14动能定理
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11 1 2 3 2 2 vC mR mvC mvC 22 4 R 2
2
理论力学 第二节 动 能
第十四章
动能定理
例题：如图所示系统中，定滑轮B（可视为均质圆盘）和均 质圆柱体C的质量均为m1、半径均为R，重物的质量为m2， 圆柱体C沿倾角为θ 的斜面作纯滚动，在图示瞬时，重物的 速度为v。假设绳与轮间无相对滑动，并不计绳的质量，试 求系统的动能。
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
积分上式得到
1 2 1 2 mv2 mv1 W12 2 2
——动能定理的积分形式
二、质点系的动能定理
质点系中任一质点质量为mi，速度为vi，由质点动能定理
1 2 d mi vi = δWi 2
对于个质点，就有个上述方程，将其相加，得
W12 m1 g max s t k 2 2 W12 ( st max ) 2
在物块下落初始时刻与弹簧达到最大压缩量时，系统各部 分的速度均为零。由质点系动能定理的积分形式得：
k 2 2 0 0 mg (h max st ) m1 g ( max st ) ( st max ) 2
W12
2
1
k 2 k x dx 1 22 2
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
3、 定轴转动刚体上作用力的功
由于
ds Rd
2
R
由变力做功的表达式得到：
d
R ds
F
W = Fcos ds = Fcos Rd
0
s
1
式中
Fcos R M z
第十四章 动能定理
理论力学
第十四章
动能定理
本章我们将学习的内容
各种力的功 质点、质点系及刚体的动能 动能定理
理论力学 第十四章 动能定理
第十四章
动能定理
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
一、常力在直线运动中的功 力矢量与位移矢量的数量积。
F
S
θ
v
W=F· S=FScosθ
理论力学 第一节 力的功
三、平移刚体的动能
四、定轴转动刚体的动能
1 2 1 2 1 2 T mi vi vC mi mvC 2 2 2
1 2 1 1 2 2 2 T mi vi mi ri J z 2 2 2
理论力学 第二节 动 能
第十四章
mg dz mg z1 z2
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
2、弹性力的功
弹性力的大小F与弹簧伸长 或压缩的变形量x成正比 ，即
l0
F
x
1
x
2
dx
F kx
——k称为弹簧的刚度系数
弹性力在直角坐标轴上的投影
Fx k x
Fy Fz 0
由变力做功的表达式得到弹性力的功为：
2
如果 M z 常数
W12 = M z d
1
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
例题：两等长的杆AC、BC组成可动结构，如图所示。A 处为固定铰支座，B处为活动铰支座，两杆在C处铰链连 接，并悬挂质量为m的重物D。一刚度系数为k的弹簧连 于两杆的中点，弹簧的自然长度l0=AC/2,且AC＝BC。若 不计两杆自重，试求当∠CAB由600变为300时，重物D的 重力和弹性力所作的总功。
解： 重物A作平移，速度为v
滑轮B作定轴转动，角速度ω B=v/2
R
C
B
R
圆柱体C作平面运动
质心速度vC=v 角速度ω B=v/R=vC/R
A
v
理论力学 第二节 动 能
第十四章
动能定理
B R
1 TA m2v 2 重物A的动能 R 2 C 1 2 滑轮B的动能 TB J BB 2 2 11 1 2 v m1 R m1v 2 22 4 R 圆柱体C的动能
M1
Fd r
M2
M1
Fx dx + Fy dy + Fz dz
理论力学
第十四章
动能定理
第一节 力的功
三、几种常见力的功 1、重力的功
设质点由M1运动到M2，
、
z
M1 M z1 M2 P
重力的在坐标轴上的投影为
o
y
z2
Fx Fy 0
重力的功为：
Fz mg
x
W12
z2
z1
第十四章
动能定理
z
二、变力的功
M
δW = Fcos ds
δW = F • d r
k
M1
ds
θ
M'
dr
r
i
x o j
F
M2 y
τ
F = Fx i + Fy j + Fz k
d r = dx i + dy j + dz k
δW = Fx dx + Fy dy+ Fz dz
W
M2
M1
δW
M2
2π
O
力偶M与物块A、B重力所作的总功
