四川省成都市七校协作体0910学年高二下学期期中考试(数学理)

四川省成都市七校协作体09-10学年高二下学期期中考试（数学理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若2
88n C C =，则n 的值为 （ ）
A ．2
B ．6
C ．4
D ．2或6 2．“直线a ，b 是异面直线”是“直线a ，b 无公共点”的（ ）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充分不必要条件
D ．必要不充分条件
3．设l m n 、、是三条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列三个命题中正确的命题是（ ） (1) l ∥β，α∥β，则l ∥α； (2) 若l ∥n ， m ∥n ，则l ∥m ；
(3) 若 l ⊥α，m ⊥β，α⊥β，则l ⊥m ．
A ．(1) (2)
B ．(1) (3)
C ．(2) (3)
D ．(1) (2) (3) 4．正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A B 2 C ．1: D ． 25．从4名男生和3名女生中，选出4人参加座谈会，要求选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A ．140种
B ．120种
C ．35种
D ．34种 6．边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成直二面角后，AC 的长为（ ）
A ．a
B ．2a
C ．4a
D ．
7．二面角l αβ--的大小为0
120，,,,A B l AC BD αβ∈⊂⊂、,AC l ⊥BD l ⊥，
AB=AC=BD=2，则CD 的长为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．8．2010年4月14日7时49分40秒，青海省玉树藏族自治州玉树县发生7.1级地震，在灾后第一时间，
我县红十字会就组织3名医生和4名护士奔赴灾区，全部安排到受灾较严重的3所学校救助受伤师生，要求每校至少安排1名医生和1名护士,不同的安排方法共有（ ） A ．72种
B ．216种
C ．324种
D ．504种
9．正n 棱锥的全面积是底面积的3倍，则侧面与底面所成的角是（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．512π
10．设(
)()()()
8
2
8
01283111x a a x a x a x +=+++++
++，则128a a a +++的值为（ ）
A ．83
B ．8
4 C ．8843- D ．8832-
11．将有编号为1，2，3，4，5，6的六个球放入有编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，要求每盒内放一个球，则恰好有两个球的编号与盒子的编号相同的放法有（ ） A ．45种
B ．60种
C ．90种
D ．135种
12．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）
A ．
B ． 2+
C ．4+
D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

