大值；
（2）是否存在λ，使得()f x 是与α有关的常数函数（即()f x 的值与x 的取值无关）？若存在，求出所有满足条件的λ，若不存在，说明理由. 【答案】（1）T π=，单调递增区间是[,]2
k k π
ππ-
，k ∈Z ，最大值是
7
4
，当且仅当x k π=；（2）存在，1λ=-.
【解析】 【分析】
（1）将1λ=，3
π
α=
代入化简()f x 的表达式，求出最小正周期、单调增区间和最大值即可；
（2）根据（1）中化简的()f x 的解析式分析，当1
02
λ+=时，满足条件
【详解】cos sin()
()|
|sin()cos x
x f x x x
λαα-=+
22222cos (sin cos cos sin )x x x λαα=-- 2222(sin )cos cos sin x x λαα=+-
221sin cos cos22
2
x λλαα
++-=
+
，
（1）当1λ=，3
π
α=
时，3
()cos24f x x =+，
()f x ∴的周期T π=，当从cos21x =时，最大值为7
4
，
由222()k x k k Z πππ-+∈剟，得 ()2
k x k k Z π
ππ-
+∈剟，
()f x ∴的单调增区间为[,]()2
k k k Z π
ππ-+∈，
（2）221sin cos ()cos22
2
f x x λλαα
++-=
+
，
显然当
1
02
λ+=，即1λ=-时，()f x 的值与x 的取值无关，
∴存在1λ=-，使得()f x 是与α有关的常数函数．
【点睛】本题考查行列式的简单计算，三角函数的化简求值，三角函数的图象与性质，属于基础题 19.已知a 是实常数，0a >，2
1
()1f x ax x =-+
. （1）当2a =时，判断函数()y f x =在区间[1,)+∞上的单调性，并说明理由；
（2）写出一个a 的值，使得()0f x =在区间(0,)+∞上有至少两个不同的解，并严格证明你的结论. 【答案】（1）()y f x =在区间[1，)+∞上的单调递增（2）当1
4
a =时，()0f x =在区间(0,)+∞上有至少两个不同的解，证明见详解 【解析】 【分析】
（1）利用函数增减性的判断方法证明即可； （2）当1
4
a =
时满足，()0f x =在区间(0,)+∞上有至少两个不同的解，利用零点存在定理分别取123124x ,x ,x ===进行验证即可
【详解】（1）当2a =时，2
1
()21f x x x =-+
， 设121x x <<，则()()()()222121212122222112
11
22x x f x f x x x x x x x x x --=-+-=--
()()()
2221121222
12
2x x x x x x x x
--+=
，
其中()()()()()
22222222
12121211221122212=11x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-=-+-，
122110x x ,x x <<∴->，()()
22112221110x x x x x x ∴-+->，()()21f x f x ∴>
()y f x ∴=在区间[1，)+∞上的单调递增；
（2）当1
4
a =时，()0f x =在区间(0,)+∞上有至少两个不同的解，证明如下： 211
()14f x x x
=
-+，()f x 在(0,)+∞函数图像连续，利用零点存在定理，分别令123124x ,x ,x === ()()11
11104
f x f ==
-+>， ()()2111
210244
f x f ==
-+=-< ()()120f x f x ⋅<，故在()12x ,∈，()f x 至少存在一个零点 同理可得： ()()31
411016
f x f ==-+
>，()()230f f x x ⋅<， 故在()24x ,∈，()f x 至少存在一个零点
()0f x ∴=在区间(0,)+∞上有至少两个不同的解．
【点睛】本题考查定义法求证函数单调性，零点存在定理的具体应用，合理赋值是应用零点存在定理解题的关键，属于中档题
20.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点. （1）若直线3x =被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p 的值；
（2）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||
||
PA PF 的最大值；
（3）设2p =，1l 、2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A 、B ，2l 与抛物线Γ交于点C 、D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，求点G 的轨迹方程.
