强磁体在铜管(或铝管)中下落时的涡流分析

强磁体在铜管（或铝管）中下落时的涡流分析
江苏省镇江中学吴好邮编：212017
电子信箱：电话：
一、问题的引出：
《人教版高中物理选修3-2课本》“第四章电磁感应”“第7节涡流电磁阻尼和电磁驱动”“问题与练习”第3题：
“在科技馆中常看到这样的表演：一根长1m左右的空心铝管竖直放置（见图1甲），把一枚磁性很强的小圆柱型永磁体从铝管上端放入管口，圆柱直径略小于铝管的内径。

根据一般经验，小圆柱自由落下1m左右的时间不会超过0.5s，但把小圆柱从上端管口放入管中后，过了许久它才从铝管下端落出。

小圆柱在管内运动时，没有感觉到它跟铝管内壁发生摩擦，把小圆柱靠着铝管，也不见它们相互吸引。

是什么原因使小圆柱在铝管中缓慢下落呢？如果换用一条有裂缝的铝管（见图1乙），圆柱在铝管中的下落就变快了，这又是为什么？”。

《人教版高中物理选修3-2教师教学参考书》提供的参考答案：
“在磁性很强的小圆片下落的过程中，没有缺口的铝管中的磁通
量发生变化（小圆片上方铝管的磁通量减小，下方铝管的磁通量增
大），所以铝管中将产生感应电流，感应电流的磁场将对下落的小圆
片产生阻力作用，小圆片在铝管中缓慢下落；如果小圆片在有缺口的
铝管中下落，尽管铝管中也会产生感应电流，感应电流的磁场将对下
落的小圆片也产生阻力，但这时的阻力非常小，所以小圆片在铝管中
图1
下落得比较快。

”。

本人在教学过程中切身体会到新教材在“涡流电磁阻尼和电磁驱动”一节编写中，实例丰富，有趣适用。

把“强磁体在铝管中下落的实验现象”引入高中物理习题，对拓展高中学生的视野很有好处。

该实验是大学物理探究实验的内容，许多大学课本都有类似于这样的习题：
“在一铅直放置的足够长的铜管中，有一条形磁铁从管口自由下落，如铜管不动，则条形磁铁的运动将
(A) 作自由落体运动
(B) 先作加速运动，当速度达到一定值后,一直作匀速直线运动
(C) 先作加速运动，次作匀速运动,最后作减速运动
(D) 作加速度小于g的匀加速落体运动”
该题提供的标准答案是B
2006年，上海交通大学还把该题作为保送生和自主招生选拔试题。

笔者认为人教版的这道试题选得好，但对于现象的解释有商榷之处：
对于管子相对于磁体不太长时，“在磁体下落的过程中（小圆片上方铝管的磁通量减小，下方铝管的磁通量增大），所以铝管中将产生感应电流，感应电流的磁场将对下落的小圆片产生阻力作用，小圆片在铝管中缓慢下落；”的观点，可以接受。

但管子相对于磁体足够长时，磁体下落到管子一定深度后，小圆片上、下方铝管的磁通量都可以视为不变，但实验现象可以证实磁体先作加速运动，当速度达到一定值后，一直作匀速直线运动。

由此可见对于这个实验现象的解释还要作进一步的研究。

以下将笔者对于这个实验现象的研究介绍如下：
二、强磁体在铝管（铜管）中下落过程的实验现象：
1、磁极轴向分布的强磁体下落的现象
如图2所示，将长度1.60m，内径12mm，外径15mm的紫铜管竖直放置，用钕铁硼材料制成的圆柱形磁极在轴向分布的磁体（直径10mm，高度60mm）从管内无初速释放，大约经过8s磁体才从管的下端落出。

2、磁极在水平方向的强磁体下落的现象
如图3所示，若将长度、宽度、厚度分别是40mm 、10mm 、3mm 的磁片从上述直管中下落，大约经过2s 磁体就从管的下端落出。

三、对实验现象的探究：
1、对磁极轴向分布的强磁体下落现象的解释 （1）定性说明
管子较长时，磁铁在管中下落一定距离后，磁铁上、下方的磁通量均可以视为不变，根据法拉第电磁感应定律，管内的总电动势为零，管内的涡流是怎样形成的呢？
若将磁体看成不动，管子相对于磁体向上运动，由于存在磁感应强度沿半径方向的分量，管子在做切割磁感线运动，由右手定则可以得出，磁铁上下管子中的涡流方向相反。

