钢丝绳与滑轮间接触应力计算

钢丝绳与滑轮间接触应力计算
孙冠ꎬ沈志军ꎬ张东昱
(咸阳宝石钢管钢绳有限公司ꎬ陕西咸阳７１２０００)
㊀㊀摘要:在没有考虑钢丝绳与滑轮间摩擦力的影响时ꎬ接触应力在钢丝绳与滑轮的整个接触区域内均相同ꎬ这与实际工况有差别.因此ꎬ假设钢丝绳为圆柱杆ꎬ采用赫兹理论计算钢丝绳与滑轮间的接触应力.根据计算结果ꎬ接触应力成椭圆分布ꎬ接触区域近似为梯形.㊀㊀关键词:钢丝绳ꎻ接触应力ꎻ赫兹理论㊀㊀
中图分类号:Ｏ２９ꎻＴＧ３５６.４㊀文献标识码:Ａ㊀文章编号:２０９５￣３７９８(２０１９)０５￣００７４￣０５
收稿日期:２０１９￣０３￣２６
作者简介:孙冠ꎬ男ꎬ黑龙江双鸭山农场人ꎬ咸阳宝石钢管钢绳有限公司技术研发中心工程师.
０㊀引言
㊀㊀钢丝绳在使用过程中始终与滑轮保持接触ꎬ在外荷载的作用下ꎬ钢丝绳与滑轮之间以及钢丝之间会产生接触应力[１]ꎬ因此ꎬ接触应力的计算对钢丝绳疲劳寿命计算及确定滑轮材料性能均有着重要的意义.
矿用钢丝绳通常采用下式计算接触应力[２￣３]:
Ｐ＝２ＴＤｄ
ꎬ(１)
式中ꎬＰ为钢丝绳作用在滑轮上的应力ꎬＴ为钢丝绳上的拉力ꎬＤ为滑轮直径ꎬｄ为钢丝绳直径.
根据式(１)计算出的接触应力在钢丝绳与滑轮的整个接触区域内均相同ꎬ且没有考虑钢丝绳与滑轮间摩擦力的影响ꎬ因此ꎬ与实际工况有所差别.
A
T A
B
T B θ㊀㊀图１㊀钢丝绳缠绕滑轮示意图
本文尝试采用赫兹接触理论ꎬ并考虑摩擦力的情况下对接触应力进行计算.计算结果表明ꎬ由于摩擦力的存在ꎬ接触应力成椭圆分布ꎬ接触区域近似的成梯形分布ꎬ最大应力点位于钢丝绳紧边与滑轮接触处的轮槽中点.
１㊀钢丝绳与滑轮间压力计算
钢丝绳缠绕在滑轮上的状态如图１所示ꎬＴＡ为钢丝绳松边拉力ꎬＴＢ
为钢丝绳紧边拉力ꎬＡ㊁Ｂ为接触点ꎬ即钢丝绳从Ｂ进入从Ａ离开ꎬ设接触区域内任意位置与接触点Ａ之间圆弧的角度为θ.
第３９卷㊀第５期广东第二师范学院学报Ｖｏｌ.３９㊀Ｎｏ.５
２０１９年１０月
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕａｎｇｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ
Ｏｃｔ.２０１９
y d N
x
d θ
T θ+d T θ
μd N T θ
㊀图２㊀钢丝微元受力图在接触部分任取一角度为ｄθ的钢丝绳微元如图２所示ꎬ略去钢丝绳质量ꎬ将钢丝绳受力分别在ｘ轴和ｙ轴投影[４].ｘ轴方向得
Ｔｃｏｓｄθ２－(Ｔ＋ｄＴ)ｃｏｓｄθ
２＋μｄＮ＝０ꎻ
(２)ｙ轴方向得
ｄＮ－Ｔｓｉｎｄθ２－(Ｔ＋ｄＴ)ｓｉｎｄθ２
＝０.
(３)
式中:Ｔ为钢丝绳松边张力ꎬｄＮ为钢丝绳与滑轮之间的接触压力ꎬμ为钢丝绳与滑轮之间的摩擦系数.
