北师大版高中数学必修一《3函数的单调性和最值》新课件(69页)

答案：A
3. 函 数f(x)=—2x+1(x∈[ -2,2])的最小、最大值分别为( )
A.3,5 B.—3,5 C.1,5 D.—5,3
解析：因为f(x)=—2x+1(x∈ [-2,2])是单调递减函数，所以当 x=2 时，函数的最小值为一3.当x=—2 时，函数的最大值为5.
答案：B
4. 函数f(x)在[一2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、
综上，函
间(Vk, 十一)上为增函数.
在区间(0, √k )上为减函数，在区
状元随笔 此题中函数f(x)是一种特殊函数(对勾函数),用
定 义法证明时通常需要进行因式分解，由于x₁x₂-k(k>0) 与0的大
小 关系是不明确的，因此要分类讨论.
方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
取值 设 x₁,x₂ 是该区间内的任意两个值，且x₁<x₂
A. (一一，0)U[0,1]B.(—1,0)U[0,1]
C.(0, 十 一 )
D.[0,1]
解析：函数f(x)=—x²+4mx 的图象开口向下，且以直线x=2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2, 解得m≤1,g(x)
的图象由
的图象向左平移一个单位长度得到的，若在
区间[2,4]上是减函数，则2m>0, 解得m>0.综上可得m 的取值范围
A.m>0
B.
C.—1<m<3
D.
解析：由题意知 答案：B
解得
状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数 的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所
有自变量都必须在函数的定义域内.
微点3 利用函数的单调性求参数的取值范围
在区间[2,4]上都是减函
数，则m的取值范围是( )
素，如函数 y=— x²(x∈R) 的最大值是0,有f(0)=0.
[基础自测]
1. 判断正误. (正确的画“ √ ”,错误的画“×”) (1)函数f(x)≤1 恒成立，则f(x)的最大值是1. ( × )
解析：f(x)≤1恒成立，但如果不存在xo使f(x₀)=1, 则 f(x)的 最大值不是1,比如，f(x)=—x² 的最大值为0,但f(x)=—x²≤1 恒 成立.
B. ( 一 5, — 3)U(—1,1) (一5,—3),(—1,1)
解析：在某个区间上，若函数y=f(x) 的图象是上升的，则该 区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减 区间为(一3,—1),(1,4).
答案：C
2. 函数y=—x²+2x| +3 的单调递增区间是 间是
,递减区
状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，
不能用“U” 连接，而应该用“和”连接.如函数 在(一一 ，0
和(0,十一)上单调递减，却不能表述为：函数y= 0)U(0, 十一)上单调递减。
X 在 (一0,
[教材答疑]
1. [教材P₅₉思考交流] 设Vx₁,x₂∈[-6,—5],
数
且x₁<x₂, 都有f(x₁)<f(x₂), 所以函
答案：(1)C
(2)函数y=f(x) 在R上为增函数，且f(2m)>f(—m+9), 则实数m 的取值范围是( )
A. ( 一 0, — 3) B.(0, 十 一 ) C.(3, 十一) D. ( 一 0, — 3)U(3, 十 一 )
解析：(2)因为函数y=f(x)在R 上为增函数，且f(2m)>f(-m十 9),所以2m>—m+9, 即m>3.
题型三 函数单调性的应用 微点探究 微点1 比较大小 例2 已知函数y )在[0,十一]上是减函数，则( )
解析：
是减函数， 答案：C
函数y=f(x) 在[0,十0
状元随笔 利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要
注 意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
微点2 解不等式 例3 f(x)是定义在(一2,2)上的减函数，若f(m—1)>f(2m—1), 则实数m的取值范围是( )
y y=f(x)
0 x₁
x₁
图示-
X₂ x
可
X₂ X
状元随笔 定义中的x₁,x₂ 有以下3个特征 (1)任意性，即“任意取x₁,x₂” 中“任意”二字绝不能去掉 ， 证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x₁<X₂;
(3)属于同一个单调区间.
