2020-2021学年江苏省苏州中学高三(上)调研数学试卷(10月份)

2020-2021学年江苏省苏州中学高三（上）调研数学试卷（10月份）
试题数：22.满分：150
1.（单选题.5分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}.B={x|y= √x} .则A∪B=（）
A.{x|-1≤x≤2}
B.{x|0≤x≤2}
C.{x|x≥-1}
D.{x|x≥0}
2.（单选题.5分）已知sin(α−π
4)=3
5
. α∈(0，π
2
) .则cosα=（）
A. √2
10
B. 3√2
10
C. √2
2
D. 7√2
10
3.（单选题.5分）若b＜a＜0.则下列不等式：① |a|＞|b|；② a+b＜ab；③ a2
b
＜2a−b中.正确的不等式的有（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
4.（单选题.5分）函数f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2.则
8a+b
ab
的最小值是（）
A.10
B.9
C.8
D. 3√2
5.（单选题.5分）Logistic模型是常用数学模型之一.可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）= K
1+e−0.23(t−53)
.其中K为最大确诊病例数．当I（t*）=0.95K时.标志着已初步遏制疫情.则t*约为（）（ln19≈3）
A.60
B.63
C.66
D.69
6.（单选题.5分）已知函数f(x)={xlnx，x＞0
x
e x
，x≤0
则函数y=f（1-x）的图象大致是（）
A.
B.
C.
D.
7.（单选题.5分）若定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.且f（1）=8.则f（2019）.f（2020）.f（2021）的大小关系是（）
A.f（2019）＜f（2020）＜f（2021）
B.f（2019）＞f（2020）＞f（2021）
C.f（2020）＞f（2019）＞f（2021）
D.f（2020）＜f（2021）＜f（2019）
8.（单选题.5分）地面上有两座相距120m的塔.在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α.在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α
2
.且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角.则两塔的高度分别为（）
A.50m.100m
B.40m.90m
C.40m.50m
D.30m.40m
9.（多选题.5分）等腰直角三角形直角边长为1.现将该三角形绕其某一边旋转一周.则所形成的几何体的表面积可以为（ ） A. √2π B. (1+√2)π C. 2√2π D. (2+√2π)
10.（多选题.5分）关于x 的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.则a 的值可以为（ ） A.2 B.1 C.-1 D. −1
2
11.（多选题.5分）声音是由物体振动产生的声波.其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y=Asinωt .我们听到的声音是由纯音合成的.称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 f (x )=sinx +1
2sin2x .则下列结论正确的是（ ） A.2π是f （x ）的一个周期 B.f （x ）在[0.2π]上有3个零点 C.f （x ）的最大值为
3√3
4
D.f （x ）在 [0，π
2] 上是增函数
12.（多选题.5分）对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ）.若存在函数h （x ）=kx+b （k.b 为常数）对任给的正数m.
存在相应的x 0∈D 使得当x∈D 且x ＞x 0时.总有 {
0＜f (x )−ℎ(x )＜m 0＜ℎ(x )−g (x )＜m
.则称直线l ：y=kx+b 为
曲线y=f （x ）和y=g （x ）的“分渐近线”．下列定义域均为D={x|x ＞1}的四组函数中.曲线y=f （x ）和y=g （x ）存在“分渐近线”的是（ ） A.f （x ）=x 2.g （x ）= √x B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3
x
C.f （x ）=
x 2+1x .g （x ）= xlnx+1
lnx
D.f（x）= 2x2
x+1
.g（x）=2（x-1-e-x）
13.（填空题.5分）若二次函数f（x）=-x2+2ax+4a+1有一个零点小于-1.一个零点大于3.则实数a的取值范围是___ ．
14.（填空题.5分）在整数集Z中.被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”.记为[k].即[k]={5n+k|n∈Z}.k=0.1.2.3.4．给出如下四个结论：
① 2014∈[4]；② -3∈[3]；③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④ 整数a.b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．
其中.正确的结论是___ ．
15.（填空题.5分）已知sinθ+cosθ= 7
13
.θ∈（0.π）.则tanθ=___ ．
16.（填空题.5分）已知A、B、C是平面上任意三点.BC=a.CA=b.AB=c.则y=c
a+b +b
c
的最小
值是___ ．
17.（问答题.10分）已知集合A={x|y=log2（-4x2+15x-9）.x∈R}.B={x||x-m|≥1.x∈R}．
（1）求集合A；
（2）若p：x∈A.q：x∈B.且p是q的充分不必要条件.求实数m的取值范围．
18.（问答题.12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π
2
）的部分图象如图所示.其中点P（1.2）为函数图象的一个最高点.Q（4.0）为函数图象与x轴的一个交点.O为坐标原点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位得到y=g（x）的图象.求函数h（x）=f（x）•g（x）图象的对称中心．
19.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形.点O为AC中点.平面AA1C1C⊥平面ABC．
（1）证明：A1O⊥平面ABC；
（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．
20.（问答题.12分）已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．
（1）若a=-1.解方程f（x）=1；
（2）若函数f（x）在R上单调递增.求实数a的取值范围；
（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立.求a的取值范围．
21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy中.已知椭圆x2
a2 + y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点
分别为A、B.焦距为2.直线l与椭圆交于C.D两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时.四边形ACBD的面积为6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线AC.BD的斜率分别为k1.k2．
① k2=3k1.求证：直线l过定点；
② 若直线l过椭圆的右焦点F.试判断k1
k2
是否为定值.并说明理由．
22.（问答题.12分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R. （Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数.并说明理由；
（Ⅱ）若∀x＞0.f（x）≥0成立.求a的取值范围．
2020-2021学年江苏省苏州中学高三（上）调研数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
试题数：22.满分：150
1.（单选题.5分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}.B={x|y= √x} .则A∪B=（）
A.{x|-1≤x≤2}
B.{x|0≤x≤2}
C.{x|x≥-1}
D.{x|x≥0}
【正确答案】：C
【解析】：推导出集合A.B.由此能求出A∪B．
【解答】：解：∵集合A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}.