【答案】（1）3
2
p =；（2；（3）23y x =-. 【解析】 【分析】
（1）当3x =时，代入抛物线方程，求得y ，可得弦长，解方程可得p ；
（2）求得A 的坐标，设出过A 的直线为()2
p
y k x =+，tan k α=，联立抛物线方程，若要使||||PA PF 取到最
大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；
（3）求得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程
【详解】（1）由3x =
可得y =
，可得6=，解得3
2
p =； （2）A 是点(2
p
F ，0)关于顶点O 的对称点，可得(2p A -，0)，
设过A
的
直线为()2
p
y k x =+，tan k α=，
联立抛物线方程可得22
22
2
(2)04
k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得△2242(2)0k p p k p =--=，解得1k =±， 可取1k =，可得切线的倾斜角为45︒， 由抛物线的定义可得
||11
||sin(90)cos PA PF αα
==︒-，而α的最小值为45︒， ||
||
PA PF ； （3）由2
4y x =，可得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线2
4y x =，可得2
2
2
2
(24)0k x k x k -++=，
即有122
42x x k +=+
，1212
4
()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1
k
-，可得
23424x x k +=+，344y y k +=-，
点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，
可得4(x ，1234)(4y x x x x =+++-，1234)y y y y +++，
即为2
12342
4
444x x x x x k k =+++-=+
①， 12344
44y y y y y k k
=+++=-+
②， 联立①②式消元可得222
211()22y k k x k k
=-=+-=-，
则G 的轨迹方程为22y x =-
【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，
向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题
21.设各项均为整数的无穷数列{}n a 满足：11a =，且对所有*n ∈N ，1||n n a a n +-=均成立. （1）写出4a 的所有可能值（不需要写计算过程）；
（2）若21{}n a -是公差为1的等差数列，求{}n a 的通项公式；
（3）证明：存在满足条件的数列{}n a ，使得在该数列中，有无穷多项为2019.
【答案】（1）5-，3-，1-，1，3，5，7；（2）1
212
122
n n n k a n n k +⎧=-⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎩，*k ∈N ；（3）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）通过列举法表示出所有可能值
（2）分析可知21{}n a -表示的是原数列中的奇数项，求得奇数项的通项公式，再利用相邻两项差的绝对值的关系构造关系式解出偶数项，进而求得通项
（3）可利用（2）中的数列，构造一个循环数列，则可证明循环数列中存在无穷多项为2019 【详解】（1）5-，3-，1-，1，3，5，7； （2）21{}n a -是公差为1的等差数列，
∴数列{}n a 的所有奇数项为公差为1的等差数列， ∴当21n k =-时，1
2
n n a +=
当2n k =时，由1||n n a a n +-=可知：11||1||n n n n a a n a a n -+-=-⎧⎨-=⎩，即||12
2||2n n n a n n a n
⎧-=-⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩
解得：2122n n n
a -=-=，∴1
212122
n n n k a n n k +⎧=-⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎩；
（3）由（2）可知存在一个数列{}n a 使得奇数项为从1开始的连续自然数，则易知40372019a =， 然后自4037项开始，构造奇数项为公差为1-的等差数列，由（2）可知，
当21n k =+，2018k …
时，80752
n n
a -= 当2n k =时，由1||n n a a n +-=可知11||1
||n n n n a a n a a n
-+-=-⎧⎨
-=⎩
即8076||128074||2
n n n a n n a n -⎧-=-⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得：80742n n a +=
则当奇数项取至1时，重复第一段的数列，得到一个周期数列，在此周期数列中，存在无穷多项为2019，即可得证．
【点睛】本题考查数列递推公式的应用，数列通项公式的求法，构造数列法在循环数列中的应用，解题关键在于能通过（2）想到去构造一个循环数列，以此来解决出现无穷多项为2019的数出现的问题，试题（1）（2）偏向于基础考查，（3）的难度偏高。