13．
6
x (２的展开式中的常数项是 ．(用数字表示)
14．郫县一中学生食堂供应午餐，每位同学可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位同学有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备的不同素菜品种数是 ．
15．已知球面上有三点A ，B ，C 且AB=6cm ，BC=8cm ，CA=10cm ，若球心到平面ABC 距离为7cm ，则此球的表面积为 ．
16．下列所有命题：
（1）过空间内任意一点，可以作一个和异面直线a,b 都平行的平面； （2）如果a,b 是异面直线，过直线a 有且只有一个平面和b 平行； （3）有两个侧面是矩形的平行六面体是直四棱柱；
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
（5）一个正棱锥的各个侧面都是正三角形,则它只能是正三棱锥、正四棱锥或正五棱锥． 其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)
7名身高各不相同的学生按下列要求从左到右站成一排，求出各条件下的站法种数．（要求写出必要的解答过程，最后结果用数字表示）
（１）甲不能站在两端； （２）甲不能站在左端，乙不能站在右端； （３）甲乙要相邻，且丙丁要隔开；
（４）从正中间到两边都按从高到矮的顺序站立．
18. (本小题满分12分)
如图，,,,,l A B αβα
βαβ⊥=∈∈点A 在直线l 上的射影为1,A 点B 在l 上的射影为1B
，已知
112,1,AB AA BB ==
（Ⅰ）求直线AB 分别与平面,αβ所成角的大小； （Ⅱ）求二面角11A AB B --的大小．
19. (本小题满分12分)
已知23)n x （n N *
∈）的展开式中，名项系数的和与其各项二项式系数和的比值为32 ．
（Ⅰ）求n ；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项．
20. (本小题满分12分)
如图所示，已知直四棱柱
1111
ABCD A B C D -中，AD DC ⊥，//AB DC ，且满足
1222DC DD AD AB ====．
（Ⅰ）求证：DB ⊥平面11B BCC ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．
21. (本小题满分12分)
正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，
AF=1，M EF 是的中点． （Ⅰ）求证：AM ∥平面BDE ；
（Ⅱ）求证：AM ⊥平面BDF ；
（Ⅲ）在线段CA 上是否存在点P ，使直线PF 与CD 所成的角为0
60．若存在请确定点Ｐ位置，若不存在，请说明理由．
22．(本小题满分14分)
已知斜三棱柱ABC －A1B1C1的侧面AA1C1C
是面积为的菱形，11AA C 为锐角，侧面ABB1A1
⊥AA1C1C ，且A1B ＝AB ＝A A1＝1． （Ⅰ）求证：AA1⊥BC1； （Ⅱ）求A1到平面ABC 的距离； （Ⅲ）求二面角B －AC －C1的余弦值．
参考答案
一、选择题：
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．
13. 60 14. 7 15． 2
296cm π 16. (2)（5） 三、解答题：本大题共6小题,满分74分．
16
56765
76524224536.:36003
237206960912A A A A A A A A C =-+==17解（１）甲不能站在两端，有种;
分（２）甲不能站在左端，乙不能站在右端有种;分（３）甲乙要相邻，且丙丁要隔开有种; 分（４）从正中间到两边都按从高到矮的顺序站立有=20种．
分
(其它解法酌情给分)
18. 解法一
(Ⅰ)如图, 连接A1B, AB1, ………………………1分 ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l, ∴AA1⊥β, BB1⊥α.
则∠BAB1,∠ABA1分别是AB 与α和β所成的
Rt △BB1A 中, AB=2, ∴sin ∠BAB1 = 1
BB AB = .
∴∠BAB1=45°. ………………… 4分
Rt △AA1B 中, AA1=1,AB=2, sin ∠ABA1=1AA AB = 1
2 , ∴∠ABA1= 30°. ………………… 5分
故AB 与平面α,β所成的角分别是45°, 30°. ………………… 6分 (Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.
过A1作A1E ⊥AB1交AB1于E,则A1E ⊥平面AB1B.
过E 作EF ⊥AB 交AB 于F,连接 A1F,则由三垂线定理得A1F ⊥AB, ∴∠A1FE 就是所求二面角的平面角. ……………………8分 在Rt △ABB1中,∠BAB1=45°, ∴
在Rt △AA1B1中
∴A1B11=. ∴A1E=1111AA A B AB
= ……………………9分
∴Rt △AA1B 中
= 由AA1·A1B=A1F·AB 得
A1F=11AA A B AB = 13
= , ………………10分
∴在Rt △A1EF 中,sin ∠A1FE = 11A E A F
= ,
∴二面角A1－AB －B1的大小为
arcsin . …………………12分
19．解：（Ⅰ）令1=x ，则
n x x )3(232+展开式的各项系数和为n 4………………2分
又n
x x )3(232+展开式的各项二项式系数和为n
2 ……………………4分
∴3224=n n
即322=n
于是5=n ……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：5=n
∴
n x x )3(232+展开式的第3、4两项二项式系数最大 ……………………8分 即6
2233225390)3()(x x x C T == ……………………10分
3
223
223
235
4270)3()(x x x C T ==。

……………………12分
20．解：（I ）以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
11(0,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2),D B C A 1(1,1,2),(0,2,0)
B C …………… 2分
111(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)3110BD BC
405DB BC BB BD BC BD BB BD BB ==-=⋯⋯⋅=-+=⇒⊥⋯⋯⋯⋅=⇒⊥⋯⋯⋯⋯⋯分分
分
又因为1B B
BC B =
所以，DB ⊥平面11B BCC …………… 6分 （Ⅱ）设(,,)
n x y z 为平面1A BD 的一个法向量。

