第2章连续系统的时域分析
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对上式求导，考虑到 iC (t ) C
duC (t ) dt R1iC (t ) u1 (t )
1 di1 (t ) di 2 L (t ) diL (t ) u1 (t ) L R2 2 R1C dt dt dt
（2-1）
根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))
解此联立方程，最后求得
d 2i1 (t ) 7 di1 (t ) 5 d 2iS (t ) 1 diS (t ) i1 (t ) iS (t ) 2 2 dt 2 dt 2 dt 2 dt d 2i2 (t ) 7 di2 (t ) 5 diS (t ) i2 (t ) 3 2 dt 2 dt 2 dt d 2uO (t ) 7 uO 5 uO (t ) 3iS (t ) 2 dt 2 dt 2
第2章 连续系统的时域分析
引言 2.2 微分方程式的建立和求解 2.3 零输入响应和零状态响应 2.4冲激响应和阶跃响应 2.5卷积积分及其性质 2.6用算子符号表示微分方程
2.1
引言
系统的数学模型： 微分方程 方框图
连续时间系统处理连续信号用微分方程 来描述： 系统的输入与输出之间通过它们时间函 数及其对时间的各阶导数的线性组合联 系起来，不研究系统内部其它信号的变 化－－－输入输出法、端口描述法
在电路分析中，为确定初始条件，常常 利用系统内部储能的连续性，即电容上 电荷的连续性和电感中磁链的连续性。
当电路中没有冲激电流（或阶跃电压） 强迫作用于电容； 当电路中没有冲激电压（或阶跃电流） 强迫作用于电感；有 则换路期间电容两端的电压和流过电 感中的电流不会发生突变。有
uC (t0 ) uC (t0 ) iC (t0 ) iL (t0 )
(2)电感L (3)电容C
diL (t ) 1 t uL ( t ) L , iL iL (t0 ) uL ( )d dt L t0
duC (t ) 1 t iC (t ) C , uC (t ) uC (t0 ) iC ( )d dt C t0
(4)互感(同、异名端连接)、理想变压器 等原、副边电压、电流关系等。 2. 结构约束：KCL与KVL
【解 】 在前面已求得该方程的齐次解和 特解，它们分别是 yh(t)=c1e-t+c2e-2t yp(t)=te-t 因此，完全解是 y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t
由初始条件y(0)=y′(0)=0， 有 y(0)=c1+c2=0 y′(0)=-c1-2c2+1=0 解得c1=-1，c2=1，所以，全响应为 y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)· u(t)
1H ＋ i 1 (t) i S(t) 3 i 2 (t) 1F 2 u O (t)
－
2.1.2 微分方程的经典解 如果单输入、单输出线性非时变的激励 为f(t)，其全响应为y(t)，则描述线性非时 变系统的激励f(t)与响应y(t)之间关系的是 n阶常系数线性微分方程 y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)
(2―2)
d 2i1 (t ) R1 R2 di1 (t ) 1 d 2iS (t ) R1R2 diS (t ) i1 (t ) R1 2 2 dt L dt LC dt L dt
(2―3)
【例】图中所示电路，试分别列出电流 i1(t)、电流i2(t)和电压uO(t)的数学模型。 【 解】
(2)求系统的完全响应
完全解＝齐次解＋特解 齐次解
特征方程为：
特征根为： 齐次解为：
7 10 0
2
1 2,1 5
ih (t ) A1e
2 t
A2 e
5t
特解： 由于t 0+时,e(t)=4V 右端为4X4，令特解为I p（t）＝B 即
10B ＝ 4X4，B＝8/5
完全响应为
i(t ) A1e
2t
A2e
5 t
8 5
(t 0 )
(3)确定换路后的I(0+)和di(0+)/dt
换路前 i 0 i 0 _ L
2 4 A R1 R2 5
d i0 0 dt 4 3 6 vC 0 i0 R2 V 5 2 5
i 1
当特征根中λ1为γ重根，而其余(n-γ)个 根均为单根时，方程的全解为
y (t ) ci t 1e it
i 1
j 1
n
ci e j t y p (t )
如果微分方程的特征根都是单根，则 方程的完全解为
y (t ) ci e it y p (t )
系统分析的任务：给定系统模型和输 入信号求系统的输出响应。
f T[.] y