磁铁上面部分管中的涡流相当于上面是N 级，下面是S 级的磁体；磁铁下面部分管中的涡流相当于上面是S 级，下面是N 级的磁体，具体解释见图4。

上述分析告诉我们，由于管子的涡流对圆柱形磁体的作用是“上拉下顶”，所以形成对其运动过程的阻力。

（2）定量解释
由于管子的所有部分以相同的速度做切割磁感线运动，所以管子的任一部分都是电源。

管子中长度为L ∆（见图5）的任一小段沿圆周绕行一周的动生电动势，等于沿圆周绕行一周的电压降之和。

管中任意两点间的电压为零。

先计算长为L ∆，内半径为1r ，外半径为2r 的一段直管沿圆周绕行一周的电阻
L R ∆。

离轴心r 处，截面为r L ∆⋅∆沿圆周绕行一周的电阻的倒数为：
r
r L R πρ21∆=∆ 所以：1
2ln 2212
1r r
L r r L R r r r L ⋅∆=∆⋅∆⋅=∑=∆πρπρρ ①
由于2r 略大于1r ，可以认为在管壁内相对于磁体的某处磁感应强度沿径向的不同位置，大小相同。

当管子与磁铁的相对速度大小为v 时，忽略1r 和2r 的差别。

L ∆段的电动势： v r B E rz z ⋅⋅=π2 ② L ∆段的电流L
z
z R E i ∆=
③ L ∆段电流受到的磁极的作用力
r i B F z rz z π2⋅⋅=∆ ④
解①②③④⑤得：
L r r B r v F rz z ∆⋅⋅⋅⋅=
∆ρ
π1
2
2
2ln
2 ⑤
取如图5所示坐标系得：
z B r r r v F rz z ∆⋅⋅⋅⋅=
∆2
1
22
ln
2ρ
π ⑥ 对z F ∆沿z 轴积分可以求出磁极对涡流的作用力。

设n
r rz z B B 0=（1-≤n ），
所以当管子长度达到一定值后，dz B rz ⎰
2
趋于某一个常量，读者可设定数据自己运算。

其物理含义是管子靠近磁极附近的涡流较强，离磁极较远的部分涡流很弱，管子靠近磁极附近的涡流对磁体的电磁力起主要作用。

上下涡流反作用于磁极形成对
运动磁体的阻力。

作为估算上述方法得出收尾速度和实验情形是吻合的，笔者和学生分别用长度分别是1m 、1.6m 、2m 、6m （在户外）的铝管做实验，磁铁在管中下落不到20cm ，手握直管的力就不再变化，说明此后磁铁做匀速运动。

测量磁铁在管中的运动时间，得出磁铁匀速下落的速度都在20cm/s 左右。

2、对磁极在水平方向的强磁体下落现象的解释 （1）导体板与磁场相对运动时的安培力计算
如图6所示，当导体板相对磁场向左运动时，将穿过导体板的磁感应线看成均匀。

假设磁铁和导体板的相对运动速度大小为v ，导体板在磁场中的几何尺寸也标在图上，如图7所示。

导体板的感应电动势大小为
Bbv E = ⑦
磁场作用区域的导体部分可看成电源内部，设导体的电阻率为ρ，电源内阻为
ac
b
r ρ= ⑧
根据涡电流的方向，相邻电流线间的电阻可以看成并联，由于导体板的面积比磁场区域面积大的多，可以认为外电路电阻为零。

因此感应电流的上限为
ρ
Bacv r E I ==
⑨ 磁场对导体板的作用力即磁场对电流的作用力的上限为
v abc
B BIb F ⋅=
=ρ
2 ⑩
由⑩式可以看出，在导体板的面积相对于导体在磁场区域的面积较大的情况
下，磁感应强度越强，磁场区域内的导体体积越大，磁场与导体板的相对速度越大，导体的电阻率越小，磁场对铝板的作用力即电磁驱动力的大小越大。