B A
mA g
mB g
W 9.8πJ 8π J 110 J
2
理论力学 第十四章 动能定理
第十四章
动能定理
理论力学 第二节 动 能
第十四章
动能定理
一、质点的动能 二、质点系的动能
1 2 T mv 2
1 2 T mi vi 2
n 1 1 n d mi vi2 d mi vi2 δWi 2 i1 2 i1 i 1 n
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
n 1 1 n 2 2 d 2 mi vi d 2 mi vi δWi i 1 i 1 i 1 n
整理得：
k 2 m g2 m1mg 2 max (mg m1 g ) max mgh 0 2 2k k
解得弹簧的最大压缩量为：
2 1
max
(m m1 )g (mg m1 g ) 2 (m12 g 2 2kmgh 2m1mg 2 ) k
理论力学 第三节 动 能 定 理
解： 1、重物D的重力功
重物D下降的高度差
z1 z2 2l0 sin60o sin30o
重力的功
3 1 l0
W1 mg
3 1 l0
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
2、弹性力的功 设当 ∠CAB由600变为300时 弹簧的变形量由δ1＝0变为
2 2l0 cos30o l0
动能定理
五、平面运动刚体的动能 设刚体对瞬心轴P的转动惯量为JP，ω 为刚体的角速度 则平面运动刚体动能为：
1 T J P 2 2
根据转动惯量的平行移轴公式
J P J C mb
2
得到平面运动刚体动能的另一种表达方式：
2 1 1 1 1 2 2 2 T J C m b J C mvC 2 2 2 2
为研究对象 ，质点系的初动能为：
O1
M
曲柄O1O2绕O2作定轴转动，轮Ⅰ作平面运动 曲柄O1O2的角速度为ω 轮Ⅰ的质心速度
vO1 l l 1 r1
T1 0
O2
轮Ⅰ的角速度
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
曲柄O1O2转过φ角时质点系的动能为 11 1 11 1 m2 3m1 2 2 2 2 2 2 2 T2 m2l m1vO1 m1r1 1 l 23 2 22 2 3 2 系统处于水平面内只有力偶M作功 由质点系动能定理的积分形式得：
解：重物A、B的重力功为
M
O
W1 mA g r mB g r
3 2 kg 9.8m/s 2 2π 0.5m 9.8πJ
B A
mA g
mB g
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
力偶的功
M
W2 Md 4d 8π J
2 0 0
2π
解： 选取杆和轮组成的质点系为研究对
象, 系统的初动能为：
T1 0
杆和轮都作平面运动，AB杆的速度瞬 心为点 P，如图
1 m2 3m1 2 2 ( ) l M 2 3 2
得曲柄的角速度为
12 M (9m1 2m2 )l 2
上式两边同时对时间求导得曲柄的角加速度为 6M (9m1 2m2 )l 2
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
例题：均质杆AB长为l，质量为m1，B端靠在光滑的墙壁上，另 一端A用光滑铰链与均质圆轮的轮心A相连，如图所示。已知圆 轮的质量m2为，半径为R，在水平面上作纯滚动。假设运动初 始时系统静止，AB杆与水平线间的夹角φ =450，试求轮心A在 初瞬时的加速度。
解： 选取物块、平板和弹簧组成的质点
系为研究对象 初始时，弹簧在板的重力作用下有 一静压缩量：
m
h
设弹簧的最大压缩量为δmax 物块重力作功为
m1 g s t k
st
max
W12 mg h max s t
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
平板重力作功为 弹性力作功为
理论力学 第二节 动 能
第十四章
动能定理
例题：如图所示，质量为m、长为l的均质杆绕O轴摆动，已知 摆动方程为φ = φ0sinbt ，其中φ0、b为常数，试计算该杆在 任一瞬时的动能。
解：杆件绕O轴的转动惯量为
角速度
1 2 J O ml 3 d 0bcosbt dt
O
l
该杆在任一瞬时的动能为：
第十四章
动能定理
例题：如图所示，均质轮Ⅰ的质量为m1，半径为r1，在均质 曲柄的带动下沿半径为r2的固定轮Ⅱ作纯滚动。曲柄O1O2的 质量为m2，长l0=r1+r2。系统处于水平面内，曲柄上作用有 一不变的力偶矩M。初始时系统静止。若不计各处摩擦，试 求曲柄转过角φ时，曲柄的角速度和角加速度。