求响应系统分析方法很多，系统时 域分析法不通过任何变换，直接求 解微分、积分方程； 时域分析方法，直观、物理概念清楚， 是学习各种变换的基础；
2.1 微分方程式的建立和求解
2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模 型是线性常系数微分方程。 对于电系统，列写数学模型的基本依 据有如下两方面:元件约束、结构约束。 1. 元件约束VAR (1)电阻R uR(t)=R· (t)； iR
【例】如图所示，t<0开关S处于1的位置而 且已经达到稳态；当t=0时,S由1转向2。建 立电流I(t)的微分方程并求解I(t)在t0+时的 变化。
2 1 ＋ － S
＋ e(t)=4v －
R1＝1 i(t)
e(t)=2V
iL(t) ic(t) C＝1F R2＝3/2 L＝1/4H
【解】（1）列出电路的微分方程 列出回路方程
【例】求微分方程y″(t)+y(t)=f(t)的齐次解。
【解】由特征方程λ2+1=0解得特征根是 一对共轭复数λ1,2=±j 因此，该方程的齐次解 yh(t)=c1cost+c2sint
2.特解 特解的函数形式与激励函数的形式有 关。表中列出了几种类型的激励函数 f(t)及其所对应的特征解yp(t)。 选定特解后，将它代入到原微分方 程，求出其待定系数Pi ，就可得出 特解。
1 t KCL : i1 (t ) i2 (t ) i2 ( )d iS (t ) 2 KCL : d 1 t 3i1 (t ) (i2 (t )) i2 ( )d uO (t ) dt 2 VAR : uO (t )
t
i2 ( )d
式中 an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1， b0均为常数。 该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次 方程的解即为齐次解yh(t) 。非齐次方程的 特解yp(t) y(t)=yh(t)+yp(t)
1.齐次解
齐次解满足齐次微分方程
y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
【例】求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的齐 次解。
【解】 由特征方程λ2+3λ+2=0解得 特征根λ1=-1， λ2=-2。 因此该方程的齐次解 yh(t)=c1e-t+c2e-2t
【例】 求微分方程 y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齐次解。
【解】 由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重 根λ1=λ2=-1， 因此该方程的齐次解 yh(t)=c1e-t+c2te-t
由高等数学经典理论知，该齐次微分方程 的特征方程为
λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0
(1)特征根均为单根。如果几个特征根都 互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次 解
yh (t ) ci eit
i 1 n
(2) 特征根有重根。若λ1是特征方程的γ 重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ ，而其余(n-γ) 个根λγ+1，λγ+2，…，λn都是单根，则微分 方程的齐次解
d2 d t t ( Pte P0e ) 3 ( Pte t P0e t ) 2( Pte t P0e t ) e t 1 1 1 dt 2 dt
3.完全解 完全解是齐次解与特解之和， 如果微分方程的特征根全为单根，则微 分方程的全解为 n
y (t ) ci e it y p (t )
2.3起始点的跳变－－从0-到0+状态的转换 把响应区间确定为激励信号e(t)加入 之后系统状态变化区间。 一般激励都是从t=0时刻加入，这样 的系统区间定义为0+ t< 如果系统在激励信号加入之前瞬间有 一组状态，系统的起始状态（0_状 态），它包含未来响应的“过去”信 息在激励的作用下，这组状态从t =0_到 t =0+时刻可能发生变化
激励函数及所对应的解
【例】若输入激励f(t)=e-t ，试求微分方程 y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的特解。 【解】 查表，因为f(t)=e-t，α=-1与一个特 征根λ1=-1相同，因此该方程的特解
y p (t ) Pte P0e 1
t t
将特解yp(t)代入微分方程，有
1 diS (t ) diL (t ) d 2iL (t ) diL (t ) (iS (t ) iL (t )) R1 ( )L R2 2 C dt dt dt dt
