3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质(课件)

经典例题
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
(2)由题意知 e2＝1－ab22＝12， 所以ba22＝12，即 a2＝2b2， 设所求椭圆的方程为2xb22＋by22＝1 或2yb22＋bx22＝1.
将点 M(1,2)代入椭圆方程得21b2＋b42＝1 或24b2＋b12＝1，
解得 b2＝92或 b2＝3. 故所求椭圆的方程为x92＋y92＝1 或y62＋x32＝1.
a 23 2
当堂达标
6.已知椭圆 C： x2 y2 1（ a b 0 ），点 A，B 为长轴的两个端点，若在椭
a2 b2
圆上存在点
P，使
k AP
kBP
1 3
,
0
，求椭圆的离心率
e
的取值范围．
解：由题可知 Aa,0 ， Ba,0 ，设 P x0,y0 ，
由点
P
在椭圆上，得
y02
b2 a2
∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，∴e＝ac＝34.
当堂达标
5.椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2
6 ，且经过点 3,
6 2
．
(1)求满足条件的椭圆方程； (2)求该椭圆的长半轴的长、顶点坐标和离心率．
解：（1）设椭圆的标准方程为
x2 a2
y2 b2
当堂达标
4.设 F1，F2 是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为直线 x＝32a上
一点，△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为________．
3 4
解析：由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，
∴∠PF2x＝60°.∴|PF2|＝2×32a－c＝3a－2c.
经典例题
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
跟踪训练2
已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为 12，则椭圆方程为( )
A．1x424＋1y228＝1 或1x228＋1y424＝1
B．x62＋y42＝1
C．3x62 ＋3y22 ＝1 或3x22 ＋3y62 ＝1
D．x42＋y62＝1 或x62＋y42＝1
连接 OP(图略)，则易知 0＜b≤c＜a，所以 b2≤c2＜a2，即 a2－c2≤c2＜a2.
所以a22≤c2＜a2，所以 22≤e＜1.所以 e∈ 22，1.
当堂达标
1.已知椭圆
C：
x2 a2
y2 4
1的一个焦点为（2，0），则椭圆
C
的离心率
为（ ）
A． 1
3
B．
1 2
C． 2
2
D．1
C 解析：由已知可得 b2 4 ， c 2 ，则 a2 b2 c2 8 ，所以 a 2 2 ， 则离心率 e c 2 ．故选：C.
C 解析：由条件知 a＝6，e＝ac＝13，
∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝32，故选 C．
经典例题
题型三 求椭圆的离心率
例 3 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率 为( )
1
3
3
6
A.2
B. 2
C. 4
D. 4
A 解析：不妨设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，B 为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF1F2 是正三角形． ∵在 Rt△OBF2 中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
2
经典例题
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
总结
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用 的关系式有 b2＝a2－c2，e＝ac等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依 据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
∵e＝ac＝ 36，
∴c＝ 6， ∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为x92＋y32＝1. 若焦点在 y 轴上，则 b＝3，
∵e＝ac＝ 1－ab22＝ 1－a92＝ 36，解得 a2＝27. ∴椭圆的方程为2y72 ＋x92＝1. ∴所求椭圆的方程为x92＋y32＝1 或2y72 ＋P
y0 x0 a
y0 x0 a
y02 x02 a2
b2 a2
a2 x02
x02 a2
b2 a2
1 3
,
0
，
可得
c
2
a a2
2
e2
1
1 3
,
0
，所以
e
6 3
,1
．
课后作业
对应课后练习
为(6,0)，(－6,0)，离心率 e＝35. (2)椭圆 C2：1y020＋6x42 ＝1.性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称；③顶点： 长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；
短轴长|B1B2|＝ 2b ，长轴长|A1A2|＝ 2a
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝ 2c
自主学习
二．离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ac称为椭圆的 离心率 ． (2)性质：离心率 e 的范围是(0,1)．当 e 越接近于 1 时，椭圆 越扁 ；
经典例题
题型三 求椭圆的离心率
跟踪训练3
设椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两焦点为 F1，F2，若在椭圆上存在一点 P，
使P→F1·P→F2＝0，求椭圆的离心率 e 的取值范围．
解：由题意知 PF1⊥PF2，所以点 P 在以 F1F2 为直径的圆上， 即在圆 x2＋y2＝c2 上． 又点 P 在椭圆上，所以圆 x2＋y2＝c2 与椭圆ax22＋by22＝1 有公共点．
当 e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆．
自主学习 思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？