B={x|y= √x}={x|x≥0}.
∴A∪B={x|x≥-1}．
故选：C．
【点评】：本题考查并集的求法.考查并集定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．
2.（单选题.5分）已知sin(α−π
4)=3
5
. α∈(0，π
2
) .则cosα=（）
A. √2
10
B. 3√2
10
C. √2
2
D. 7√2
10
【正确答案】：A
【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（α- π
4）的值.进而根据α=（α- π
4
）+
π
4
.利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．
【解答】：解：因为sin(α−π
4)=3
5
. α∈(0，π
2
) .
所以α- π
4∈（- π
4
.- π
4
）.可得cos（α- π
4
）= √1−sin2(α−π
4
) = 4
5
.
则cosα=cos[（α- π
4）+ π
4
]=cos（α- π
4
）cos π
4
-sin（α- π
4
）sin π
4
= 4
5
× √2
2
- 3
5
×√2
2
= √2
10
．
故选：A．
【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．
3.（单选题.5分）若b＜a＜0.则下列不等式：① |a|＞|b|；② a+b＜ab；③ a2
b
＜2a−b中.正确的不等式的有（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【正确答案】：C
【解析】：利用不等式的性质逐一判断.即可得结论．
【解答】：解：若b＜a＜0.则|b|＞|a|.故① 错误；
若b＜a＜0.则a+b＜0.ab＞0.∴a+b＜ab.故② 正确；
a2 b -（2a-b）= a2−2ab+b2
b
= (a−b)2
b
.由（a-b）2＞0.b＜0.
∴ (a−b)2
b ＜0.即a2
b
＜2a−b .故③ 正确．
故正确的不等式有2个．
故选：C．
【点评】：本题主要考查不等式的基本性质.及作差法比较大小的应用.属于基础题．
4.（单选题.5分）函数f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2.则
8a+b
ab
的最小值是（）
A.10
B.9
C.8
D. 3√2
【正确答案】：B
【解析】：求出原函数的导函数.由f′（1）=2a+b=2.得a+b
2=1 .把8a+b
ab
变形为8
b
+1
a
后整体
乘以1.展开后利用基本不等式求最小值．
【解答】：解：由f（x）=ax2+bx.得f′（x）=2ax+b.
又f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2. 所以f′（1）=2a+b=2.即a+b
2
=1．
则8a+b
ab = 8
b
+1
a
=(a+b
2
)(8
b
+1
a
)=8a
b
+b
2a
+5≥2√8a
b
•b
2a
+5=9．
当且仅当{2a+b=2
8a
b
=b
2a
.即{
a=1
3
b=4
3
时“=”成立．
所以8a+b
ab
的最小值是9．
故选：B．
【点评】：本题考查了导数的运算.考查了利用基本不等式求最值.考查了学生灵活变换和处理问题的能力.是中档题．
5.（单选题.5分）Logistic模型是常用数学模型之一.可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）= K
1+e−0.23(t−53)
.其中K为最大确诊病例数．当I（t*）=0.95K时.标志着已初步遏制疫情.则t*约为（）（ln19≈3）
A.60
B.63
C.66
D.69
【正确答案】：C
【解析】：根据所给材料的公式列出方程K
1+e−0.23(t∗−53)
=0.95K.解出t即可．
【解答】：解：由已知可得K
1+e−0.23(t∗−53) =0.95K.解得e-0.23（t*-53）= 1
19
.
两边取对数有-0.23（t*-53）=-ln19.
解得t*≈66.