整理上式后，可得
d 2iL (t ) R1 R2 diL (t ) 1 R1 diS (t ) 1 iL ( t ) iS ( t ) 2 dt L dt LC L dt LC
yh (t ) ci t e
i 1 n
i j t
(3)特征根有一对单复根。 即λ1, 2=a±jb，则微分方程的齐次解 yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt
(4)特征根有一对m重复根。即共有m 重λ1,2=a±jb的复根，则微分方程的齐次解
yh (t ) c1 cos dt c2te at cos dt cmt m 1e at cos dt d1e at sin bt d 2te at sin bt d mt m 1e at sin dt
i 1 n
将给定的初始条件分别代入到式中 及其各阶导数，可得方程组
y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0) y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0) … y(n-1)(0)=λn-11c1+λn-12c2+…+λn-1ncn+y(n-1)p(0)
【例】描述某线性非时变连续系统的微分 方 程 为 y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t) ， 已 知 系 统 的 初 始 条 件 是 y(0)=y′(0)=0 ， 输 入 激 励 f(t)=e-tu(t)，试求全响应y(t)。
R1i(t ) vC (t ) e(t）
d vC (t ) L iL (t ) iL (t ) R2 dt
列结点方程
d i (t ) C vC (t ) iL (t ) dt
消去变量Vc(t)
消去变量IL(t)
2 2
d d d d i(t ) 7 i(t ) 10i) 2 dt dt dt dt
[例] 如图所示电路，输入激励是电流源iS(t), 试列出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出响 应变量的方程式。
L i C(t) i S(t) R1 ＋ u 1 (t) －
iL (t)
R2
[解] 由KVL，列出电压方程
uC (t ) u1 (t ) uL (t ) R2iL (t ) diL (t ) L R2iL (t ) dt
duC (t ) dt R1iC (t ) u1 (t )
1 di1 (t ) di 2 L (t ) diL (t ) u1 (t ) L R2 2 R1C dt dt dt
（2-1）
根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))
解此联立方程，最后求得
d 2i1 (t ) 7 di1 (t ) 5 d 2iS (t ) 1 diS (t ) i1 (t ) iS (t ) 2 2 dt 2 dt 2 dt 2 dt d 2i2 (t ) 7 di2 (t ) 5 diS (t ) i2 (t ) 3 2 dt 2 dt 2 dt d 2uO (t ) 7 uO 5 uO (t ) 3iS (t ) 2 dt 2 dt 2
第2章 连续系统的时域分析
引言 2.2 微分方程式的建立和求解 2.3 零输入响应和零状态响应 2.4冲激响应和阶跃响应 2.5卷积积分及其性质 2.6用算子符号表示微分方程
2.1
引言
系统的数学模型： 微分方程 方框图
连续时间系统处理连续信号用微分方程 来描述： 系统的输入与输出之间通过它们时间函 数及其对时间的各阶导数的线性组合联 系起来，不研究系统内部其它信号的变 化－－－输入输出法、端口描述法
在电路分析中，为确定初始条件，常常 利用系统内部储能的连续性，即电容上 电荷的连续性和电感中磁链的连续性。
当电路中没有冲激电流（或阶跃电压） 强迫作用于电容； 当电路中没有冲激电压（或阶跃电流） 强迫作用于电感；有 则换路期间电容两端的电压和流过电 感中的电流不会发生突变。有
uC (t0 ) uC (t0 ) iC (t0 ) iL (t0 )
(2)电感L (3)电容C
diL (t ) 1 t uL ( t ) L , iL iL (t0 ) uL ( )d dt L t0
duC (t ) 1 t iC (t ) C , uC (t ) uC (t0 ) iC ( )d dt C t0
(4)互感(同、异名端连接)、理想变压器 等原、副边电压、电流关系等。 2. 结构约束：KCL与KVL
【解 】 在前面已求得该方程的齐次解和 特解，它们分别是 yh(t)=c1e-t+c2e-2t yp(t)=te-t 因此，完全解是 y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t
