沈阳数学高一下期末测试题(答案解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：12728]△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =
，
2c =，2
cos 3
A =
，则b= A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
2．(0分)[ID ：12713]若cos(π4
−α)=35
，则sin2α=（ ） A ．7
25
B ．1
5
C ．−1
5
D ．−7
25
3．(0分)[ID ：12712]已知不等式()19a x y x y ⎛⎫
++
⎪⎝⎭
≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
4．(0分)[ID ：12701]在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若
sin 5sin 2A c B b =，7sin 4B =，57
4
ABC S =△，则b =（ ） A ．23
B ．27
C ．15
D ．14
5．(0分)[ID ：12692]已知数列{}n a 的前n 项和2
2n S n n =+，那么它的通项公式是
（ ） A ．21n a n =- B ．21n a n =+ C ．41n a n =-
D ．41n a n =+
6．(0分)[ID ：12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．7,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ D ．5,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ 7．(0分)[ID ：12671]函数223()2x
x x
f x e +=的大致图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．(0分)[ID ：12666]已知函数21(1)()2(1)
a x x f x x x x x ⎧++>⎪
=⎨
⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数
a 的取值范围是
A ．[]0,1
B ．(]0,1
C ．[]1,1-
D ．(]1,1-
9．(0分)[ID ：12663]设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛
⎫
><
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）
A ．()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 B ．()f x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递减
C ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减
D ．()f x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增
10．(0分)[ID ：12661]记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数
{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(1,1)(3,4)-
B ．(1,3)
C ．(1,4)-
D ．(,1)
(4,)-∞-+∞
11．(0分)[ID ：12654]已知二项式12(*)n
x n N x ⎛
⎫-∈ ⎪⎝
⎭的展开式中第2项与第3项的二
项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14
B ．14-
C ．240
D ．240-
12．(0分)[ID ：12650]下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，
P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
13．(0分)[ID ：12643]已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
14．(0分)[ID ：12639]在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，
7b =，8c =，则A C +=
A ．90︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．150︒
15．(0分)[ID ：12634]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A ．20
B ．10
C ．30
D ．60
二、填空题
16．(0分)[ID ：12816]在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________．
17．(0分)[ID ：12801]若,a b 是函数()()2
0,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零
点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．
18．(0分)[ID ：12788]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =4
5
，cos C =
5
13
，a =1，则b =___. 19．(0分)[ID ：12779]如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.
20．(0分)[ID ：12755]已知点()M a b ，在直线3415x y +＝
22a b +_______．
21．(0分)[ID ：12741]已知a ∈R ，命题p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是_____．
22．(0分)[ID ：12737]函数2cos 1y x =+的定义域是 _________.
23．(0分)[ID ：12768]设0x >，0y >，24x y +=，则
(1)(21)
x y xy
++的最小值为
__________.
24．(0分)[ID ：12765]设α为锐角，若4cos()6
5π
α+=
，则sin(2)12
π
α+的值为______. 25．(0分)[ID ：12810]若三点1
(2,3),(3,2),(,)2
A B C m --共线，则m 的值
为 ．
三、解答题
26．(0分)[ID ：12923]已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；
(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．
27．(0分)[ID ：12903]已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y=kx-2． （1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；
（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围； （3）若1
k 2
=
，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点．
28．(0分)[ID ：12898]已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，
若1cos cos sin sin 2
B C B C -=
． （1）求角A 的大小；
（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．
29．(0分)[ID ：12867]某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：
①若3xy ≤，则奖励玩具一个； ②若8xy ≥，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
30．(0分)[ID：12841]已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；
(2)设g(x)＝log4
4
•2
3
x
a a
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的
取值范围．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
2．D
3．C
4．D
5．C
6．A
7．B
8．C
9．A
10．A
11．C
12．C
13．A
14．B
15．B
二、填空题
16．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为
17．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=pab=q再由ab﹣2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab的方程组求得ab后得答案【详解】由题意可得：a+b=p
18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信
19．2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A（2-2）代入得m=-2∴代入B得故水面宽为米故答案为米考点：抛物线的应用
20．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于
21．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命
22．【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x的不等式求解不等式即可确定函数的定义域【详解】函数有意义则：即求解三角不等式可得：则函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出
23．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立
24．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦
25．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
由余弦定理得，
解得（舍去），故选D.
【考点】
余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
2．D
解析：D
【解析】
试题分析：cos[2(π
4−α)]=2cos2(π
4
−α)−1=2×(3
5
)2−1=−7
25
，
且cos[2(π
4−α)]=cos[π
2
−2α]=sin2α，故选D.
