组合数学第08讲_必胜策略(教师版)A4

组合数学第08讲_必胜策略
游戏策略中往往有一类比较复杂的，需要逐步来递归的问题，这就需要对必胜与必败
转态进行标记．
一．网格移动类
1．含义：给定一个东西和固定的表格，给出移动该物体的规则，最终谁移动到不能再移谁就算胜（或者输），求必胜（或必败）策略．
2．方法：从最后必胜（或必败）的转态进行倒推，找出一般的规律，将必胜（或必败）的格子都标记出来即可找出必胜策略．
二．其他类型
1．特点：操作次数比较有限，没有周期规律．
2．方法：由于操作次数较少，所以通常用枚举法，将必胜的操作标记出来，就可以得到必胜策略．
重难点：从最后的必胜条件出来，进行倒推，将必胜的操作标记出来．
题模一：网格移动类
例1.1.1如下图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45 角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：（1）谁一定能获胜？必胜策略是什么？
B
A
【答案】（1）甲必胜；（2）甲必胜
【解析】（1）我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B逆推，能一步走到B的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格
子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．
（2）与第（1）问方法类似，得到下图．甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中 即可．
例1.1.2如图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B 的人获胜．请问：（）一定能获胜？
A ．甲
B ．乙
C ．甲和乙都有可能
【答案】B
【解析】如下图标a 都是必胜格，A 本身就在必胜格里，所以先走的到达不了下一个必胜格，所以乙胜． 例1.1.3如图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B 的人赢．请问：（）一定能获胜？
√ × √ × √ × B 1 × × 2 3 √ × √ A × √
× √ × √ × B × × × × × × × √ × √ × √ × √ × × × × × × × √ × √ × √ × √ A × × × × × ×
×
× × × × × B × × × × √ × × × × × × × √ × × √ × × × × × × × × × × × × A × × √ × × ×
B A
B a a A
B
A
A．甲B．乙C．甲和乙都有可能
【答案】A
【解析】如图表有a的都是必胜格，只要甲第一步走到标有a个格必胜，选A．
B
a
a
a
A a
例1.1.4把一枚棋子放在图中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动棋子，只能向上、向右或者向右上方沿45°角移动，一次可以移动任意多格．谁把棋子移到了右上角的方格中即为输，试问：如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么？
【答案】乙必胜．从右上角开始分析哪些位置是必胜的，哪些位置是必败的，结果如图所示．
因此甲第一步必然走到“√”上，而乙必然可以每一步都给甲留下“×”．
【解析】首先看图最右面的那列，在这列中，如果棋子在右上角的下面，那么先走的只能把棋子向上走，所以他必败；如果棋子不在这个位置，那么他只要把棋子走到这个位置便可确保胜利．而为了方便分析，下面在图中先走必胜的位置标“√”，先走必败的位置标“×”，此时图如下所示：
对1和2这两个位置，第一步只要走到右上的“×”处，便可取胜，所以标“√”；对3来说，怎么先走的如何走，都是走到一个“√”处，因为“√”处先走必胜，所以对3先走必败，应当标“×”．从上面的分析中，可以发现，对一个位置来说，如果它的上，右或右上有一个“×”，那先走的只需要把棋子移动到这些“×”处便可确保胜利；相反，如果它的三个方向上全是“√”，那无论如何走，都是后走的获胜．根据这个规律，便不难知道对任意一个位置来说，是否先走必胜，从而可以完成这个图，完成后的图如下所示：
因为棋子最开始在左下角，甲只能向右走，而它右侧全部是“√”，所以乙必胜，每步时
× √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
× 1 √ 2 3 √ √ √ √ √ √ √ ● √
× √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ ● √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
乙只需要把棋子移动到“×”即可． 题模二：其它
例1.2.1桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③不断重复前两步，最后谁能恰好留给对手一个小方块，谁获胜．如果你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能保证自己最后获胜？
【答案】切走12个小方块