由初始条件y(0)=y′(0)=0， 有 y(0)=c1+c2=0 y′(0)=-c1-2c2+1=0 解得c1=-1，c2=1，所以，全响应为 y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)· u(t)
1H ＋ i 1 (t) i S(t) 3 i 2 (t) 1F 2 u O (t)
－
2.1.2 微分方程的经典解 如果单输入、单输出线性非时变的激励 为f(t)，其全响应为y(t)，则描述线性非时 变系统的激励f(t)与响应y(t)之间关系的是 n阶常系数线性微分方程 y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)
(2―2)
d 2i1 (t ) R1 R2 di1 (t ) 1 d 2iS (t ) R1R2 diS (t ) i1 (t ) R1 2 2 dt L dt LC dt L dt
(2―3)
【例】图中所示电路，试分别列出电流 i1(t)、电流i2(t)和电压uO(t)的数学模型。 【 解】
(2)求系统的完全响应
完全解＝齐次解＋特解 齐次解
特征方程为：
特征根为： 齐次解为：
7 10 0
2
1 2,1 5
ih (t ) A1e
2 t
A2 e
5t
特解： 由于t 0+时,e(t)=4V 右端为4X4，令特解为I p（t）＝B 即
10B ＝ 4X4，B＝8/5
完全响应为
i(t ) A1e
2t
A2e
5 t
8 5
(t 0 )
(3)确定换路后的I(0+)和di(0+)/dt
换路前 i 0 i 0 _ L
2 4 A R1 R2 5
d i0 0 dt 4 3 6 vC 0 i0 R2 V 5 2 5
i 1
当特征根中λ1为γ重根，而其余(n-γ)个 根均为单根时，方程的全解为
y (t ) ci t 1e it
i 1
j 1
n
ci e j t y p (t )
如果微分方程的特征根都是单根，则 方程的完全解为
y (t ) ci e it y p (t )
系统分析的任务：给定系统模型和输 入信号求系统的输出响应。
f T[.] y
求响应系统分析方法很多，系统时 域分析法不通过任何变换，直接求 解微分、积分方程； 时域分析方法，直观、物理概念清楚， 是学习各种变换的基础；
2.1 微分方程式的建立和求解
2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模 型是线性常系数微分方程。 对于电系统，列写数学模型的基本依 据有如下两方面:元件约束、结构约束。 1. 元件约束VAR (1)电阻R uR(t)=R· (t)； iR
【例】如图所示，t<0开关S处于1的位置而 且已经达到稳态；当t=0时,S由1转向2。建 立电流I(t)的微分方程并求解I(t)在t0+时的 变化。
2 1 ＋ － S
＋ e(t)=4v －
R1＝1 i(t)
e(t)=2V
iL(t) ic(t) C＝1F R2＝3/2 L＝1/4H
【解】（1）列出电路的微分方程 列出回路方程
【例】求微分方程y″(t)+y(t)=f(t)的齐次解。
【解】由特征方程λ2+1=0解得特征根是 一对共轭复数λ1,2=±j 因此，该方程的齐次解 yh(t)=c1cost+c2sint
2.特解 特解的函数形式与激励函数的形式有 关。表中列出了几种类型的激励函数 f(t)及其所对应的特征解yp(t)。 选定特解后，将它代入到原微分方 程，求出其待定系数Pi ，就可得出 特解。
1 t KCL : i1 (t ) i2 (t ) i2 ( )d iS (t ) 2 KCL : d 1 t 3i1 (t ) (i2 (t )) i2 ( )d uO (t ) dt 2 VAR : uO (t )
t
i2 ( )d
式中 an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1， b0均为常数。 该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次 方程的解即为齐次解yh(t) 。非齐次方程的 特解yp(t) y(t)=yh(t)+yp(t)
1.齐次解
齐次解满足齐次微分方程
y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
【例】求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的齐 次解。
【解】 由特征方程λ2+3λ+2=0解得 特征根λ1=-1， λ2=-2。 因此该方程的齐次解 yh(t)=c1e-t+c2e-2t
【例】 求微分方程 y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齐次解。