故选：C．
【点评】：本题考查函数模型的实际应用.考查学生计算能力.属于中档题
6.（单选题.5分）已知函数f(x)={xlnx，x＞0
x
e x
，x≤0
则函数y=f（1-x）的图象大致是（）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】：B
【解析】：利用导数分析出f（x）的单调性.进而得到f（x）图象示意图.再根据f（1-x）图象与f（x）图象的关系即可进行判断
【解答】：解：当x＞0时.f（x）=xlnx.则令f′（x）=lnx+1=0.解得x= 1
e
.
所以当0＜x＜1
e 时.f（x）单调递减.x＞1
e
时.f（x）单调递增.
当x≤0时.f（x）= x
e x .则令f′（x）= 1−x
e x
≥0.所以当x≤0时.f（x）单调递增.
作出函数f（x）的图象如图：
又因为f（1-x）的图象时将f（x）图象先关于y轴对称.再向右移动一个单位得到的.
故根据f（x）图象可值f（1-x）图象为
故选：B．
【点评】：本题考查函数图象的变换.涉及导数判断函数单调性.数形结合思想.属于中档题．7.（单选题.5分）若定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.且f（1）=8.则f（2019）.f（2020）.f（2021）的大小关系是（）
A.f（2019）＜f（2020）＜f（2021）
B.f（2019）＞f（2020）＞f（2021）
C.f（2020）＞f（2019）＞f（2021）
D.f（2020）＜f（2021）＜f（2019）
【正确答案】：A
【解析】：根据题意.分析可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）.即函数f（x）是周期为4的周期函数.由此结合函数的奇偶性可得f（2019）、f（2020）和f（2021）的值.即可得答案．
【解答】：解：根据题意.函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.
则有f（x+4）=-f（x+2）=f（x）.即函数f（x）是周期为4的周期函数.
f（2020）=f（0+4×505）=f（0）=0.
f（2021）=f（1+4×505）=f（1）=8.
f（2019）=f（-1+4×505）=f（-1）=-f（1）=-8.
故有f（2019）＜f（2020）＜f（2021）.
故选：A．
【点评】：本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用.注意分析函数的周期.属于基础题． 8.（单选题.5分）地面上有两座相距120m 的塔.在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α.在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为 α2
.且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.则两塔的高度分别为（ ） A.50m.100m B.40m.90m C.40m.50m D.30m.40m 【正确答案】：B
【解析】：由题意如图所示.分别在两个三角形中求出AB.CD 用α的表示的代数式.再由在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.可得OA⊥OC .可得tan∠AOB•tan∠COD=1.进而可得AB.CD 的关系.求出AB.CD 的值
【解答】：解：设AB.CD 分别为两个塔.BD=120m.O 为BD 的中点. 由题意如图所示：可得AB=BD•tan α2 =120•tan α
2 . CD=BD•tanα=120•tanα=120 •
2tan
α21−tan 2
α
2
.
因为在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.可得OA⊥OC . tan∠AOB•tan∠COD=1. 即 AB 1
2
BD
•CD 1
2
BD
=1.所以 AB•CD
1
2
×120×12
×120
=1.
即AB•CD=602. 而
AB•CD=120•tan α2 •120 •2tan α
2
1−tan 2
α2
. 所以1=
8tan 2
α
21−tan 2
α
2
.tan α
2 ＞0.
解得tan α2 = 1
3 .
所以AB=120×tan α
2 =40. CD=120×
2tan
α21−tan 2
α
2
=90.
故选：B ．
【点评】：本题考查正切的二倍角公式的应用及互相垂直的直线的应用.属于中档题．
9.（多选题.5分）等腰直角三角形直角边长为1.现将该三角形绕其某一边旋转一周.则所形成的几何体的表面积可以为（）
A. √2π
B. (1+√2)π
C. 2√2π
D. (2+√2π)
【正确答案】：AB
【解析】：分两个情况绕的边为直角边和斜边讨论.当绕的边是直角边是.所形成的几何体的表面积为底面面积加侧面面积.当绕斜边时扇形面积既是所形成的几何体的表面积.而扇形面积等
于1
2
×c底面周长×l母线长.进而求出所形成的几何体的表面积．
【解答】：解：若绕一条直角边旋转一周时.则圆锥的底面半径为1.高为1.所以母线长l= √2 .
这时表面积为1
2
•2π•1•l+π•12=（1+ √2）π；
若绕斜边一周时旋转体为两个底对底的圆锥组合在一起.且由题意底面半径为√2
2
.一个圆锥的母
线长为1.所以表面积S=2 •1
2 2 π•√2
2
•1= √2π .
综上所述该几何体的表面积为√2π .（1+ √2）π.
故选：AB．
【点评】：考查旋转体的表面积.属于中档题．
10.（多选题.5分）关于x的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.则a的值可以为（）
A.2
B.1
C.-1
D. −1
2
【正确答案】：CD
【解析】：利用已知条件判断a的符号.求出不等式对应方程的根.然后列出不等式求解即可．
【解答】：解：关于x的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.
