广铁一中高一期中考试数学复习卷

广铁一中高一期中考试数学复习卷
班级：姓名
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|x2−2x−3<0}，集合B={x|2x+1>1}，则∁B A=()
A. [3,+∞)
B. (3,+∞)
C. (−∞,−1]∪[3,+∞)
D. (−∞,−1)∪(3,+∞)
2.已知集合A={x||x−a|≤1}，B={x|x2−4x≥0}，若A∩B=ϕ，则实数a的取
值范围是()
A. (0,4)
B. (0,3)
C. (1,3)
D. (2,3)
3.若a>b>1，0<c<1，则()
A. a c<b c
B. ab c<ba c
C. a log b c<b log a c
D. log a c<log b c
4.函数f(x)=1
lg(x+1)
+2−x的定义域为()
A. (−1,0)∪(0,2]
B. [−2,0)∪(0,2]
C. [−2,2]
D. (−1,2]
5.若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)+f(x+1
3
)的定义域为()
A. [−1
3,2
3
] B. [−1
3
,1
2
] C. [0,1
2
] D. [0,1
3
]
6.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递增，则满足f(2x−1)<f(1
3
)的x取值范围是()
A. (1
3,2
3
) B. [1
3
,2
3
) C. (1
2
,2
3
) D. [1
2
,2
3
)
7.当x∈R时，不等式kx2−kx+1>0恒成立，则k的取值范围是()
A. (0,+∞)
B. [0,+∞)
C. [0,4)
D. (0,4)
8.设a=log48，b=log0.48，c=20.4，则()
A. b<c<a
B. c<b<a
C. c<a<b
D. b<a<c
9.设函数f(x)=log2(3x−1)，则使得2f(x)>f(x+2)成立的x的取值范围是()
A. (−5
3,+∞) B. (4
3
,+∞)
C. (−∞,−1
3)∪(4
3
,+∞) D. (−1
3
,+∞)
10.若函数f(x)=(3−a)x−3,x≤7
a x−6,x>7单调递增，则实数
a的取值范围是()
A. (9
4,3) B. [9
4
,3) C. (1,3) D. (2,3)
11.已知函数f(x)=4x2+kx−1在区间[1,2]上是单调函数，则实数k的取值范围是(
)
A. (−∞,−16]∪[−8,+∞)
B. [−16,−8]
C. (−∞,−8)∪[−4，+∞)
D. [−8,−4]
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f (x )=ax 2+(b −3)x +3，x ∈[a 2−2,a ]是偶函数，则a +b =______． 14. 已知f (2x +1)=x 2+x ，则f (x )=______．
15. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递增，若实数a 满足
f (2|a−1|)>f (− 2)，则a 的取值范围是______ ． 16. 已知函数f (x )= −x 2−2x ,x ≤0|lo
g 2x |,x >0
，
关于x 的方程f (x )=m (m ∈R )有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4则x 1x 2x 3x 4的取值范围为______．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. 已知集合A ={x |3≤3x ≤27}，B ={x |log 2x >1}．
(1)求A ∩(∁R B )；
(2)已知集合C ={x |1<x <a }，若C ∩A =C ，求实数a 的取值集合．
18. (1)计算：2log 32−log 3
329+log 38−25 log 53；
(2)(21
4) 1−(−7.8)0
−(33
8) 2+(2
3)−2．
19.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b
是奇函数．
2x+1+a
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)若对任意的t∈R，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0恒成立，求k的取值范围．
20.已知函数f(x)=ax2−4ax+b(a>0)在区间[0,1]上有最大值1和最小值−2．
(1)求a，b的值；
(2)若在区间[−1,1]上，不等式f(x)>−x+m恒成立，求实数m的取值范围．
21.设函数f(x)是增函数，对于任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求f(0)；
(2)证明f(x)奇函数；
(3)解不等式1
2f(x2)−f(x)>1
2
f(3x)．
22.已知函数f(x)=|x|(x−a)，a为实数．
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在[0,2]为增函数，求实数a的取值范围；
(3)是否存在实数a(a<0)，使得f(x)在闭区间[−1,1
2
]上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
广铁一中高一期中考试数学复习卷1
答案和解析
1. A
2. C
3. C
4. A
5. C
6. A
7. C
8. A
9. B10. B11. A12. D
13. 414. 1
4x2−1
4
15. (1
2
,3
2
)16. (0,1)
1解：A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，
B={x|2x+1>1}={x|x>−1}，∁B A=[3,+∞)．
故选A．
2. 解：集合A={x||x−a|≤1}={x|−1≤x−a≤1}={x|a−1≤x≤a+1}
B={x|x2−4x≥0}={x|x(x−4)≥0}={x|x≤0或x≥4}
若A∩B=ϕ，则a+1<4
a−1>0
在数轴上表示如下
解得1<a<3．
故选C
3.解：∵a>b>1，0<c<1，
∴函数f(x)=x c在(0,+∞)上为增函数，故a c>b c，故A错误；
函数f(x)=x c−1在(0,+∞)上为减函数，故a c−1<b c−1，故ba c<ab c，即ab c>ba c；故B错误；
log a c<0，且log b c<0，log a b<1，即log c b
log c a =log a c
log b c
<1，即log a c>log b c.故D错误；
0<−log a c<−log b c，故−b log a c<−a log b c，即b log a c>a log b c，即a log b c<b log a c，故选C．
4.解：由题意得：
x+1>0
x+1≠1
2−x≥0
解得：−1<x≤2且x≠0，
故选A．
5. 解：因为函数f(x)的定义域为[0,1]，
则0≤2x≤1，且0≤x+1
3≤1，即0≤x≤1
2
，且−1
3
≤x≤2
3
，
解得0≤x≤1
2
，
所以函数f(2x)+f(x+1
3)的定义域为[0,1
2
].