【解】 由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重 根λ1=λ2=-1， 因此该方程的齐次解 yh(t)=c1e-t+c2te-t
由高等数学经典理论知，该齐次微分方程 的特征方程为
λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0
(1)特征根均为单根。如果几个特征根都 互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次 解
yh (t ) ci eit
i 1 n
(2) 特征根有重根。若λ1是特征方程的γ 重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ ，而其余(n-γ) 个根λγ+1，λγ+2，…，λn都是单根，则微分 方程的齐次解
d2 d t t ( Pte P0e ) 3 ( Pte t P0e t ) 2( Pte t P0e t ) e t 1 1 1 dt 2 dt
3.完全解 完全解是齐次解与特解之和， 如果微分方程的特征根全为单根，则微 分方程的全解为 n
y (t ) ci e it y p (t )
2.3起始点的跳变－－从0-到0+状态的转换 把响应区间确定为激励信号e(t)加入 之后系统状态变化区间。 一般激励都是从t=0时刻加入，这样 的系统区间定义为0+ t< 如果系统在激励信号加入之前瞬间有 一组状态，系统的起始状态（0_状 态），它包含未来响应的“过去”信 息在激励的作用下，这组状态从t =0_到 t =0+时刻可能发生变化
激励函数及所对应的解
【例】若输入激励f(t)=e-t ，试求微分方程 y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的特解。 【解】 查表，因为f(t)=e-t，α=-1与一个特 征根λ1=-1相同，因此该方程的特解
y p (t ) Pte P0e 1
t t
将特解yp(t)代入微分方程，有
1 diS (t ) diL (t ) d 2iL (t ) diL (t ) (iS (t ) iL (t )) R1 ( )L R2 2 C dt dt dt dt
整理上式后，可得
d 2iL (t ) R1 R2 diL (t ) 1 R1 diS (t ) 1 iL ( t ) iS ( t ) 2 dt L dt LC L dt LC
yh (t ) ci t e
i 1 n
i j t
(3)特征根有一对单复根。 即λ1, 2=a±jb，则微分方程的齐次解 yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt
(4)特征根有一对m重复根。即共有m 重λ1,2=a±jb的复根，则微分方程的齐次解
yh (t ) c1 cos dt c2te at cos dt cmt m 1e at cos dt d1e at sin bt d 2te at sin bt d mt m 1e at sin dt
i 1 n
将给定的初始条件分别代入到式中 及其各阶导数，可得方程组
y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0) y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0) … y(n-1)(0)=λn-11c1+λn-12c2+…+λn-1ncn+y(n-1)p(0)
【例】描述某线性非时变连续系统的微分 方 程 为 y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t) ， 已 知 系 统 的 初 始 条 件 是 y(0)=y′(0)=0 ， 输 入 激 励 f(t)=e-tu(t)，试求全响应y(t)。
R1i(t ) vC (t ) e(t）
d vC (t ) L iL (t ) iL (t ) R2 dt
列结点方程
d i (t ) C vC (t ) iL (t ) dt
消去变量Vc(t)
消去变量IL(t)
2 2
d d d d i(t ) 7 i(t ) 10i) 2 dt dt dt dt
[例] 如图所示电路，输入激励是电流源iS(t), 试列出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出响 应变量的方程式。
L i C(t) i S(t) R1 ＋ u 1 (t) －
iL (t)
R2
[解] 由KVL，列出电压方程
uC (t ) u1 (t ) uL (t ) R2iL (t ) diL (t ) L R2iL (t ) dt