上海市静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测文科数学试卷

静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测
文科数学试卷
（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2016.1
考生注意：
本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内
直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1.抛物线2
16y x =的准线方程是 .
2．在等差数列{}n a （n N *∈ ）中，已知公差2d =，20072007a =，则2016a = .
3. 已知圆锥的底面半径为4cm ，高为，则这个圆锥的表面积是 cm 2
.
4.方程lg lg(2)lg3lg(2)x x x +-=++的解为 .
5.已知θ为第二象限角，且3cos 5
θ=-，则tan()4
π
θ+= .
6.坐标原点(0,0)关于直线220x y -+=对称的点的坐标是 .
7.已知复数z 满足28z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = .
8. 8()x y z ++的展开式中项34x yz 的系数等于 . (用数值作答)
9.在产品检验时，常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有 种. (用数值作答) 10.经过直线230x y -+=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点,且面积最小的圆的方程是 .
11.已知数列{}n a （n N *∈ ）中，122,3a a ==，当3n ≥时，1232n n n a a a --=-，则
n a = .
12.在平面直角坐标系xOy 中，坐标原点(0,0)O 、点(1,2)P ，将向量OP 绕点O 按逆时
针方向旋转
56
π
后得向量OQ ，则点Q 的横坐标是 . 13．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，sin B =5
4，且△ABC 的面积为
2
3
，则b = . (用数值作答) 14.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位， 沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线1l .再将直线1l 沿x 轴正方向平移1个单位， 沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合.则直线l 与直线1l 的距离是 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.设全集{1,2,3,4,5,6},{4,5},{3,4}U A B ===，则()B A C U ⋃= ( ) A ．{1,2,6} B ．{1,2,3,6} C ．{3,4,5} D ．{1,2,4,6}16.组合数(1,,)r
n C n r n r N >≥∈恒等于( )
A.
1111r n r C n --++ B. 1111r n n C r --++ C. 11r n r C n -- D. 1
1r n n C r
--17.函数21
3(10)x y x -=-≤<的反函数是 ( )
A ．1
)3
y x =≥
B ．1
(1)3
y x =<≤
C ．1
(1)3
y x =<≤ D ．1)3
y x =≥
18.下列四个命题中，真命题是 ( )
A ．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线；
B ．和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线；
C ．和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线；
D ．若a 、b 是异面直线, b 、c 是异面直线,则a 、c 是异面直线.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 已知O 为坐标原点，向量(3cos ,3sin )OA x x =，
(3cos ,sin )OB x x =，)0,3(=OC ,0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
(1)求证：()
OA OB OC -⊥；
(2) 若△ABC 是等腰三角形，求x 的值.
20.（本小题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点. (1)求三棱锥A --1A EC 的体积；
(2)求异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值.
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分.
李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？
O x
A
B
C
y
22．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分.
设P 1和P 2是双曲线22
221x y a b
-=上的两点，线段P 1P 2的中点为M ，直线P 1P 2不经过坐
标原点O .
(1)若直线P 1P 2和直线OM 的斜率都存在且分别为k 1和k 2，求证:k 1k 2=22
a b ；
(2)若双曲线的焦点分别为1(F 、2F ，点P 1的坐标为(2，1) ，直线
OM 的斜率为3
2
，求由四点P 1、 F 1、P 2、F 2所围成四边形P 1 F 1P 2F 2的面积.
23．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知定义在实数集R 上的偶函数()x f 和奇函数()x g 满足()()12x f x g x ++=. (1)求()f x 与()g x 的解析式；
(2)求证：()f x 在区间[0,)+∞上单调递增；并求()f x 在区间[0,)+∞的反函数； (3)设22()21h x x mx m m =++-+（其中m 为常数），若2(())1h g x m m ≥--对于[1,2]x ∈恒成立，求m 的取值范围.
静安区2015学年第一学期期末高三年级教学检测
文科数学试卷参考答案及评分标准 2016.01
说明：内容与理科相同
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1.4x =- 2．2025 3. 40
；
4. 6x =
5.1
7- 6. 48(,)55
-
7. 17z = 8.
280 9. 13968
10. 225561810x y x y ++--= 11. 121n n a -=+（n N *∈） 12.
3
12-
- 13．2 14.
11
5
. 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15. A; 16. D; 17.C; 18.B
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19． 已知O 为坐标原点，向量(3cos ,3sin )OA x x =，
(3cos ,sin )OB x x =，)0,3(=,0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
(1)求证：()
OA OB OC -⊥;
⑵ 若ABC ∆是等腰三角形，求x .
O x
A
B
C
y
19． 解：⑴ ∵02
x π
<<
， ∴ 3sin sin x x > ，∴0OA OB -≠ 又
()0,2sin OA OB x -=
∴ ()032sin 00OA OB OC x -⋅=⨯+⨯= ∴()
OA OB OC -⊥ 。

（2）若ABC ∆是等腰三角形，则AB=BC ，2
22)(sin )3cos 3()sin 2(x x x +-=∴
2
2cos 3cos 0x x -=,所以23cos 0cos =
=x x 或， 02x π<<，
6
,23cos π
=∴=
∴x x
20. 如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 。

（1）求三棱锥A --1A EC 的体积；
（2）求异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值。

20.解（1）由三棱锥体积公式可得：113ACE V AA S ∆=
⋅=1111
1132212
⋅⋅⋅⋅=。

（2）延长DC 至G ，使CG= DC,连结BG 、G D 1
，∴四边形EBGC 是平行四边形. ∴BG∥EC. ∴
在
//CG EB 11D BG BD CE ∠就是异面直线与所成的角，中311=∆B D BG D 15152
15
2413
4532cos 2
13
2312512
12
2
11221=⨯
-
+
=
⋅-+=∠∴=+==
BG B D G D BG B D BG D G D BG ）（，
即异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值是
21． 李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？ 20解法1：（1）设n 个月的余款为n a ，则
1100000 1.20.93000105000a =⨯⨯-=，
222100000 1.20.93000 1.20.93000110400a =⨯⨯-⨯⨯-=，。