所以a＜0.因为a≥0时.不等式的解集中的整数有无数多个．
不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0.对应的方程为：（ax-1）（x+2a-1）=0.
方程的根为：1
a
和1-2a；
由题意知. 1
a
＜0.则1-2a≤3.解得a≥-1；
当a=-1时.不等式的解集是（-1.3）.解集中含有3个整数：0.1.2；满足题意．
当a=- 1
2
时.不等式的解集是（-2.2）.解集中含有3个整数：-1.0.1；满足题意．
当a∈（-1.- 1
2）时.不等式的解集是（1
a
.1-2a）.解集中含有4个整数：-1.0.1.2；不满足题意．
当a∈（- 1
2 .0）时.不等式的解集是（1
a
.1-2a）.解集中含有整数个数多于4个.不满足题意．
综上知.a的值可以是-1和1
2
．
故选：CD．
【点评】：本题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了分类讨论思想.是中档题．
11.（多选题.5分）声音是由物体振动产生的声波.其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y=Asinωt.我们听到的声音是由纯音合成的.称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数
f(x)=sinx+1
2
sin2x .则下列结论正确的是（）
A.2π是f（x）的一个周期
B.f（x）在[0.2π]上有3个零点
C.f（x）的最大值为3√3
4
D.f（x）在[0，π
2
]上是增函数
【正确答案】：ABC
【解析】：求出函数y=sinx与y= 1
2
sin2x的周期.取最小公倍数求原函数的周期判断A；求出函数的零点个数判断B；利用导数求最值判断C；举例说明D错误．
【解答】：解：∵y=sinx的周期为2π.y= 1
2sin2x的周期为π.∴ f(x)=sinx+1
2
sin2x的周期为
2π.故A正确；
由 f (x )=sinx +1
2sin2x =0.得sinx+sinxcosx=0.得sinx=0或cosx=-1. ∵x∈[0.2π].∴x=0.x=π.x=2π.则f （x ）在[0.2π]上有3个零点.故B 正确； 函数 f (x )=sinx +1
2sin2x 的最大值在[0. π
2 ]上取得.
由f′（x ）=cosx+cos2x=2cos 2x+cosx-1=0.可得cosx= 1
2
.当x∈（0. π3
）时.cosx 单调递减.原函数单调递增.
当x∈（ π3 . π
2 ）时.cosx 单调递减.原函数单调递减.则当x= π
3 时.原函数求得最大值为sin π
3 +
12sin 2π3 = 3√34
.故C 正确；
∵f （ π
4 ）=sin π
4 + 1
2sin π
2 = √2+1
2 ＞1.f （ π2 ）=sin π2
+ 12sinπ =1.∴f （x ）在 [0，π
2] 上不是增函数.
故D 错误． 故选：ABC ．
【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查三角函数的图象与性质.训练了利用导数求最值.属难题．
12.（多选题.5分）对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ）.若存在函数h （x ）=kx+b （k.b 为常数）对任给的正数m.
存在相应的x 0∈D 使得当x∈D 且x ＞x 0时.总有 {
0＜f (x )−ℎ(x )＜m 0＜ℎ(x )−g (x )＜m
.则称直线l ：y=kx+b 为
曲线y=f （x ）和y=g （x ）的“分渐近线”．下列定义域均为D={x|x ＞1}的四组函数中.曲线y=f （x ）和y=g （x ）存在“分渐近线”的是（ ） A.f （x ）=x 2.g （x ）= √x B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3x
C.f （x ）=
x 2+1x .g （x ）= xlnx+1
lnx
D.f （x ）= 2x 2
x+1
.g （x ）=2（x-1-e -x ）
【正确答案】：BD
【解析】：本题从大学数列极限定义的角度出发.仿造构造了分渐近线函数.目的是考查学生分析问题、解决问题的能力.考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时.f （x ）-g （x ）→0进行作答.是一道好题.思维灵活.要透过现象看本质．
【解答】：解：f （x ）和g （x ）存在分渐近线的充要条件是x→∞时.f （x ）-g （x ）→0． f （x ）=x 2.g （x ）= √x .当x ＞1时便不符合.所以A 不存在；
对于B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3
x
肯定存在分渐近线.因为当时.f （x ）-g （x ）→0； 对于
C.f （x ）= x 2+1x .g （x ）= xlnx+1
lnx . f (x )−g (x )
=1x −1
lnx .
设λ（x ）=x-lnx. λn (x )=1
x 2 ＞0.且lnx ＜x.
所以当x→∞时x-lnx 越来愈大.从而f （x ）-g （x ）会越来越小.不会趋近于0. 所以不存在分渐近线； 对于
D.f （x ）= 2x 2
x+1 .g （x ）=2（x-1-e -x ）.当
x→+∞时. f (x )−g (x )=
−2
1+1x
+2+2
e x →0 .