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥
⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】
()11a ax y
x y a x y y x
⎛⎫++=+++
⎪⎝⎭. 若0xy <，则0y
x
<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；
若0xy >，则0y
x
>，0x y >.
①当0a <时，
1ax y
a y x
+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，
111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
≥不恒成立； ③当0a >时，
(
))
2
11111a ax y x y a a a x y y x
⎛⎫++=+++≥+=+=
⎪⎝⎭，
当且仅当=y 时，等号成立.
所以，
)
2
19≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.
故选：C. 【点睛】
本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简
sin 5sin 2A c
B b
=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c
，由sin B =
，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案．
【详解】 由于
sin 5sin 2A c B b
=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即5
2a c =
由于在ABC
中，sin B =
，ABC S =△
1sin 2ABC
S ac B =
=
联立521
sin 24sin 4a c ac B B ⎧
=⎪⎪
⎪=
⎨⎪⎪=
⎪⎩
，解得：5a =，2c = 由于B
为锐角，且sin B =
，所以3cos 4B ==
所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=
，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．
5．C
解析：C 【解析】
分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，
当2n ≥时，2
2
1(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：
()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
其单调增区间满足：()23222232
k x k k Z π
π
πππ+
≤-≤+∈，
解得：()713
1212
k x k k Z ππππ+
≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
. 故选A . 【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．B
解析：B 【解析】
由()f x 的解析式知仅有两个零点3
2
x =-
与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()223
2x
x x f x e
-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 8．C
解析：C 【解析】
x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a a
f x x f x x x
=+
+'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，
而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.
点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可. 【详解】
()π
f x ωx φ,4⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=，
又f x f x （）（）
-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈ ∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2sin 2x 2cos2x 444⎛⎫=-∴=--=- ⎪⎝
⎭, 当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2
≤≤+
,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A.
【点睛】 本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可．
【详解】
函数()f x 的图象如图，
直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ，
故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<.
故选A.
【点睛】
本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
由二项展开式的通项公式为()12r n r r r n T C x x -+⎛= ⎝
及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解．
【详解】
二项展开式的第1r +项的通项公式为()112r n r r r n T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =.
解得：6n =.
所以()()3662161221r r n r r r r r r n T C
x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 令3632r -=，解得：2r ，
所以3x 的系数为()2262621240C --=
故选C
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.
【详解】
对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .
对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.
对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.
对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .
综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 13．A
解析：A
【解析】
由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.6
1><<<，所以1,0,01a b c ><<<，
所以a c b >>，故选A . 14．B
解析：B
【解析】
【分析】 由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =
，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A C +的值．
【详解】
在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，
∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582
a c
b B a
c +-+-===⨯⨯， b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，
18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ．
【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．
15．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.
【详解】
由三视图可得几何体直观图如下图所示：
可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322
S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332
V Sh ==⨯⨯= 本题正确选项：B
【点睛】
本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.
二、填空题
16．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为 解析：14
【解析】 概率为几何概型，如图，满足20x y -<的概率为2111122=14OAB
S S ∆⨯⨯=正方形
17．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的
关系得到a+b=pab=q再由ab﹣2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab的方程组求得ab后得答案【详解】由题意可得：
a+b=p
解析：9
【解析】
【分析】
由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【详解】
由题意可得：a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，
也可适当排序后成等比数列，
可得①或②．
解①得：；解②得：．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=9．
故答案为9．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．
【思路点睛】
解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．
18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信
解析：2113 【解析】 试题分析：因为45cos ,cos 513
A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513
A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65
B A
C A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13
a B
b A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
19．2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A （2-2）代入得m=-2∴代入B 得故水面宽为米故答案为米考点：抛物线的应用 解析：26米
【解析】
【分析】
【详解】
如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2
x my =，
将A （2，-2）代入2x my =，
得m=-2，
∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x = 故水面宽为266
考点：抛物线的应用
20．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于 解析：3
【解析】
()
0,0到点(),a b的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果.
【详解】
()
0,0到点(),a b的距离，又∵点(),
M a b在直线:3425
l x y
+=
()
0,0到直线34150
x y
+-=的距离，且
3
d==.
【点睛】
本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.
21．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命
解析：2
a≤-或1
a=
【解析】
【分析】
根据不等式恒成立化简命题p为1
a≤，根据一元二次方程有解化简命题q为2
a≤-或1
a≥，再根据且命题的性质可得结果.
【详解】
若命题p：“[]
1,2
x
∀∈，20
x a
-≥”为真；
则10
a
-≥，
解得：1
a≤，
若命题q：“x∃∈R，2220
x ax a
++-=”为真，
则()
2
4420
a a
∆=--≥，
解得：2
a≤-或1
a≥，
若命题“p q
∧”是真命题，则2
a≤-，或1
a=，
故答案为2
a≤-或1
a=
【点睛】
解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.