11,,(1,0,2),(1,1,0),n DA n DB DA DB ⊥⊥==由 得200x z x y +=⎧⎨
+=⎩
取1z =，则(2,2,1),n =- ……………… 8分 又1(0,2,2),(1,1,0)DC DB ==，
设111(,,)m x y z =为平面1C BD 的一个法向量，由1m DC ⊥，m DB ⊥， 得11112200y z x y +=⎧⎨
+=⎩
取11,z =取(1,1,1)m =- ………………… 10分
设m 与n 的夹角为α，二面角11A BD C --为θ，显然θ为锐角， ||cos |cos |||||m n m n θα⋅∴==
==
，即为所求 ………………… 12分
21. （Ⅰ）证明：设底面对角线的交点为O ，连接E 、O 。

…………………1分
∵M 为EF 的中点，四边形ACEF 为矩形 ∴E M ∥AO 且E M=AO
∴AM
∥OE
…………………2分 又OE 在平面BDE 面内，AM
在平面BDE 面外
…………………3分
∴AM ∥平面BDE 。

…………………4分 （Ⅱ）证明：建立如图所示的坐标系C xyz
-
0)A ,
1)
M , (00)B
, 00)D
，, 1)F
…………………5分
1AM =-
-（）
20BD =
（） 01DF =（）
∵AM BD = 0 AM DF = 0
∴,
AM BD AM DF
⊥⊥ ………………6分
又∵BD D F D ⋂
=
………………7分 ∴ AM ⊥平面BDF
………………8分 （Ⅲ）设(,,
)P x y z
,则(0,0,0)C 0)A
0)D ，
1)F CP tCA =设 (01t ≤≤)即
(,,)0,0x y z t =
)=)
∴
),0
P
…………………10分
∴
(
)2PF
=，(
)2,0,0
CD =
∴ 1
cos ,2PF CD =
=±
(01t ≤≤)
∴13
(22t t =
=或舍）
∴12CP CA
=
∴P AC 为线段的中点 …………………12分
22 .（Ⅰ）证明：作C1O ⊥AA1，连接BO
………………1分
∵菱形AA1C1C
面积为，
113
AA OC =
又AA1＝1
∴
1OC =
………………2分
在Rt △A1ＯC1中，
AA1=1 1111sin OC OA C A C =
=，11AA C ∠为锐角
∴0
1160OAC
∠=，又AA1 = A1C1 ∴△AA1C1是等边三角形，且C1O ⊥AA1 ∴O 是AA1的中点
又A1B ＝AB ∴BO ⊥AA1 ………………3分 又C1O∩BO = O ．
∴AA1⊥面BOC1，………………4分
又BC1⊂面BOC1．
∴AA1⊥BC1 ………………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知C1O ⊥AA1 ，BO ⊥AA1 ∵平面ABB1A1⊥平面AA1C1C ， ∴BO ⊥平面AA1C1C ，C1O ⊂平面AA1C1C BO ⊥C1O
∴OA 、OC1、OB 两两垂直， ……………6分 以O 为原点，建立如图空间直角坐标系o xyz -，则：
(0,0,0)O ， 1(0,,0)2A ， 11
(0,,0)
2A -，
B
，1
C ．…………7分
1(0,2AB =-，1131(,0)2AC A C ==．
设(,,)n x y z =
是平面ABC 的一个法向量，
则10,2310,2n AB y
n AC x y ⎧⋅
=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ 即0,0.y y ⎧-=⎪+= 令1z =，则(1,3,1)n =-． ………………………9分
设A1到平面ABC 的距离为
d ． 1(0,1,0)AA =-， ∴1||
|||5AA n d n ⋅-===．
………………10分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC 的一个法向量是(1,3,1)n =-，……………11分
又平面ACC1
的一个法向量
OB =．
………………12分 ∴cos ,||||OB n OB n OB n ⋅<>===
． ………………13分
∴二面角B －AC －C1的余弦值是． ……………14分。