不是，离心率是比值，比值相同不代表 a，c 值相同， 它反映的是椭圆的扁圆程度．
小试牛刀
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的长轴长等于 a. ( × ) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a－c. ( √ ) (3)椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆． ( √ )
x42＋y32＝1 或 x32＋y42＝1。
当堂达标
3.比较椭圆①x2＋9y2＝36 与②x92＋y52＝1 的形状，则________更扁． (填序号)
① 解析：把 x2＋9y2＝36 化为标准形式3x62 ＋y42＝1，离心率 e1＝ 366－4＝2 3 2， 而x92＋y52＝1 的离心率 e2＝ 93－5＝23，这里 e2＜e1，故①更扁．
(4)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为 10,8，则椭圆的方程为
2x52 ＋1y62 ＝1. ( × )
(5)设 F 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF|的最
大值为 a＋c(c 为椭圆的半焦距)．( √ )
经典例题
题型一 椭圆的简单几何性质
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
焦点的位置
标准方程
范围 对称性
顶点 轴长 焦点 焦距
焦点在 x 轴上 ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
－a≤x≤a 且－b≤y≤b
焦点在 y 轴上 ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
－b≤x≤b 且－a≤y≤a
对称轴为 坐标轴 ，对称中心为 原点
A1(－a,0),A2(a,0),B1(0，－b),B2(0，b) A1(0，－a),A2(0，a),B1(－b,0),B2(b,0)
⑤离心率：e＝35.
经典例题
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3,0)，离心率 e＝ 36； (2)经过点 M(1,2)，且与椭圆1x22 ＋y62＝1 有相同的离心率．
经典例题
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
解：(1)若焦点在 x 轴上，则 a＝3，
第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质
学习目标
素养目标
学科素养
1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)
1.直观想象
2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响． 2.数学运算
3.可以根据题目条件求椭圆的离心率或范围. (难点)3.逻辑推理
自主学习
一．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
∴cos 60°＝ac＝12，即椭圆的离心率 e＝12，故选 A.
经典例题
题型三 求椭圆的离心率
总结
求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 e＝ac求解．若已知 a，b 或 b，c 可借 助于 a2＝b2＋c2 求出 c 或 a，再代入公式 e＝ac求解． (2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的齐次关系 式，借助于 a2＝b2＋c2，转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程 或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求 得 e 的值或范围．
1，
2c 2 6
则
b2 c2 a2
a 2 3
b
6
32
a2
6 2
b2
2
1
c
6
,所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1.
12 6
当堂达标
（2）由（1）知，椭圆的长半轴长为 a 2 3 ，
顶点坐标为2 3,0 、2 3,0 、 0, 6 、0, 6 ，
离心率 e c 6 2 .
a2
当堂达标
2．(多选)已知中心在原点的椭圆 C 的半焦距长为 1，离心率等于12，则 C
的方程是( )
A.x32＋y42＝1
B.x42＋
y2 ＝1 3
C.x42＋y32＝1
D.x42＋y2＝1
AC 解析：依题意知，c＝1，e＝ac＝12，即 a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的焦点在 X 轴和 Y 轴两种可能，所以椭圆的方程为
经典例题
题型一 椭圆的简单几何性质
总结
由标准方程研究性质时的两点注意 (1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式， 再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． (2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2＝b2＋c2 求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦 距不是 a，b，c，而应是 2a,2b,2c.
经典例题
题型一 椭圆的简单几何性质
跟踪训练1
已知椭圆 C1：1x020＋6y42 ＝1，设椭圆 C2 与椭圆 C1 的长轴长、短轴长分别相等，且 椭圆 C2 的焦点在 y 轴上． (1)求椭圆 C1 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆 C2 的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆 C1：1x020＋6y42 ＝1，可得其长半轴长为 10，短半轴长为 8，焦点坐标
例 1 求椭圆 9x2＋16y2＝144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
解：把已知方程化成标准方程为1x62 ＋y92＝1，所以 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6；离心率 e＝ac＝ 47； 两个焦点坐标分别是(－ 7，0)，( 7，0)； 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．