故选：BD ．
【点评】：本题较难.涉及到部分大学内容.属于拓展类题目
13.（填空题.5分）若二次函数f （x ）=-x 2+2ax+4a+1有一个零点小于-1.一个零点大于3.则实数a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (4
5
，+∞)
【解析】：利用二次函数根的分布问题即可求解．
【解答】：解：根据二次函数根的分布思想.
要满足题意只需： {f (−1)＞0f (3)＞0 .即 {−1−2a +4a +1＞0−9+6a +4a +1＞0 .解得 {a ＞0a ＞45 .即a ＞4
5 .
故答案为：（ 4
5，+∞ ）．
【点评】：本题考查了二次函数根的分布问题.考查了学生对二次函数图象的掌握熟练度.属于基础题．
14.（填空题.5分）在整数集Z 中.被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”.记为[k].即[k]={5n+k|n∈Z}.k=0.1.2.3.4．给出如下四个结论：
① 2014∈[4]； ② -3∈[3]； ③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④ 整数a.b 属于同一“类”的充要条件是“a -b∈[0]”． 其中.正确的结论是___ ． 【正确答案】：[1] ① ③ ④
【解析】：根据“类”的定义.逐一进行判断即可；
对于 ① .看2014除以5的余数即可；对于 ② .将-3表示成5×（-1）+2即可判断；对于 ③ .被5除所得余数有且只有五类；
对于 ④ .根据定义分析即可．
【解答】：解： ① ∵2014÷5=402…4.∴2014∈[4].故 ① 正确； ② ∵-3=5×（-1）+2.∴-3∉[3].故 ② 错误；
③ 因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类.故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4].故 ③ 正确；
④ ∵整数a.b 属于同一“类”.∴整数a.b 被5除的余数相同.从而a-b 被5除的余数为0. 反之也成立.故“整数a.b 属于同一“类”的充要条件是“a -b∈[0]”．故 ④ 正确． 故答案为： ① ③ ④
【点评】：本题考查命题的真假性判断.读懂题目中的新定义是关键.属于中档题． 15.（填空题.5分）已知sinθ+cosθ= 7
13 .θ∈（0.π）.则tanθ=___ ． 【正确答案】：[1]- 125
【解析】：利用同角三角函数的基本关系求得2sinθcosθ=- 120
169 .可得θ为钝角.tanθ＜0；再根据2sinθcosθ= 2tanθ
tan 2θ+1 =- 120
169 .求得tanθ的值．
【解答】：解：∵sinθ+cosθ= 7
13 .∴1+2sinθcosθ= 49
169 .∴2sinθcosθ=- 120
169 ＜0. 结合θ∈（0.π）.可得θ为钝角.∴tanθ＜0． 再根据2sinθcosθ= 2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ = 2tanθtan 2θ+1 =- 120169 .∴tanθ=- 12
5
.
故答案为：- 125
．
【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用.属于基础题． 16.（填空题.5分）已知A 、B 、C 是平面上任意三点.BC=a.CA=b.AB=c.则 y =c
a+b +b
c 的最小值是___ ．
【正确答案】：[1] √2−1
2
【解析】：先将函数变形.并化简.再利用基本不等式.即可求得结论．
【解答】：解：依题意.得b+c≥a .于是 y =c
a+b +b
c = c
a+b +b+c c
−1
= c
a+b +
b+c+b+c
2c −1
≥ c
a+b +a+b+c
2c
−1 = c
a+b
+a+b
2c
−1
2
≥ √2−1
2
其中.等号当且仅当b+c=a且c
a+b =a+b
2c
.即a= 1+√2
2
c .b= −1+√2
2
c时成立．
所以.所求最小值为√2−1
2
故答案为：√2−1
2
【点评】：本题考查基本不等式的运用.解题的关键是化简函数.并利用基本不等式求最值.属于中档题．
17.（问答题.10分）已知集合A={x|y=log2（-4x2+15x-9）.x∈R}.B={x||x-m|≥1.x∈R}．
（1）求集合A；
（2）若p：x∈A.q：x∈B.且p是q的充分不必要条件.求实数m的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据条件可知集合A即求y=log2(−4x2+15x−9) .故可表示出A=
(3
4
，3) .
（2）由题得B=[m+1.+∞）∪（-∞.m-1].根据p是q的充分不必要条件可知A是B的真子集.根据集合包含关系即可求出m取值范围．
【解答】：解：（1）集合A即为函数y=log2(−4x2+15x−9)定义域.即需-4x2+15x-9＞0.
即（x-3）（4x-3）＜0.解得A=(3
4
，3)；
（2）由|x-m|≥1⇔x-m≥1或x-m≤-1.即x≥m+1或x≤m-1.则B=[m+1.+∞）∪（-∞.m-1].
因为p是q的充分不必要条件.所以A是B的真子集.
则m+1≤3
4或3≤m−1 .解得m≤−1
4
或m≥4 .