解： 选取曲柄O1O2和轮Ⅰ组成的质点系
3 1 l0
由弹性力功的计算式得到弹性力功为：
总的功为： W W mg W 3 1 l
1 2 0
( 3 1) 2 2 W2 kl0 2
3 1 2
2 2 kl0
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
例题：圆盘的半径人r＝0.5m，可绕水平轴O转动，如图所示。 在绕过圆盘的绳上吊有两物块A、B，质量分别为mA=3kg、 mB=2kg。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按M=4 φ的规律变化 （M以Nm计 ， φ以rad计）。设绳与盘之间无相对滑动，试求 转角由到时，力偶与物块、重力所作的总功。
其中
1 2 2 mi vi T i 1
n
dT δWi T2 T1 = Wi
——质点系动能定理的微分形式
——质点系动能定理的积分形式
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
例题：如图所示，质量m为的物块，自高度处h自由落下，落 到下面有弹簧支撑的平板上。设板的质量为m1，弹簧的刚度 系数为k。若不计弹簧质量，试求弹簧的最大压缩量。
2
A
v
1 1 1 11 3 2 2 2 2 v TC m1vC J CC m1v m1R m1v 2 2 2 2 22 4 R
系统的动能
T TA TB TC 1 1 3 1 2 2 2 m2v m1v m1v (m2 2m1 )v 2 2 4 4 2
1 1 2 2 2 2 2 T J O ml 0 b cos bt 2 6
理论力学 第二节 动 能
第十四章
动能定理
例题：如图所示，已知均质圆轮的半径为R，质量为m，轮 心C以速度vc沿平直轨道作纯滚动，试求圆轮的动能。
解： 圆轮作平面运动,由平面运
动动能计算公式得：
C
vC
1 1 2 2 T J C mvC 2 2
理论力学 第十四章 动 能 定 理
第十四章
动能定理
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
一、质点的动能定理 对矢量形式的质点运动微分方程
dv m F dt dr 由于 v = dt
dv m dr F dr dt
δW F
而 故有
md v v = δW 1 1 2 d v v = d v v = d v 2 2 1 2 d mv = δW ——动能定理的微分形式 2
2
理论力学 第二节 动 能
第十四章
动能定理
例题：如图所示系统中，定滑轮B（可视为均质圆盘）和均 质圆柱体C的质量均为m1、半径均为R，重物的质量为m2， 圆柱体C沿倾角为θ 的斜面作纯滚动，在图示瞬时，重物的 速度为v。假设绳与轮间无相对滑动，并不计绳的质量，试 求系统的动能。
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
积分上式得到
1 2 1 2 mv2 mv1 W12 2 2
——动能定理的积分形式
二、质点系的动能定理
质点系中任一质点质量为mi，速度为vi，由质点动能定理
1 2 d mi vi = δWi 2
对于个质点，就有个上述方程，将其相加，得
W12 m1 g max s t k 2 2 W12 ( st max ) 2
在物块下落初始时刻与弹簧达到最大压缩量时，系统各部 分的速度均为零。由质点系动能定理的积分形式得：
k 2 2 0 0 mg (h max st ) m1 g ( max st ) ( st max ) 2
W12
2
1
k 2 k x dx 1 22 2
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
3、 定轴转动刚体上作用力的功
由于
ds Rd
2
R
由变力做功的表达式得到：
d
R ds
F
W = Fcos ds = Fcos Rd
0
s
1
式中
Fcos R M z
第十四章 动能定理
理论力学
第十四章
动能定理
本章我们将学习的内容
各种力的功 质点、质点系及刚体的动能 动能定理
理论力学 第十四章 动能定理
第十四章
动能定理
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
一、常力在直线运动中的功 力矢量与位移矢量的数量积。
F
S
θ
v
W=F· S=FScosθ
理论力学 第一节 力的功
三、平移刚体的动能
四、定轴转动刚体的动能
1 2 1 2 1 2 T mi vi vC mi mvC 2 2 2
1 2 1 1 2 2 2 T mi vi mi ri J z 2 2 2