22．【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x的不等式求解不等式即可确定函数的定义域【详解】函数有意义则：即求解三角不等式可得：则函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出
解析：()
22
2,2
33
k k k Z
ππ
ππ
⎡⎤
-+∈
⎢⎥
⎣⎦
【解析】
由函数的解析式得到关于x 的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域.
【详解】
函数有意义，则：2cos 10x +≥，即1cos 2x ≥-
， 求解三角不等式可得：()222233k x k k Z ππππ-
≤≤+∈， 则函数的定义域为()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-
+∈⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 23．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立 解析：
92
. 【解析】
【分析】 把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy
++++++===+，再利用基本不等式求最值．
【详解】
由24x y +=，得24x y +=≥，得2xy ≤
(1)(21)221255592222
x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=， 等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为
92
． 【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 24．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦
解析：50
【解析】
试题分析：2
47cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，24sin(2)325πα+=，所以sin(2)sin(2)1234π
ππ
αα+=+-
2472525⎫=-=⎪⎝⎭ 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．
【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍角，并且加了6π，我们考虑它的二倍角的情况，即247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭
，同时求出其正弦值24sin(2)325πα+=，而要求的角sin(2)sin(2)1234
πππαα+=+-，再利用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号. 25．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12
【解析】 试题分析：依题意有AB AC k k =，即
531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．
三、解答题
26．
（1）a n ＝－2n ＋5.（2）4
【解析】
（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，，解出a 1＝3，d ＝－2．
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．
（Ⅱ）S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4． 27．
（1）k=±1；（2）（
1-）∪（1
）；（3）直线CD 过定点（112
-，
）． 【解析】
【分析】
（1）由直线l 与圆O 相切，得圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径
，由此能求出k ．
（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k 的取值范
围．
（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设P （t ，122t -），其方程为221202x tx y t y ⎛⎫-+--=
⎪⎝⎭，C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，求出直线CD ：（x+y 2）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD 过定点（1,12
-）． 【详解】
解：（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y=kx-2．直线l 与圆O 相切， ∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径
，
即
=，
解得k=±1． （2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），
将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0， ∴1224k x x 1k +=+，122
2x x 1k =+， △=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2＞1，
当∠AOB 为锐角时，
OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2）
=()()212121k x x 2k x x 4+-++ =2
262k 1k
-+＞0， 解得k 2＜3，
又k 2＞1，∴
k 1-＜或1＜k
．
故k 的取值范围为（
1-）∪（1
（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设P （t ，
1t 22-），其方程为x （x-t ）+y （y 1t 22-+）=0， ∴221x tx y t 2y 02⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭
， 又C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，
两圆作差得l CD ：tx+1t 2y 202⎛⎫--= ⎪⎝⎭
，即（x+y 2）t-2y-2=0， 由y 0{?2220x y +=+=，得1{?21x y ==-，
∴直线CD 过定点（112
-，
）． 【点睛】
本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 28．
（1）23A π=
；（2）3. 【解析】
【分析】
（1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出()cos B C +的值，确定出B C +的度数，即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a 与b c +的值代入求出bc 的值，再由sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积.
【详解】
(1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝， ∴cos(B ＋C )＝.
∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A )＝.∴cos A ＝－.
又∵0<A <π，∴A ＝.
(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A .
则(2)2＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·cos .
∴12＝16－2bc －2bc ·
(－)．∴bc ＝4. ∴S △ABC ＝bc ·
sin A ＝×4×＝.
【点睛】
本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 29．
（Ⅰ）
516
.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 【解析】
【分析】
【详解】 （Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），
（2,3），（2,4），
（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩
具的概率为
5 16
．
（Ⅱ）满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，
所以小亮获得水杯的概率为
6 16
；
小亮获得饮料的概率为
565
1
161616
--=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
30．
（1）k＝－1
2
.（2）{－3}∪(1，＋∞)．
【解析】
(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.
log441
41
x
x
－
＋
＋
＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－
1
2
.
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－1
2
x＝
log4
4
•2
3
x
a a
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
－有且只有一个实根，化简得方程2x＋
1
2x
＝a·2x－
4
3
a有且只有一个实
根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－4
3
at－1＝0有且只有一个正根．
①a＝1t＝－3
4
，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝
3
4
或－3.若a＝
3
4
t＝－2，不合题
意，若a＝－3t＝1
2
；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即
1
1
a
-
-
<0a>1.
综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．。