要点二 单调性与单调区间 如果函数y=f(x) 在区间I 上是单调递增或单调递减，那么就称 函数 y=f(x) 在这一区间 I 上具有单调性_ , 区 间 I 为 y=f(x) 的 单调区间.
是[0,1].
答案：D
方法归纳
“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I, 指的 是函数递减的最大范围为区间I, 而函数在某一区间上单调，则指 此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的单调性 问题时，一定要仔细读题，明确条件含义.
因为0<x₁<x₂, 所以x₂—x₁>0,(x²+4)(x²+4)>0. 当x>2时 ，x₁x₂—4>0, f(x₁)>f(x₂),此时f(x)单调递减.
x₂)>0, 即
当0<x<2时 ，x₁x₂-4<0,
,f(x₁) 一f(x₂)<0,
即f(x₁)<f(x₂), 此时f(x) 单调递增. 所 以 ，f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,十一)上单调递减.
作差f (x₁)-f(x₂)或f(x₂)-f(x),并通过因式分解、配方、
作差变形
确定差f(x₁)-f(x₂) 或f (x₂)-f(x) 的符号，当符号不确定
定号
结论 根据定义得出结论
注：作差变形是解题关键.
跟踪训练1 已知函 十一)的单调性.
判断并定义证明f(x) 在(0,
解析：f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,十一)上单调递减. 证明如下：Vx,x₂ ∈(0, 十一),且x₁<x₂,
新知初探 ·课前预习
[教材要点]
要点 函数最大(小)值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为D, 如果存在实数M 满足： (1)Vx∈D, 都有f(x)≤(≥)M;
(2)3x∈D, 使 得f(x)=M. 那么,我们称M 是函数 y=f(x) 的最大(小)值.
状元随笔 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元
例1 用定义证明函
在(0,十一)上的单调
性.
证明：设x₁,x₂ ∈(0, 十 一 ),且x₁<x₂,
十k·
因为0<x₁<x₂, 所以x₁—x₂<0,x₁x₂>0. 当x₁,x₂ ∈(0, √k )时，x₁x₂—k<0→f(x₁)—f(x₂)>0,此时函数 f(x)为减函数；
当x₁,x₂ ∈( √k,十一)时，x₁x₂—k>0→f(x₁)—f(x₂)<0,此时函 数f(x)为增函数.
故
选D.
答案：D
3. [多选题]如果函数f(x)在[a,b] 上是增函数，对于任意x₁, x₂ ∈[a,b](x₁≠x₂), 则下列结论中正确的有( )
A
B.(x₁—x₂)[f(x₁) 一f(x₂)]>0 C.f(a)≤f(x₁)<f(x₂)≤f(b) D.f(x₁)>f(x₂)
解析：由函数单调性的定义可知，若函数y=f(x) 在给定的区 间上是增函数，则x₁—x₂与f(x₁)一f(x₂)同号，由此可知，选项A,B 正确；对于C,D, 因 为x₁,x₂ 的大小关系无法判断，则f(x₁) 与 f(x₂) 的大小关系也无法判断，故C、D 不正确.
易错原因
只考虑f(x)= -x²—ax— 5(x≤1)
纠错心得
单调递增与 增，即
a ) 单 调 递 分段函数如果都能单调递增还需
X
保证断点左侧的值小于或等于右
侧的值.
≤ 一2,忽
本题中： —1²— ×1— <u
视 函数 的定义 出错.
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
第2课时函数的最大(小)值
答案：AB
4. 函数y=(2m—1)x+b 在R上是减函数，则
.
解析：使 y=(2m—1)x+b 在R上是减函数，则2m—1<0, 即
答案：
题型探究 ·课堂解透
题型一 利用函数图象求单调区间— —自主完成 1. 已知函数y=f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为
()
A. (一3,1)U(1,4) C.(-3,—1),(1,4)D.
最大值分别是
·
解析：由图象知点(1,2)是最高点，点(-2,一1)是最低点，
∴ymax=2,Ymin=—1.