所以实数m的取值范围是(−∞，−1
4
]∪[4，+∞)．
【点评】：本题考查命题及其关系.涉及函数求定义域.集合的包含关系等知识点.属于中档题．
18.（问答题.12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π
2
）的部分图象如图所示.其中点P（1.2）为函数图象的一个最高点.Q（4.0）为函数图象与x轴的一个交点.O为坐标原点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位得到y=g（x）的图象.求函数h（x）=f（x）•g（x）图象的对称中心．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）由题意得振幅A.周期T.利用周期公式可求ω.将点P（1.2）代入解析式.结合范围0＜φ＜π
2
.可求φ.即可得解函数解析式．
（Ⅱ）利用三角函数的图象变换可得g（x）=2sin π
6
x.利用三角函数恒等变换可求h（x）
=1+2sin（π
3 x- π
6
）.由π
3
x−π
6
=kπ .即可得解对称中心．
【解答】：（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由题意得振幅A=2.周期T=4×（4-1）=12.
又2π
ω =12.则ω= π
6
…（2分）
将点P（1.2）代入f（x）=2sin（π
6x+φ）.得sin（π
6
x+φ）=1.
∵0＜φ＜π
2
.
∴φ= π
3
.…（4分）
故f（x）=2sin（π
6 x+ π
3
）…（5分）
（Ⅱ）由题意可得g（x）=2sin[ π
6（x-2）+ π
3
]=2sin π
6
x…（7分）
∴h（x）=f（x）•g（x）=4sin（π
6 x+ π
3
）•sin π
6
x=2sin2π
6
x+2 √3 sin π
6
x•cos π
6
x=1-cos π
3
x+
√3 sin π
3
x
=1+2sin（π
3 x- π
6
）…（10分）
由π
3x−π
6
=kπ .得：x=3k+1
2
(k∈Z)．
∴y=h（x）图象的对称中心为：(3k+1
，1)(k∈Z)…（12分）
2
【点评】：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式.函数y=Asin
（ωx+φ）的图象变换.三角函数恒等变换的应用.正弦函数的图象和性质的应用.考查了转化思想.属于中档题．
19.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形.点O为AC中点.平面AA1C1C⊥平面ABC．
（1）证明：A1O⊥平面ABC；
（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．
【正确答案】：
【解析】：（1）证明A1O⊥AC.通过平面AA1C1C⊥平面ABC.推出A1O⊥平面ABC．
（2）如图.以O为原点.OB.OC.OA1为x.y.z轴.建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标.求出平面A1BC1的法向量为n⃗=(x，y，z) .设直线AB与平面A1BC1所成角为α.利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】：（1）证明：∵AA1=A1C.且O为AC的中点.
∴A1O⊥AC.
又∵平面AA1C1C⊥平面ABC.且交线为AC.又A1O⊂平面AA1C1C.
∴A1O⊥平面ABC；
（2）解：如图.以O为原点.OB.OC.OA1为x.y.z轴.建立空间直角坐标系．
由已知可得O （0.0.0）A （0.-1.0） ，B(√3，0，0) ，A 1(0，0，√3) C 1(0，2，√3) . A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，0，−√3) . AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，1，0) ，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0) 平面A 1BC 1的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) . 则有 {2y =0√3x −√3z =0
.
所以 n ⃗ 的一组解为 n ⃗ =(1，0，1) . 设直线AB 与平面A 1BC 1所成角为α. 则sinα= |cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|
又∵ cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •n
⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |
= √3
2√
2 = √6
4 . 所以直线AB 与平面A 1BC 1所成角的正弦值： √6
4 ．
【点评】：本题考查直线与平面所成角的求法.平面与平面垂直的判断定理的应用.考查空间想象能力以及计算能力．
20.（问答题.12分）已知函数f （x ）=x 2+（x-1）|x-a|． （1）若a=-1.解方程f （x ）=1；
（2）若函数f （x ）在R 上单调递增.求实数a 的取值范围；
（3）若a ＜1且不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.求a 的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）取a=-1把函数分段.然后分段求解方程f （x ）=1； （2）分x≥a 和x ＜a 对函数分段.然后由f （x ）在R 上单调递增得到不等式组 {a+1
4
≤a
a +1＞0
.求解
不等式组得到实数a 的取值范围；
（3）写出分段函数g （x ）.不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x∈R 恒成立.然后求出函数在不同区间段内的最小值.求解不等式得答案．
【解答】：解：（1）当a=-1时.f （x ）=x 2+（x-1）|x+1|. 故有 f (x )={2x 2−1， x ≥−1
1， x ＜−1
.
当x≥-1时.由f （x ）=1.有2x 2-1=1.解得x=1或x=-1． 当x ＜-1时.f （x ）=1恒成立． ∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}； （2） f (x )={
2x 2−(a +1)x +a ， x ≥a (a +1)x −a ，x ＜a
.