故选：C．
6.解：∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(|x|)，∴不等式等价为f(|2x−1|)<f(1
3
)，
∵f(x)在区间[0,+∞)单调递增，∴|2x−1|<1
3，解得1
3
<x<2
3
．
故选A．
则对应函数的图象开口朝上且与x轴无交点，
则k>0
Δ=k2−4k<0
解得：0<k<4，
综上k的取值范围是[0,4)，
故选C．
8.解：∵b的底数大于0小于1而真数大于1∴b<0
∵a=log48=3
2
c=20.4<20.5=2<3
2
，∴a>c>b
故选：A．
9. 解：∵函数f(x)=log2(3x−1)，
则不等式2f(x)>f(x+2)可化为：2log2(3x−1)>log2(3x+5)，即(3x−1)2>3x+5，且3x−1>0，
解得：x>4
3
，
即使得2f(x)>f(x+2)成立的x的取值范围是(4
3
,+∞)．
故选B．
10. 解：∵函数f(x)=(3−a)x−3,x≤7
a x−6,x>7单调递增，
由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3−a>0且a>1．但应当注意两段函数在衔接点x=7处的函数值大小的比较，
即(3−a)×7−3≤a，可以解得a≥9
4
，
综上，实数a的取值范围是[9
4
,3)．
故选B．
11.．解：函数f(x)=4x2+kx−1的对称轴为x=−k
8
，
若f(x)在区间[1,2]上是单调增函数，
可得−k
8
≤1，解得k≥−8；
若f(x)在区间[1,2]上是单调减函数，
可得−k
8
≥2，解得k≤−16．
综上可得k的范围是(−∞,−16]∪[−8,+∞)．
故选A．
12.解：∵f(x)=y=2x2−e|x|，
∴f(−x)=2(−x)2−e|−x|=2x2−e|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8−e2∈(0,1)，∴排除A，B；
当x∈[0,2]时，f(x)=y=2x2−e x，
∴f′(x)=4x−e x=0有解，
故函数y=2x2−e|x|在[0,2]不是单调的，∴排除C，
13.解：∵函数f (x )=ax 2+(b −3)x +3，x ∈[a 2−2,a ]是偶函数
∴a 2−2+a =0∴a =−2或1
∵a 2−2<a ∴a =1
∵偶函数的图象关于y 轴对称， ∴−
b−32a
=0，∴b =3
∴a +b =4． 故答案为4．
14. 解：令2x +1=t ，则x =
t−12
，代入可得
f (t )=(
t−12)2
+
t−12=14t 2−1
4，
故f (x )=1
4x 2−1
4， 故答案为：1
4x 2−1
4
15. 解：
∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递增，
∴f (x )在区间(0,+∞)上单调递减，
则f (2|a−1|)>f (− 2)，等价为f (2|a−1|)>f ( 2)， 即− 2<2|a−1|< 2， 则|a −1|<1
2，即1
2<a <3
2， 故答案为：(12,32)
16. 解：作函数f (x )= −x 2−2x ,x ≤0|log 2x |,x >0
的
图象如下，
结合图象可知，−log 2x 3=log 2x 4， 故x 3x 4=1，
令−x 2−2x =0得，x =0或x =−2， 令−x 2−2x =1得，x =−1； 故x 1x 2∈(0,1)， 故x 1x 2x 3x 4∈(0,1)． 故答案为：(0,1)．
17. 解：(1)集合A ={x |3≤3x ≤27}={x |3≤3x ≤33}={x |1≤x ≤3}， B ={x |log 2x >1}={x |log 2x >log 22}={x |x >2}， ∴∁R B ={x |x ≤2}，∴A ∩(∁R B )={x |1≤x ≤2}； (2)∵C ∩A =C ，∴C ⊆A ，①当a ≤1时，C =⌀，此时C ⊆A ； ②当a >1时，集合C ={x |1<x <a }，C ⊆A ，则1<a ≤3， 综上可得，实数a 的取值集合是(−∞,3]．