【解析】当只剩1行（或1列）时，但不是一个小方块，先切的人只要切剩下一个小方块就赢了．当剩2行（或2列）时，如果剩22⨯的方块，那么先切的人切完后成为12⨯的方块，所以后切的人必胜；如果剩23⨯、24⨯、…等情况，先切的人只要切剩下一个22⨯的方块就可以取胜．当剩3行（或3列）时，如果剩33⨯的方块，先切的人切一刀后只能剩下13⨯或23⨯的方块，此时后切的人获胜．当有37⨯块时，先切的人切走3412⨯=块，给对手留下一个33⨯的正方形，接着每次都给对手留下一个11⨯或22⨯的正方形即可获胜． 例1.2.2如图为“狡兔三窟”的游戏，游戏中只有两个棋子：一为“猎人”，一为“狡兔”，它们的位置如图所示，棋盘的北端X 是一方飞第，这意味着任何一方棋子，都可以“飞”过X ，即：由C 直接到达D ，或由D 直接到达C ，游戏开始，由“猎人”先走，接下去双方轮流运子，每次一步，每次只能沿着黑线走到其相邻的点上，当猎人和兔子都到同一点时，猎人可以抓住兔子．那么，“猎人”至少要走（ ）步才能抓住兔子．
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】B
【解析】如果猎人第一步就开始往下抓兔子，那么兔子也会往下跑，这样猎人紧追兔子中间只差一步的话是永远抓不到兔子．那么猎人的对策就是第一步向上走，前三步向上绕一圈，这是猎人在空心点上，兔子在实心点上，如果兔子在1号位置，第4步抓到，若兔子在2，至多再3步抓到，最终在第6步被抓到
例1.2.3在黑板上写有999个数，2、3、4、……、1000．甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜．请判断：__________有必胜策略．
【答案】乙
【解析】共有500个偶数，甲共擦499个数．若甲想获胜，他必须擦499个偶数，否则乙只要先擦奇数，最终必能剩两个偶数，乙胜．但当甲全擦偶数时，乙只要保留两个个位为5的奇数至最后即可，故乙有必胜策略．
随练1.1如右图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁有必胜策略？必
B
A
【答案】甲必胜
【解析】策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．
√×√× B
×××××
√×√×√
A ××××
随练1.2如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B的人赢．请问：（）一定能获胜？
B
A
A．甲B．乙C．甲和乙都有可能
【答案】B
【解析】如下图标a都是必胜格，A本身就在必胜格里，所以先走的到达不了下一个必胜格，所以乙胜，选B．
B
a
a
a
A
随练1.3如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：（）一定能获胜？
B
A
A．甲B．乙C．甲和乙都有可能
【答案】A
【解析】甲第一步走到如图所示的a处，无论乙怎么走，甲都有方法取胜，所以选A．
B
a
A
随练1.4桌上有一块巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块，如图所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下： ① 每次只许沿一条直线把巧克力切成两块； ② 拿走其中一块，把另一块留给对手再切； ③ 谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．
如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？
【答案】切走12块，给对手留下一个33⨯的正方形，接着每次都给对手留下一个正方形 【解析】如果只剩1行或1列，但不是一个小方块，那么先切的人只要剩一个小方块就赢了；
如果剩2行，如果是22⨯的方块，那么先切的人切完后成为12⨯的方块，所以后切的人必胜；如果比22⨯多的话（23⨯，24⨯……），因为22⨯的时候是后切的人获胜，所以这时先切的人只要剩下一个22⨯的方块就可以取胜；在33⨯的时候，先切的切完后，剩下的巧克力是13⨯或者23⨯，根据上面的分析可以知道后切的一定获胜．所以第一刀切完后剩下33⨯的就可以保证获胜了，即是切下3412⨯=块巧克力．
随练1.5如图所示，五角星上共有10个交点和15条小线段．甲首先将一枚棋子放在A 点上，并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上，之后甲再走，……，如此下去．如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那么甲是否有必胜策略？
【答案】甲没有必胜策略，且乙必胜．一旦甲由角上的点走到中间，乙就再走回相邻的角上去．
【解析】一枚棋子如果处在五角星的某个角上的话，先走的人只能把它从角上移到中心．而如果在中心的话则可以选择移到角上或者其他中心位置．据此可以给乙想出如下的方案：一旦甲由角上的点走到中间，乙就再走回相邻的角上去，角上的点是5个，中心点也只有5个，最后必然是连成一个封闭图形，甲无路可走．
作业1如下图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B 的人获胜．请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？
A
【答案】甲必胜
【解析】我们给必胜格子（如方格B ）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B 逆推，能一步走到B 的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．
作业2（1）在一个3×3的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。

甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略：
（2）在一个5×5的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。

甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略：
（3）如果是10×10的方格，那么_______（填“甲”或“乙”）有必胜策略，请详细叙述他必胜的策略
【答案】乙；乙；甲
【解析】（1）如图，从右下角开始标上必胜格，可看出甲第一步到不了必胜格内，所以乙有必胜策略。

（2）同理，图中黑色的为必胜格，所以乙有必胜策略。

（3）同理，黑色为必胜格，甲有必胜策略。

有必胜策略的人只需每次达到必胜格即可。

作业3如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：（）一定能获胜？
B
A
A．甲B．乙C．甲和乙都有可能
【答案】A
【解析】如下图标a都是必胜格，先走者有必胜策略，所以甲有必胜策略，选A．
a B
a
a a
A a a
作业4如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B的人赢．请问：（）一定能获胜？
组合数学第08讲_必胜策略(教师版)
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B
A
A．甲B．乙C．甲和乙都有可能
【答案】A
【解析】如下图标a都是必胜格，先走者有必胜策略，只要第一步走到标有a的方格就能
取胜，所以甲有必胜策略，选A．
B
a
a
A a
作业5如图是一个棋盘，灰色圆圈为猫，白色圆圈为老鼠，猫先走，双方交替走，每次只
能沿线走，则猫最少需要__________步才能保证抓住老鼠．
【答案】6
【解析】只有把老鼠堵在最下部的两个角落位置，才有可能把老鼠吃掉，在其它的四边形
区域是不可能抓住老鼠的．注意到图中恰有一个三角形的区域，其余区域都是四边形．这
个三角形区域就是我们解题的关键！试走几次会发现，猫不经过三角形区域是抓不到老鼠
的（当然，我们不考虑老鼠把自己送到猫嘴里的自杀行为）．猫走完三角形区域后，老鼠
的位置只能是图1 或图2．如果老鼠位置如图1，则猫按图3 的路线走，能6 步以内抓到
老鼠；如果老鼠位置如图2，则猫按图4 路线走，也能6 步以内抓到老鼠．
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组合数学第08讲_必胜策略(教师版)
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作业6甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数
的约数，最后不能写的人为失败者．如果甲第一个写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法．【答案】甲
【解析】关键是第一次写什么数，总共只有10个数，可通过归纳试验．甲不能写1，否则
乙写6，乙可获胜；甲不能写3，5，7，否则乙写8，乙可获胜；甲不能写4，9，10，否则
乙写6，乙可获胜．因此，甲先写6或8，才有可能获胜．甲可以获胜．如甲写6，去掉6
的约数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10这六个数中的一个，将这六个数分成
（4，5），（7，9），（8，10）三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能
获胜．
作业7黑板上写有1~2009这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数．如果最后剩
下的两个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜．请问：谁有必胜的策略，具体的策
略是怎样的？
【答案】甲有必胜策略，甲先擦去一个奇数，以后每次擦去和乙不同奇偶性的一个数
【解析】如果只有1，2，3，那么甲擦去一个奇数后获胜．如果是1到5，甲擦去一个奇数
后剩下两奇两偶，接下来如果乙擦去一个奇数，那甲擦去一个偶数，甲胜；如果乙擦去一
个偶数，那甲擦去一个奇数，还是甲胜．通过上面的分析，对2009个数字，可以为甲设计
一个策略：首先他擦去一个奇数，等乙擦完后，甲擦去一个和乙选择的数字奇偶性不同的
数，这样可以保证每次甲擦完后，剩下的数中都是一半奇数，一半偶数，那最后剩的两个
数，奇偶性一定是不同的，所以甲必胜．
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