微元ｄθ很小ꎬ做近似处理ꎬ即ｃｏｓｄθ２ʈ１ꎬｓｉｎｄθ２ʈｄθ
２
ꎬ同时略去二阶无穷小
ｄＴｓｉｎ
ｄθ
２
.ｘ轴方向得
μｄＮ－ｄＴ＝０ꎬ
(４)ｙ轴方向得
ｄＮ－Ｔｄθ＝０.(５)将式(５)代入式(４)ꎬ并积分ꎬ得Ｔ＝Ｃ１ｅμθ.(６)
式中:Ｃ１为积分常数.
引入边界条件ꎬ当θ＝０时ꎬＴ即为紧边拉力ＴＡꎬ则Ｃ１＝ＴＡꎬ带入代(６)后ꎬ得
Ｔθ＝ＴＡｅμθ.
(７)
应该指出:式(７)即为(等价为)机械专业带传动设计中的欧拉公式[５].
将式(７)代入式(５)ꎬ并积分ꎬ得
Ｎ＝
ＴＡμｅμθ＋Ｃ２.
(８)
式中:Ｃ２为积分常数.引入边界条件ꎬ在图１中ꎬ在钢丝绳离开滑轮的瞬间位置ꎬ接触压力Ｎ＝０.此时Ｎ(０－)＝０ꎬ代入代(８)
后ꎬ得
Ｎ＝
ＴＡμ
(ｅμθ－１).
(９)
式(９)即为钢丝绳与滑轮任意接触位置的压力ꎬ代数关系表明压力与距离松边接触点之间的角度呈指数关系.
２㊀接触应力计算
将钢丝绳当做圆柱形ꎬ滑轮槽当做半径为Ｒ２的圆弧槽ꎬ则钢丝绳与滑轮在接触长度上可以看做赫兹接
触理论中的圆柱体的二维接触问题ꎬ接触截面如图３所示ꎬ根据赫兹理论ꎬ接触区域宽度取决于正压力[６]ꎬ即
５７ ２０１９年第５期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀
㊀㊀孙冠ꎬ等:钢丝绳与滑轮间接触应力计算㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀
R 1
R 2
z
x
图3钢丝绳与滑轮接触截面
ａ２＝
４Ｎ
πＥ∗ð
１
Ｒ
ꎬ(１０)
式中:ａ为接触区域宽度ꎻＮ为正压力ꎻ
１
Ｅ∗
为综合弹性模量ꎬｖ１为钢丝绳的泊松比ꎬＥ１为钢丝绳的弹性模量ꎬｖ２为滑轮的泊松比ꎬＥ２为滑轮的弹性模量ꎻð１
Ｒ
为综合曲率ꎬＲ１为钢丝绳半径ꎬＲ２为滑轮槽半径.
１Ｅ∗＝１－υ２
１Ｅ１
＋１－υ２
２
Ｅ２ꎬ
(１１)
以及
ð
１Ｒ＝１Ｒ１－１
Ｒ２
.(１２)
在接触宽度上ꎬｚ轴方向的正应力为
σｚ(ｘ)＝
Ｅ∗ð１Ｒ
２
(ａ２－ｘ２)１
２.
(１３)
将式(９)代入式(１０)ꎬ得
ａ２＝
４ＴＡ(ｅμθ－１)πμＥ∗ð
１
Ｒ
.(１４)
因此
σｚ(ｘ)＝
Ｅ∗ð
１
Ｒ２(
４ＴＡ(ｅμθ
－１)πμＥ∗ð
１
Ｒ
－ｘ２)１
２.(１５)
当工况条件不变ꎬ且滑轮和钢丝绳规格选定的情况下ꎬ接触宽度α只取决于角度θꎬ因此ꎬ
令
0.6H 0.5H
0.4H 0.3H 0.2H
0.1H 00
1
2
3
θ
图4接触宽度随角度变化曲线
Ｈ＝
４ＴＡ
πμＥ∗ð
１
Ｒ
ꎬ
(１６)
则式(１４)变为
α＝Ｈｅμθ－１.(１７)
当钢丝绳在滑轮上的包角为θ＝１８０ʎ时ꎬ摩擦系数μ＝０.１时ꎬ由式(１７)确定的曲线见图４[７].通过曲线可以看出ꎬ当０<θ<０.５时ꎬ接触宽度α的变化很大ꎬ从０增加到０.２５Ｈꎻ当０.５<θ<π时ꎬ接触宽度α的变化很平缓ꎬ与θ近似的成线性关系ꎬ增加了１.４倍ꎬ因此钢丝绳与滑轮槽的接触区域近似的为梯形.