（2）磁极在水平方向的强磁体下落时，铜管中的涡流分布
将图3中下落的磁铁看
着不动，管子相对于磁体向上运动，自右向左观察管的右边，其涡流分布与图7类似，涡流反作用于磁极的作用力向上；管子左面的涡流分布与图7中磁场、电流反向，涡流反作用于磁极的作
用力向上。

下面粗略计算涡流反作用于磁极的磁力上限大小。

将实验数据mm a 40=，mm b 10=，mm c 5.1=，T B 05.0=，
s m v 8.0=，m ⋅Ω⨯=-8107.1铜ρ代入④式，并注意到两面涡流反作用于磁极得：
N F 07.02=
根据磁铁最终匀速得mg F =2，磁铁的质量为kg m 007.0=，这个数值和实验选用的磁铁质
量还是比较接近的。

3、磁铁在有裂缝的铝管中下落较快的原因分析
由于管子整体相对于磁体做切割磁感线运
动，关于磁体上下对称处的管子中的感应电动势大小相同、方向相反，通过裂口处形成闭合回路（如图8所示）。

由于裂口表面薄层的电阻较
大，磁铁与管子的相对速度较小时，感应电流较弱，所以涡流反作用于磁极的电磁力较弱。

要使涡流反作用于磁极的电磁力等于磁铁的重力，磁体必须以较快的速度下落。

简单的说，就是回路的电阻变大，要达到和无裂口的管子相同的涡流，必需要增大电动势，即增大管子与磁体的相
对运动速度。

四、建议
1、对于本文开头的练习题分两种类型的电磁阻尼现象给出。

（1）磁极轴向分布的强磁体下落的现象 （2）磁极在水平方向的强磁体下落的现象
2、对于磁极轴向分布的强磁体下落的现象解释用管子切割磁感线为宜，用右手定则判定感应电流方向。

进一步给出图4的涡流分布，现象一目了然。

3、对于有裂口的管子的涡流分析，若让学生认识到要形成回路，必需要关于磁体上下对称选择回路（这样分析比较简单）。

由于电流要经过缺口处，相对于无裂口的管子的电阻变大，相同电动势的情况下电流变小。

要达到和无裂口的管子相同的涡流，必需要增大电动势，即增大管子与磁体的相对运动速度。

这样分析比较准确，学生也容易理解。

五、说明
在探究“强磁体在铜管（或铝管）中下落现象”时，还发现了一个有趣的现象。

用普通条形磁铁在空气中竖直下落，下落高度在2m 左右，磁体始终处于竖直状态。

但用“直径10mm ，高度60mm ”的磁极轴向分布的圆柱形钕铁硼磁铁，在竖直状态无初速下落，发现下落30cm 左右磁铁就转了90°。

若干次实验说明，每次旋转都是沿南北方向偏转。

将磁体反复调整角度，在角度适当时能够发现磁体在下落过程中，一直处于平动状态。

这说明地磁场对强磁体的磁力作用是比较明显的。

这同时也提供了一种测定地磁场方向的简单方法。

这种现象可以作为学生的探究实验，它的名字可以叫“用落体法测定地磁场的方向”。

“强磁体在铜管（或铝管）中下落现象”；“导体板与磁场相对运动时”的电磁驱动小车，本人均设计了演示实验，演示效果较好。

以下附《自制电磁驱动演示实验介绍》；《强磁体在铝管（铜管）中下落过程的实验现象》和《用落体法测定地磁场的方向》演示实验说明。

自制电磁驱动演示实验介绍
钕铁硼强力磁铁其磁极附近的磁感应强度可以达到B =0.05T （用霍尔传感器测出），利用其强磁性，可以使许多电磁感应实验现象更加明显，以下是笔者利用钕铁硼磁铁自制的电磁驱动演示实验的介绍。

1、实验现象：
（现象1）在水平桌面上放置一根学生用铝制刻度尺，将磁铁的磁极贴近刻度尺表面掠过刻度尺，很容易发现刻度尺随着磁铁移动。

做这个演示实验时由于磁铁与刻度尺靠的比较近，容易碰到刻度尺，学生会误以为是磁铁与刻度尺的滑动摩擦引起刻度尺的移动。

为了使学生确信实验的真实性，可以将学生用铝制刻度尺放在比较光滑的硬质
薄板（如普通的贺年卡、薄铝板
等）上，将磁铁的磁极贴着薄板的背面滑动，能明显观察到刻度尺在硬质薄板上滑动。