若f （x ）在R
上单调递增.则有 {a+1
4
≤a
a +1＞0
.解得 a ≥1
3 ．
∴当 a ≥13
时.f （x ）在R 上单调递增； （3）设g （x ）=f （x ）-（2x-3）.
则 g (x )={2x 2−(a +3)x +a +3，x ≥a
(a −1)x −a +3， x ＜a
.
不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x∈R 恒成立． ∵a ＜1.
∴当x∈（-∞.a ）时.g （x ）单调递减.其值域为（a 2-2a+3.+∞）. 由于a 2-2a+3=（a-1）2+2≥2. ∴g （x ）≥0成立．
当x∈[a .+∞）时.由a ＜1.知 a ＜
a+3
4
.g （x ）在x=
a+3
4
处取得最小值. 令 g (a+3
4)
=a +3−
(a+3)2
8
≥0 .解得-3≤a≤5.
又a ＜1. ∴-3≤a ＜1． 综上.a∈[-3.1）．
【点评】：不同考查了函数恒成立问题.考查了二次函数的性质.体现了数学转化思想方法.考查了不等式的解法.是压轴题．
21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆 x 2a 2 + y 2
b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B.焦距为2.直线l 与椭圆交于C.D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时.四边形ACBD 的面积为6． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线AC.BD 的斜率分别为k 1.k 2． ① k 2=3k 1.求证：直线l 过定点；
② 若直线l 过椭圆的右焦点F.试判断 k
1k 2
是否为定值.并说明理由．
【正确答案】：
【解析】：（1）由题意焦距为2.设点C （1.y 0）.代入椭圆 x 2a
2 + y 2b
2 =1（a ＞b ＞0）.解得 y 0=
±b 2
a .从而四边形
ACBD 的面积6=2 S △ABC =2a •
b 2
a
=2b 2.由此能求出椭圆的标准方程． （2） ① 由题意AC ：y=k 1（x+2）.联立直线与椭圆的方程 x 2
4+y 2
3
=1 .得（3+4k 12）
x 2+16k 12-12=0.推导出
C （- 8k 12−63+4k 12 . 12k 13+4k 12 ）.
D （ 8k 22−63+4k 22 .- 12k 2
3+4k 22
）.由此猜想：直线
l 过定点P
（1.0）.从而能证明P.C.D 三点共线.直线l 过定点P （1.0）． ② 由题意设C （x 1.y 1）.D （x 2.y 2）.直线l ：x=my+1.代入椭圆标准方程： x 2
4
+
y 2
3
=1.得（3m 2+4）y 2+6my-9=0.推导出
y 1+y 2=- 6m 3m 2+4 .y 1y 2=- 93m 2+4 .由此推导出 k 1k 2
= y 1
x 1+2
y 2x 2−2
= y 1(x 2−2)y 2(x 1+2) = y 1(my 2−1)y 2(my 1+3) = my 1y 2−y 1my 1y 2+3y 2 = 1
3
（定值）．
【解答】：解：（1）由题意焦距为2.可设点C （1.y 0）.代入椭圆 x 2
a 2 + y 2
b 2 =1（a ＞b ＞0）.
得 1
a 2
+
y 02
b 2
=1.解得 y 0=
±b 2a .
∴四边形ACBD 的面积6=2 S △ABC =2a •b 2
a
=2b 2. ∴b 2=3.a 2=4.
∴椭圆的标准方程为 x 2
4
+
y 2
3
=1．
证明：（2） ① 由题意AC ：y=k 1（x+2）. 联立直线与椭圆的方程 x 2
4+
y 23
=1 .得（3+4 k 12 ）x 2+16k 12-12=0.
∴-2x 1= 16k 12−12
3+4k 1
2 .解得
x 1= 6−8k 12
3+4k 1
2 .从而
y 1=k 1（x 1+1）= 12k
13+4k 1
2 .
∴C （- 8k 12−63+4k 12 . 12k 1
3+4k 12 ）.同理可得
D （ 8k 22−63+4k 22 .- 12k
23+4k 2
2 ）.
猜想：直线l 过定点P （1.0）.下证之： ∵k 2=3k 1.∴k PC -k PD =
12k 1
3+4k 12−8k 12−63+4k 1
2−1 -
−
12k 23+4k 228k 22−6
3+4k 22
−1
= 4k
1
1−4k 1
2+12k 24k
22−9
= 4k 11−4k 12 + 36k 136k 12−9 = 4k 11−4k 12 - 4k 1
1−4k 12 =0. ∴P .C.D 三点共线.∴直线l 过定点P （1.0）． 解： ② k
1k 2
为定值.理由如下：
由题意设C （x 1.y 1）.D （x 2.y 2）.直线l ：x=my+1. 代入椭圆标准方程： x 2
4+y 2
3
=1.得（3m 2+4）y 2+6my-9=0. ∴y 1.2=
−6m±√36m 2+36(3m 2+4)2(3m 2+4)
. ∴y 1+y 2=- 6m
3m 2+4 .y 1y 2=- 9
3m 2+4 .
