2022年河南省郑州市第一高级中学高三数学文月考试卷含解析

2022年河南省郑州市第一高级中学高三数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π）B．[0，]∪[，π）C．[0，] D．[0，]∪（，π）
参考答案：
B
考点：直线的倾斜角．
专题：计算题．
分析：由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．
解答：解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=﹣sinα，
∵|sinα|≤1，∴|k|≤1
∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）
故选B
点评：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．
2. 在等比数列{a n}中，a5·a11＝3，a3＋a13＝4，则＝()
A．3或 B. C．3 D．－3或－
参考答案：
A
3. 原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）
（A）真，假，真（B）假，假，真（C）真，真，假（D）假，假，假
参考答案：
A
4. 已知以4为周期的函数其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
5. 在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次．设命题是“甲落地站稳”,是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
略
6. 利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
参考答案： B 略
7. 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）
（A ）150种 ( B ) 180 种 (C) 240 种 (D) 540 种
参考答案：
A
人可以分为
和
两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为
种,故选A ．
8. 复数
的值是
A.
B. 1
C.
D.
参考答案： A
，选A.
9. 函数
的零点的个数为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
参考答案：
C
略
10. （12）设函数
是函数
的导函数，
，若对任意的
，都有
，则
的解集为
（A ）(－1,1) （B ）(－1,+∞) （C ）(－∞,－1) （D ）(－∞,1)
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等差数列中，，则＝_________
参考答案：
21 设公差为
，因为，所以，
12. 在数列
中，
，对于任意自然数n ，都有
，则
＝
参考答案：
4951 13. 已知函数
是奇函数，当
时，
则当
时，
▲ 。

参考答案：
略
14. 在中，，
，是的中点，那么 ____________;若是
的中点，
是
（包括边界）内任一点．则
的取值范围是___________.
参考答案：
2;
.
将直角三角形放入直角坐标系中，则,设，则
，令，则，做直线
，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，但此时最小，当直线经过点B时，直线的截距最小，此时最大。

即的最下值为
，最大值为，即。

的取值范围是。

15. 在△ABC中，已知，△ABC的面积为，则c＝＿＿＿
参考答案：
．
由得，又得．
16. 设满足约束条件若目标函数的最大值为1，则
的最小值为
．参考答案：
9
17. 已知，，若，则k
=______．
参考答案：
8
【分析】
由向量平行的坐标运算即可得出。

【详解】，
，解得
【点睛】若，平行或者共线，则。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数在点处的切线斜率为
（1）讨论的增减性；
（2）若在上没有零点，求实数的取值范围.
参考答案：
19. 设命题
若“的充分不必要条件，求实数m的取值范围。

参考答案：
解：由：，解得，
∴“”：．
由：，解得：
∴“”：
由“”是“”的充分不必要条件可知：．
解得．
∴满足条件的m的取值范围为．
略
20. 已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2（f'（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：×××…×＜（n≥2，n∈N*）．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），
对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g （x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．
（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．
【解答】解：（Ⅰ）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数
（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴
（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
21. 四棱锥底面是平行四边形，面面,
,,分别为的中点.
（1）求证：
（2）求证：
（3）求二面角的余弦值
参考答案：
（1）
,所以
（2）----------------①
所以
-----------------------②
由①②可知，
(3)取的中点,
是二面角
的平面角由（2）知
即二面角的余弦值为
解法二（1）
所以
建系令
,
因为平面PAB的法向量
(2)
(3) 设平面PAD的法向量为,
令所以
平面PAB的法向量
，即二面角的余弦值为
略
22. （本小题满分12分）
如图，已知直三棱柱中，分别是的中点，点在线段上运动，且。

（1）证明：无论取何值时，总有平面；
（2）若，试求三棱锥的体积。

参考答案：。