答案：—1,2
题型探究 ·课堂解透
题型一 利用图象求函数的最值— —自主完成 1. 已知函数 f(x)=—|x-1|+2, 则 f(x)的最大值、最小值分别
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)=x²+bx+c 图象的对称轴为直线x =2,则下列关系式正确的是( )
A.f (一1)<f(1)<f(2)
B.f(1)<f(2)<f(一1) C.f(2)<f(1)<f(一1) D.f(1)<f (一1)<f(2)
解析：(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x= 2,所以f(x)在 f(2)<f(1)<f(一1).故选C.
答案：(2)C
(3)已知函数f(x)=x²+2(a—1)x+2的单调递减区间是(一一，
4],则a=
解析：(3)函数f(x)=x²+2(a-1)x+2的单调递减区间为(一0,
1—a],∴1—a=4,∴a=—3.
答案：(3)-3
易错辨析 忽视函数的定义
例5 已知函数f(x)
数，则a的取值范围是( )
间是(1,十0). ( × )
(3)函数 (4)函数y=
减. (×)
的单调递减区间是(-一，0)U(0, 十一). ( × )
1
- 在定义域(一一，0)U(0, 十一)上单调递
×
2. 函数y=—2x²+3x 的单调减区间是( ) A. (0, 十 一 ) B. ( 一 0 , 0 )
C
D
解析：借助图象得y=—2x²+3x 的单调减区间；
(2)函数y=f(x) 的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数y =f(x) 的最小值对应该函数图象最低点的纵坐标. ( √ )
(3)对于一个函数，函数的值域是确定的，但函数的最值不一定 存在 . ( √ )
解析：如
既无最大值，也无最小值.
(4)如果函数 y=f(x) 在区间[a,b] 上单调递减，在区间[b,c] 上 单调递增，则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b). ( √ )
第二章 函数
§3 函数的单调性和最值
北师大版高中数学必修一新课件
第1课时函数的单调性
新知初探 ·课前预习
要点一 增函数与减函数的定义
对任意x₁,x₂∈D,ICD
增函数
时，都有
分类- 减函数
x₁<x₂ 时，都有
条件一
函数f(x)在区间
函 数f(x)在区间
I 上是增函数 结论- I 上是减函数
y
y=f(x)
2. 函数
在[1,十一]上( )
A. 有最大值无最小值
B. 有最小值无最大值 C. 有最大值也有最小值 D. 无最大值也无最小值
解析：函 数
反比例函数，当x∈(0, 十一)时，函数图
象下降，所以在(1,十一)上f(x) 为减函数，f(1) 为 f(x) 在[1,十一]
上的最大值，函数在[1,十一]上没有最小值.故选A.
画出函数图象如图，由图可知函数y=—x²+2|x|+3 的单调递 增区间是：(一一，—1),[0,1].递减区间是：[-1,0],[1,十
一). 答案：(一一，—1),[0,1][-1,0],[1,十一)
状元随笔 转化为分段函数，再画出函数图象，由图象观察.
题型二 函数的单调性判断与证明——师生共研
A.—3≤a<0
B.a≤ 一 2
C.a<0
D.—3≤a≤—2
是R 上的增函
解析：函
是R 上的增函数，则
f(x)=-x²-ax-5(x≤1)
单调递增，故它的对称轴
事 即a≤ 一
也单调递增，所以a<0, 要保证在R上是增函
数. 只需在x=1 处满足—1—a×1—5≤a,
3≤a≤ 一2. 答案：D
即a≥—3. 综上所述，一
值f(x) 在区间[-6,—5]上随x值的增大而增大.
2. [教材P₆0思考交流]
不能说函
在整个定义域上是减函数，理由如下：设
x₁ ∈( 一 0 , 0 ) ,x₂ ∈(0,十 一),则有f(x₁)<f(x₂),这与减函数的定 义矛盾.
[基础自测]
1. 判断正误. (正确的画“ √ ”,错误的画“×”) (1)若定义在R上的函数f(x), 有 f(一1)<f(3), 则函数f(x)在R上 为增函数. ( × ) (2)函数y=f(x) 在(1,十一)上是增函数，则函数的单调递增区