∴ k 1k 2
= y 1
x 1+2
y 2x 2−2 = y 1(x 2−2)y 2(x 1+2) = y 1(my 2−1)y 2(my 1+3) = my 1y 2−y 1my 1y 2+3y 2 = −
9m 3m 2+4−(−6m
3m 2+4
−y 2)−9m
3m 2+4
+3y 2 =
−
3m
3m 2+4+y 2
−9m
3m 2+4
+3y 2
= −
3m
3m 2+4+y 2
−9m
3m 2+4
+3y 2 = 1
3 （定值）．
【点评】：本题考查椭圆标准方程的求法.考查直线过定点的证明.考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法.考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识.考查运算求解能力.考查化归与转化思想.是中档题．
22.（问答题.12分）设函数f （x ）=ln （x+1）+a （x 2-x ）.其中a∈R . （Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数.并说明理由； （Ⅱ）若∀x ＞0.f （x ）≥0成立.求a 的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R.x∈（-1.+∞）．f′(x)=1
x+1
+
2ax−a = 2ax2+ax−a+1
x+1
．令g（x）=2ax2+ax-a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时.此时f′（x）＞0.即可得出函数的单调性与极值的情况．
（2）当a＞0时.△=a（9a-8）．① 当0＜a≤8
9时.△≤0. ② 当a ＞8
9
时.△＞0.即可得出函数的
单调性与极值的情况．
（3）当a＜0时.△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．
（II）由（I）可知：（1）当0≤a ≤8
9
时.可得函数f（x）在（0.+∞）上单调性.即可判断出．
（2）当8
9
＜a≤1时.由g（0）≥0.可得x2≤0.函数f（x）在（0.+∞）上单调性.即可判断出．（3）当1＜a时.由g（0）＜0.可得x2＞0.利用x∈（0.x2）时函数f（x）单调性.即可判断出；（4）当a＜0时.设h（x）=x-ln（x+1）.x∈（0.+∞）.研究其单调性.即可判断出
【解答】：解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R.x∈（-1.+∞）．
f′(x)=1
x+1+2ax−a = 2ax2+ax−a+1
x+1
．
令g（x）=2ax2+ax-a+1．
（1）当a=0时.g（x）=1.此时f′（x）＞0.函数f（x）在（-1.+∞）上单调递增.无极值点．（2）当a＞0时.△=a2-8a（1-a）=a（9a-8）．
① 当0＜a≤8
9
时.△≤0.g（x）≥0.f′（x）≥0.函数f（x）在（-1.+∞）上单调递增.无极值点．
② 当a ＞8
9
时.△＞0.设方程2ax2+ax-a+1=0的两个实数根分别为x1.x2.x1＜x2．
∵x1+x2= −1
2
.
∴ x1＜−1
4 . x2＞−1
4
．
由g（-1）＞0.可得-1＜x1＜−1
4
．
∴当x∈（-1.x1）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增；当x∈（x1.x2）时.g（x）＜0.f′（x）＜0.函数f（x）单调递减；当x∈（x2.+∞）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．
（3）当a＜0时.△＞0．由g（-1）=1＞0.可得x1＜-1＜x2．
∴当x∈（-1.x2）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增；当x∈（x2.+∞）时.g（x）＜0.f′（x）＜0.函数f（x）单调递减．
因此函数f（x）有一个极值点．
综上所述：当a＜0时.函数f（x）有一个极值点；
时.函数f（x）无极值点；
当0≤a ≤8
9
时.函数f（x）有两个极值点．
当a ＞8
9
（II）由（I）可知：
时.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增．
（1）当0≤a ≤8
9
∵f（0）=0.
∴x∈（0.+∞）时.f（x）＞0.符合题意．
＜a≤1时.由g（0）≥0.可得x2≤0.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增．
（2）当8
9
又f（0）=0.
∴x∈（0.+∞）时.f（x）＞0.符合题意．
（3）当1＜a时.由g（0）＜0.可得x2＞0.
∴x∈（0.x2）时.函数f（x）单调递减．
又f（0）=0.
∴x∈（0.x2）时.f（x）＜0.不符合题意.舍去；
＞0．
（4）当a＜0时.设h（x）=x-ln（x+1）.x∈（0.+∞）.h′（x）= x
x+1
∴h（x）在（0.+∞）上单调递增．
因此x∈（0.+∞）时.h（x）＞h（0）=0.即ln（x+1）＜x.
可得：f（x）＜x+a（x2-x）=ax2+（1-a）x.
时.
当x＞1−1
a
ax2+（1-a）x＜0.此时f（x）＜0.不合题意.舍去．
综上所述.a的取值范围为[0.1]．
【点评】：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值.考查了分析问题与解决问题的能力.考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力.属于难题．。