「精品」高中数学第二章参数方程三直线的参数方程检测含解析新人教A版选修4_4(1)

三、直线的参数方程
A 级 基础巩固
一、选择题
1．直线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，
y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤α<π)必过点( )
A ．(1，－2)
B ．(－1，2)
C ．(－2，1)
D ．(2，－1)
解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线． 答案：A
2．对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，
y ＝2－t sin 30°，
下列结论正确的是( ) A ．是倾斜角为30°的两平行直线 B ．是倾斜角为150°的两重合直线 C ．是两条垂直相交于点(1，2)的直线 D ．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线 解析：因为参数方程⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°，可化为标准形式⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝1＋t cos 150°，y ＝2＋t sin 150°，所以其倾斜角为
150°.
同理，参数方程⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，
可化为标准形式⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋（－t ）cos 150°，
y ＝2＋（－t ）sin 150°，
所以其倾斜角也为150°.
又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合． 答案：B
3．若直线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，
y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝( )
A.8
3 B ．－6 C ．6
D ．－83
解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－3
2，
由题意得直线4x ＋ky ＝1的斜率为－4
k
，
故－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－4k ＝－1，解得k ＝－6.
答案：B
4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 是参数，0≤θ<π)与圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α是参数)相切，则θ＝ ( )
A.π
3 B.2π
3 C.π6或5π6
D.π3或2π3
解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2
＋y 2
＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线
x tan θ－y ＝0的距离等于半径2，即
|4tan θ|
tan 2
θ＋1
＝2，解得tan θ＝±32，易知θ＝π6或5π
6.
答案：C
5．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，
y ＝3＋2sin θ(θ
为参数)，直线的方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，
y ＝6t －1(t 为参数)，则
直线与圆的位置关系是( )
A ．相交过圆心
B ．相交而不过圆心
C ．相切
D ．相离
解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2，直线的普通方程是3x －y ＋2＝0，圆心到直线的距离是|－3－3＋2|10
＝210
5＝
8
5
<2，故直线与圆相交而不过圆心． 答案：B 二、填空题
6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－3
5
t ，y ＝45t (t 为参数)，则直线l 的斜率为________．
解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝4
5(θ为倾斜角)，
所以tan θ＝－4
3，即为直线斜率．
答案：－4
3
7．已知直线l ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，
y ＝1＋4t (t 为参数)，圆
C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心C 到直线l
的距离为________．
解析：直线l 的普通方程为2x －y ＋1＝0，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2
－2x ＝0，即(x －1)2
＋y 2
＝1，圆心为(1，0)．
故圆心C 到直线l 的距离为|2－0＋1|22＋1
2
＝355. 答案：355
8．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝t ，y ＝t －a
(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ
(φ为
参数)的右顶点，则常数a 的值为________．
解析：直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，
y ＝t －a ，消去参数t 后得y ＝x －a .
椭圆C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ，消去参数φ后得x 29＋y 2
4＝1.
又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 答案：3 三、解答题
9．在直线坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2
2
t ，y ＝3＋2
2t (t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正
半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.
(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|PA ||PB |的值． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， 因为ρ2
＝4ρsin θ－2ρcos θ，
所以曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5.
(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2
2
t ，y ＝3＋2
2
t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5，得到t 2
＋2
2
t －3＝0，
所以t 1t 3＝－3，
所以|PA ||PB |＝|t 1t 2|＝3.
10．极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＝2cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.
解：直线ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与x 轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0)]，
所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2
t ，y ＝22t (t 为参数)．①
椭圆的普通方程为x 2
＋4y 2
＝4，② 将①代入②中，得5t 2－22t －6＝0，③ 因为Δ＝128>0，根据参数t 的几何意义知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝6
5
.
B 级 能力提升
1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨
⎧x ＝5cos θ，
y ＝5sin θ
⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2t ，
y ＝－2
2
t (t 为参数)，则曲线C 1
与C 2
的交点坐标为________． 解析：曲线C 1和C 2的普通方程分别为
x 2＋y 2＝5，① x －y ＝1，②
其中0≤x ≤5，0≤y ≤5，
联立①②解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，
y ＝1，
所以C 1与C 2的交点坐标为(2，1)． 答案：(2，1)
2．已知直线C 1的参数方程⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1
(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，设曲
线C 1，C 2相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．
解析：曲线C 2的极坐标方程可变为ρ2
＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
－4y ＝0，
将C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1，代入，得5t 2
－6t －2＝0，
则t 1＋t 2＝65，t 1t 2＝－25，则|AB |＝1＋22|t 1－t 2|＝5·（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2＝5×
⎝ ⎛⎭
⎪⎫652
＋4×25＝2955.
答案：2955
3．(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2
＋y 2
＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数)，l 与
C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l
的斜率．
解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)由直线l 的参数方程⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α
(t 为参数)，
消去参数得y ＝x ·tan α.
设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.
由圆C 的方程(x ＋6)2
＋y 2
＝25知，圆心坐标为(－6，0)，半径为5. 又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 |－6k |1＋k
2
＝
25－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1022
，即36k 2
1＋k 2＝904，
整理得k 2
＝53，解得k ＝±153，
即l 的斜率为±15
3
.。