1212111112100000 1.20.93000 1.20.93000a =⨯⨯-⨯⨯-
-，
=1212
12
[1(1.20.9)]
100000 1.20.930001948901 1.20.9
-⨯⨯⨯-⨯
≈-⨯（元）， 法2：1100000 1.20.93000105000a =⨯⨯-=， 一般的，11.20.93000n n a a -=⋅⋅-，
构造)(9.02.11c a c a n n +⨯=+-，37500c =-
137500(10500037500)(1.20.9)n n a --=-⨯ 137******** 1.08n n a -=+⨯，
12194890a ≈。

方法3:用111.20.9()k k k k a a a a +--=⨯-通过等比数列求和解决.
（2）194890-100000 1.05=89890（元），
能还清银行贷款。

22． 双曲线22
221x y a b
-=上不同两点P 1和P 2，线段P 1P 2的中点为M ，双曲线的中心为坐标原
点O ，直线P 1P 2不经过点O .
(1)若直线P 1P 2和直线OM 的斜率存在且分别为k 1和k 2，求证:k 1k 2=22
a
b ；
(2)若双曲线的焦点分别为1(3,0)F -、2(3,0)F ，点P 1坐标为(2，1) ，直线OM 的斜率为
3
2
，求四边形P 1 F 1P 2F 2的面积. 22(1)解法1：设不经过点O 的直线P 1P 2方程为1y k x l =+，代入双曲线22
221x y a b -=方程
得：22222222211()20b a k x a k lx a b a l ----=.
设 P 1坐标为11(,)x y ，P 2坐标为22(,)x y ，中点坐标为M (x,y),则1212,22
x x y y x y ++=
=，21122
22
1
2a k l
x x b a k +=-， 222121212121
y y b a k k k x x a k +-==+
+，所以，222222
1211a k k a k b a k =+-，k 1k 2=22b a 。

另解：设P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，中点M (x,y),则 121
2
,22
x x y y x y ++=
=且22
1122
22
2222
1(1)1(2)x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ （1）-（2）得：
1212121222
()()()()
0x x x x y y y y a b +-+--=。

因为,直线P 1P 2和直线OM 的斜率都存在,所以(x 1+x 2)(x 1-x 2)0，
等式两边同除以(x 1+x 2)(x 1-x 2)，得：
121222121211
0y y y y a x x x x b
+--⋅⋅=+-
即k1k2=
2
2
b
a。

（2）由已知得
2
22
22
21
1,
3
a b
a b
⎧
-=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
,求得双曲线方程为
2
21
2
x
y
-=，
直线P1 P2斜率为
2
2
b
a
31
23
÷=，
直线P1 P2方程为
1
1(2)
3
y x
-=-,
代入双曲线方程可解得
2
101 (,)
77
P--(中点M坐标为
23 (,) 77
.
面积
1212
18
277
F F y y
⋅-==.
另解: 线段P1 P2中点M在直线
3
2
y x
=上.所以由中点M((x,y),可得点P2的坐标为2
(22,31)
P x x
--,代入双曲线方程可得
2
2
(22)
(31)1
2
x
x
-
--=,即2
720
x x
-=，解得2
7
x=（
3
7
y=），所以
2
101
(,)
77
P--。

面积
1212
18
277
F F y y
⋅-==. 23．已知定义在实数集R上的偶函数()x f和奇函数()x
g满足()()1
2x
f x
g x+
+=.
（1）求()
f x与()
g x的解析式；
（2）当0
x≥时,求证()
f x是递增函数,并求()
f x的反函数1()
f x
-；
（3）设22
()21
h x x mx m m
=++-+（其中m为常数），若2
(())1
h g x m m
≥--对于[1,2]
x∈恒成立，求m的取值范围.
23.解：（1）假设1
()()2x
f x
g x+
+=①，因为()x f是偶函数，()x g是奇函数所以有1
()()2x
f x
g x-+
-+-=，即1
()()2x
f x
g x-+
-=②
∵()
f x，()
g x定义在实数集R上，
由①和②解得，
11221()222x x x x f x +-++==+，
11221
()222
x x x x g x +-+-==-.
(2)
1
()222
x x f x =+
≥，当且仅当21x =,即0x =时等号成立.对于任意120x x ≤<,12122121
12111
()()22(21)(2)222x x x x x x x x f x f x --=+--=--,
因为120x x ≤<,所以
121221,210x x x x --<-<,221x >,11
121,012
x x ≥<
≤,21
220x x -->, 从而12()()0f x f x -<,所以当0x ≥时,()f x 递增. 设122
x x
y =+
，则2221x x y ⋅=+,令21x
s =≥,则210s ys -+=.再由
1()222x
x f x =+≥解得s =,即2x =
1=<（2y ≥），所以2x
=,因此()f x 的
反函数12()log (1,2f x x x -=-≥
（3）∵()t g x =在[1,2]x ∈单调递增，∴
315
24
t ≤≤. ∴222()211h t t mt m m m m =++-+≥--对于315,
24t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立， ∴222t m t +≥-对于315,24t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，
令22()2t k t t +=-，则22122t t t t +=+≥当且仅当t =时，等号成立，3
2
<
所以在区间315,24t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上22()2t k t t +=-单调递减，
∴max 3
17()()212k t k ==-，∴17
12
m ≥-为m 的取值范围.。