理论力学 第二节 动 能
第十四章
mg dz mg z1 z2
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
2、弹性力的功
弹性力的大小F与弹簧伸长 或压缩的变形量x成正比 ，即
l0
F
x
1
x
2
dx
F kx
——k称为弹簧的刚度系数
弹性力在直角坐标轴上的投影
Fx k x
Fy Fz 0
由变力做功的表达式得到弹性力的功为：
2
如果 M z 常数
W12 = M z d
1
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
例题：两等长的杆AC、BC组成可动结构，如图所示。A 处为固定铰支座，B处为活动铰支座，两杆在C处铰链连 接，并悬挂质量为m的重物D。一刚度系数为k的弹簧连 于两杆的中点，弹簧的自然长度l0=AC/2,且AC＝BC。若 不计两杆自重，试求当∠CAB由600变为300时，重物D的 重力和弹性力所作的总功。
解： 重物A作平移，速度为v
滑轮B作定轴转动，角速度ω B=v/2
R
C
B
R
圆柱体C作平面运动
质心速度vC=v 角速度ω B=v/R=vC/R
A
v
理论力学 第二节 动 能
第十四章
动能定理
B R
1 TA m2v 2 重物A的动能 R 2 C 1 2 滑轮B的动能 TB J BB 2 2 11 1 2 v m1 R m1v 2 22 4 R 圆柱体C的动能
M1
Fd r
M2
M1
Fx dx + Fy dy + Fz dz
理论力学
第十四章
动能定理
第一节 力的功
三、几种常见力的功 1、重力的功
设质点由M1运动到M2，
、
z
M1 M z1 M2 P
重力的在坐标轴上的投影为
o
y
z2
Fx Fy 0
重力的功为：
Fz mg
x
W12
z2
z1
第十四章
动能定理
z
二、变力的功
M
δW = Fcos ds
δW = F • d r
k
M1
ds
θ
M'
dr
r
i
x o j
F
M2 y
τ
F = Fx i + Fy j + Fz k
d r = dx i + dy j + dz k
δW = Fx dx + Fy dy+ Fz dz
W
M2
M1
δW
M2
2π
O
力偶M与物块A、B重力所作的总功
B A
mA g
mB g
W 9.8πJ 8π J 110 J
2
理论力学 第十四章 动能定理
第十四章
动能定理
理论力学 第二节 动 能
第十四章
动能定理
一、质点的动能 二、质点系的动能
1 2 T mv 2
1 2 T mi vi 2
n 1 1 n d mi vi2 d mi vi2 δWi 2 i1 2 i1 i 1 n
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
n 1 1 n 2 2 d 2 mi vi d 2 mi vi δWi i 1 i 1 i 1 n
整理得：
k 2 m g2 m1mg 2 max (mg m1 g ) max mgh 0 2 2k k
解得弹簧的最大压缩量为：
2 1
max
(m m1 )g (mg m1 g ) 2 (m12 g 2 2kmgh 2m1mg 2 ) k
理论力学 第三节 动 能 定 理
解： 1、重物D的重力功
重物D下降的高度差
z1 z2 2l0 sin60o sin30o
重力的功
3 1 l0
W1 mg
3 1 l0
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
2、弹性力的功 设当 ∠CAB由600变为300时 弹簧的变形量由δ1＝0变为
2 2l0 cos30o l0
动能定理
五、平面运动刚体的动能 设刚体对瞬心轴P的转动惯量为JP，ω 为刚体的角速度 则平面运动刚体动能为：
1 T J P 2 2
根据转动惯量的平行移轴公式
J P J C mb
2
得到平面运动刚体动能的另一种表达方式：
2 1 1 1 1 2 2 2 T J C m b J C mvC 2 2 2 2
为研究对象 ，质点系的初动能为：
O1
M
曲柄O1O2绕O2作定轴转动，轮Ⅰ作平面运动 曲柄O1O2的角速度为ω 轮Ⅰ的质心速度
vO1 l l 1 r1
T1 0
O2
轮Ⅰ的角速度
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
曲柄O1O2转过φ角时质点系的动能为 11 1 11 1 m2 3m1 2 2 2 2 2 2 2 T2 m2l m1vO1 m1r1 1 l 23 2 22 2 3 2 系统处于水平面内只有力偶M作功 由质点系动能定理的积分形式得：