18. 解：(1)原式=log 3
22×8
329
−52log 53 =2−32=−7．
(2)原式=(3
2)2×1
2−1−(32)3×2
3+(3
2
)2 =32−1−94+94 =1
2．
19. 解：(Ⅰ)因为f (x )是奇函数，所以f (0)=0，即b−1
a +2=0⇒
b =1∴f (x )=1−2x
a +2x +1
又由f (1)=−f (−1)知1−2a +4
=−
1−
12
a +1
⇒a =2．所以a =2，b =1．
经检验a =2，b =1时，f (x )=−2x +12+2
是奇函数．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )=
1−2x 2+2x +1
=−12
+
1
2x +1
，易知f (x )在(−∞,+∞)上为减函数．
又因为f (x )是奇函数，所以f (t 2−2t )+f (2t 2−k )<0 等价于f (t 2−2t )<−f (2t 2−k )=f (k −2t 2)， 因为f (x )为减函数，由上式可得：t 2−2t >k −2t 2．即对一切t ∈R 有：3t 2−2t −k >0，从而判别式△=4+12k <0⇒k <−1
3．所以k 的取值范围是k <−1
3．
20. 解：(1)f (x )=a (x 2−4x )+b =a (x −2)2+b −4a
∵a >0，∴函数图象开口向上，对称轴x =2，∴f (x )在[0,1]递减； ∴f (0)=b =1，且f (1)=b −3a =−2，∴a =b =1； (2)f (x )>−x +m 等价于x 2−4x +1>−x +m ，
即x 2−3x +1−m >0，要使此不等式在[−1,1]上恒成立，
只需使函数g (x )=x 2−3x +1−m 在[−1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )=x 2−3x +1−m 在[−1,1]上单调递减，
∴g (x )min =g (1)=−m −1，由−m −1>0得，m <−1． 因此满足条件的实数m 的取值范围是(−∞,−1)．
21. 解：
(1)由题设，令x =y =0，恒等式可变为f (0+0)=f (0)+f (0)，解得f (0)=0； (2)证明：令y =−x ，则由f (x +y )=f (x )+f (y )得f (0)=0=f (x )+f (−x )， 即f (−x )=−f (x )，故f (x )是奇函数；
(3)∵1
2
f (x 2)−f (x )>1
2
f (3x )，f (x 2)−f (3x )>2f (x )，
即f (x 2)+f (−3x )>2f (x )，又由已知f (x +y )=f (x )+f (y )得：f (x +x )=2f (x )， ∴f (x 2−3x )>f (2x )，由函数f (x )是增函数，不等式转化为x 2−3x >2x ，即x 2−5x >0，∴不等式的解集{x |x <0或x >5}．
22. 解： 1 因为奇函数f x 定义域为R ，所以f −x =−f x 对任意x ∈R 恒成立， 即 −x −x −a =− x x −a ，即 x −x −a +x −a =0， 即2a x =0对任意x ∈R 恒成立，所以a =0.
2 因为x ∈ 0,2 ，所以f x =x x −a ， 显然二次函数的对称轴为x =a
2，由于函数f x 在 0,2 上单调递增，所以a
2≤0，
即a ≤0(若分a <0，a =0，a >0三种情况讨论他可)
3 ∵a <0，f x = x a −x ,x <0x x−a ,x≥0，
∴f −1 =−1−a ≤2，∴−a ≤3 ∴f (1
2)=12(1
2−a )≤7
4<2，f (x )在(0,+∞)上递增，∴f (x )必在区间[−1,0]上取最大值2. 当a
2<−1，即a <−2时，则f (−1)=2，a =−3，成立当a
2≥−1，即0>a ≥−2时，f (a 2)=2，则a =±2 2(舍)综上，a =−3。