（现象2）如图9所示，用
手抓住磁铁，将磁铁的磁极从铝
板的表面掠过，手上会感觉到明显的阻力。

将铝板放在铝制的小车上，当磁铁与铝板相对运动
时，会看到铝板带动小车的加速运动。

磁铁的磁极离铝板越近、磁铁与铝板的相对速度越大，铝板带动小车的运动现象越明显。

2、器材制作：
这里介绍（现象2）的器材：磁
铁可以用废旧电动自行车的定子上的
磁片制成，也可以到厂家加工。

铝板面积大小约40(cm )20⨯(cm )，厚度约0.3mm .铝制小车是用铝合金窗框的方管边角料制成。

利用铝合金方管
的好处是可以增加铝板与其接触处的
厚度，也就是增加磁场作用区域的金属的厚度（本文在后面进行理论分析）；再就是利用方管的高度，避免
磁铁与小车铁质部分的物体由于磁铁的吸引而影响演示效果，最后将铝板与铝合金方管用铝焊焊接而成。

3、原理分析：
当磁铁靠近铝板时，将穿过铝板的磁感应线看成均匀如图10所示。

假设磁铁和铝板的相对运动速度大小为v ，铝板在磁场中的几何尺寸也标在图上。

见图11，将磁体看成不动，铝板相对磁场向左运动，铝板的感应电动势大小为
Bbv E = ①
磁场作用区域的导体部分可看成电源内部，设导体的电阻率为ρ，电源内阻为
ac
b
r ρ
= ② 根据涡电流的方向，相邻电流线间的电阻可以看成并联，由于铝板的面积比磁场区域面积大的多，可以认为外电路电阻为零。

因此感应电流的上限为
ρ
Bacv r E I ==
③ 磁场对铝板的作用力即磁场对电流的作用力的上限为
v abc
B BIb F ⋅=
=ρ
2 ④
若取磁极面积（4cm ⨯2cm ），铝板厚度0.3mm ，B=0.05T ，v =5m/s,
m ⋅Ω⨯=-8
108.2铝ρ代入④式得：F=0.1N 。

由④式可以看出，在导体板的面积相对于导体在磁场区域的面积大的情况下，磁感应强度越强，磁场区域内的导体体积越大，磁场与导体板的相对速度越大，导体的电阻率越小，磁场对铝板的作用力即电磁驱动力的大小越大。

在其它条件一定的情况下，电磁驱动力与磁感应强度的平方成正比，所以选用强磁材料可以使演示效果非常明显。

此外，导体板不宜太厚，厚度大会增加导体板的质量，同时由于从磁极处向外随距离增大，磁感应强度减小很快，因而在其它条件不变的条件下，作用力的增加并不是与厚度正比。

因此本实验用适当厚度的铝板，并同时适度增加磁场作用区域的铝板厚度，增强演示效果。

实物示意图见图
强磁体在铝管（铜管）中 下落过程的实验现象
1、磁极轴向分布的强磁体下落的现象
如图13所示，将长度1.60m ，内径12mm ，外径15mm 的紫铜管竖直放置，用钕铁硼材料制成的圆柱形磁极在轴向分布的磁体（直径10mm ，高度60mm ）从管内无初速释放，大约经过8s 磁体才从管的下端落出。

2、磁极在水平方向的强磁体下落的现象
如图14所示，若将长度、宽度、厚度分别是40mm 、10mm 、3mm 的磁片从上述直管中下落，大约经过2s 磁体就从管的下端落出。

用落体法测定地磁场的方向
1、 用普通条形磁铁在空气中竖直下落，下落高度在2m 左右，磁体始终处于竖
直状态。

这说明地磁场对弱磁性的磁体，磁力作用影响较小。

2、 用“直径10mm ，高度60mm ”的磁极轴向分布的圆柱形钕铁硼磁铁，在竖
直状态无初速下落，发现下落30cm 左右磁铁就转了90°。

若干次实验说明，每次旋转都是沿南北方向偏转。

这说明地磁场对强磁体的磁力作用是非常明显的。

3、 将磁体反复调整角度，在角度适当时能够发现磁体在下落过程中，一直处于
平动状态。

设法测出磁体与水平方向的夹角，即地磁场的方向与水平方向的夹角。