解：重物A、B的重力功为
M
O
W1 mA g r mB g r
3 2 kg 9.8m/s 2 2π 0.5m 9.8πJ
B A
mA g
mB g
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
力偶的功
M
W2 Md 4d 8π J
2 0 0
2π
解： 选取杆和轮组成的质点系为研究对
象, 系统的初动能为：
T1 0
杆和轮都作平面运动，AB杆的速度瞬 心为点 P，如图
1 m2 3m1 2 2 ( ) l M 2 3 2
得曲柄的角速度为
12 M (9m1 2m2 )l 2
上式两边同时对时间求导得曲柄的角加速度为 6M (9m1 2m2 )l 2
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
例题：均质杆AB长为l，质量为m1，B端靠在光滑的墙壁上，另 一端A用光滑铰链与均质圆轮的轮心A相连，如图所示。已知圆 轮的质量m2为，半径为R，在水平面上作纯滚动。假设运动初 始时系统静止，AB杆与水平线间的夹角φ =450，试求轮心A在 初瞬时的加速度。
解： 选取物块、平板和弹簧组成的质点
系为研究对象 初始时，弹簧在板的重力作用下有 一静压缩量：
m
h
设弹簧的最大压缩量为δmax 物块重力作功为
m1 g s t k
st
max
W12 mg h max s t
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
平板重力作功为 弹性力作功为
理论力学 第二节 动 能
第十四章
动能定理
例题：如图所示，质量为m、长为l的均质杆绕O轴摆动，已知 摆动方程为φ = φ0sinbt ，其中φ0、b为常数，试计算该杆在 任一瞬时的动能。
解：杆件绕O轴的转动惯量为
角速度
1 2 J O ml 3 d 0bcosbt dt
O
l
该杆在任一瞬时的动能为：
第十四章
动能定理
例题：如图所示，均质轮Ⅰ的质量为m1，半径为r1，在均质 曲柄的带动下沿半径为r2的固定轮Ⅱ作纯滚动。曲柄O1O2的 质量为m2，长l0=r1+r2。系统处于水平面内，曲柄上作用有 一不变的力偶矩M。初始时系统静止。若不计各处摩擦，试 求曲柄转过角φ时，曲柄的角速度和角加速度。
解： 选取曲柄O1O2和轮Ⅰ组成的质点系
3 1 l0
由弹性力功的计算式得到弹性力功为：
总的功为： W W mg W 3 1 l
1 2 0
( 3 1) 2 2 W2 kl0 2
3 1 2
2 2 kl0
理论力学 第一节 力的功
第十四章
动能定理
例题：圆盘的半径人r＝0.5m，可绕水平轴O转动，如图所示。 在绕过圆盘的绳上吊有两物块A、B，质量分别为mA=3kg、 mB=2kg。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按M=4 φ的规律变化 （M以Nm计 ， φ以rad计）。设绳与盘之间无相对滑动，试求 转角由到时，力偶与物块、重力所作的总功。
其中
1 2 2 mi vi T i 1
n
dT δWi T2 T1 = Wi
——质点系动能定理的微分形式
——质点系动能定理的积分形式
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
例题：如图所示，质量m为的物块，自高度处h自由落下，落 到下面有弹簧支撑的平板上。设板的质量为m1，弹簧的刚度 系数为k。若不计弹簧质量，试求弹簧的最大压缩量。
2
A
v
1 1 1 11 3 2 2 2 2 v TC m1vC J CC m1v m1R m1v 2 2 2 2 22 4 R
系统的动能
T TA TB TC 1 1 3 1 2 2 2 m2v m1v m1v (m2 2m1 )v 2 2 4 4 2
1 1 2 2 2 2 2 T J O ml 0 b cos bt 2 6
理论力学 第二节 动 能
第十四章
动能定理
例题：如图所示，已知均质圆轮的半径为R，质量为m，轮 心C以速度vc沿平直轨道作纯滚动，试求圆轮的动能。
解： 圆轮作平面运动,由平面运
动动能计算公式得：
C
vC
1 1 2 2 T J C mvC 2 2
理论力学 第十四章 动 能 定 理
第十四章
动能定理
理论力学 第三节 动 能 定 理
第十四章
动能定理
一、质点的动能定理 对矢量形式的质点运动微分方程
dv m F dt dr 由于 v = dt
dv m dr F dr dt
δW F
而 故有
md v v = δW 1 1 2 d v v = d v v = d v 2 2 1 2 d mv = δW ——动能定理的微分形式 2