下面分析整个接触区域的应力分布ꎬ令
Ｋ＝Ｅ∗ð１Ｒ２ꎬ
(１８)
６７
㊀广东第二师范学院学报第３９卷
0.6K H 0.4K H
0.2K H
1
2
3
1.2
0.6
-0.6
-1.2
0.0x
θ
a
b
图5接触应力分布
图6滚动体接触应力
并将Ｈ代入式(１５)ꎬ得
σｚ(ｘ)＝ＫＨ(ｅμθ
－１－ｘ２Ｈ
２)１
２.
(１９)
取包角为θ＝１８０ʎꎬμ＝０.１ꎬ则式(１５)确定的曲面见图５.
通过曲面可以看出ꎬ在ｘ方向ꎬ接触应力成椭圆分布ꎬ在ｘ＝０时ꎬ应力达到最大值ꎻ随着θ的增加ꎬ接触应力和接触区域均逐渐增大.最大应力值点位于ｘ＝０且θ＝π的位置ꎬ应力值为
σｚｍａｘ＝
０.３７ＴＡＥ∗ð
１Ｒπμ
ꎬ
(２０)
３㊀接触区域及应力分析
根据前面的计算和分析可以看出ꎬ在钢丝绳与滑轮的整个接触区域上ꎬ接触应力的分布很不均匀ꎬ这是由于接触变形和摩擦力共同引起的.由于摩擦力的存在ꎬ导致钢丝绳与滑轮接触部分的张力逐渐变化ꎬ进而引起接触压力的变化ꎻ同时ꎬ由于滑轮圆弧槽直径大于钢丝绳直径ꎬ最终导致接触区域变形不均匀ꎬ引起接触应力产生变化.
虽然通过计算得出了接触区域的应力ꎬ但忽略了钢丝绳在滑轮绕入点和绕出点接触状态突变的问题ꎬ在这两个位置ꎬ应力梯度无限大ꎬ会引起很大的应力集中.图６为轴承分析计算中有限长圆柱滚动
体与轴承圈接触的应力分布[８]ꎬ图６ｂ中的压力大于图６ａ中的压力ꎬ从图中可以看出ꎬ压力越大ꎬ接触边缘的应力越大ꎬ变化越剧烈.钢丝绳与滑轮的接触同样存在这样的情况.
４㊀结语
经过计算和分析ꎬ钢丝绳与滑轮之间的接触应力受到接触角度㊁摩擦系数㊁钢丝绳拉力等多个因素的影响ꎬ不但分布不均匀ꎬ且接触区域也受到上述因素的影响.因此ꎬ公式(１)只是忽略了多个因素的近似公式ꎬ计算出的并不是精确值ꎬ只是理想近似值.当考虑摩擦力时ꎬ接触应力成椭圆分布ꎬ接触区域近似的成梯形分布ꎬ最大应力点位于钢丝绳紧边与滑轮接触处的轮槽中点.同时ꎬ由于钢丝绳在滑轮的绕入点和绕出点存在接触状态突变的现象ꎬ应力梯度无限大ꎬ会导致极大的应力集中.参考文献:
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[２]孙家彨.矿用钢丝绳的性能及其合理使用[Ｊ].矿山机械ꎬ１９７７ꎬ５(２):４４￣５３.
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㊀㊀孙冠ꎬ等:钢丝绳与滑轮间接触应力计算㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀
８７ ㊀广东第二师范学院学报第３９卷[３]克劳斯 费耶尔.钢丝绳:强韧ꎬ耐久ꎬ可靠[Ｍ].谭佃龙ꎬ刘礼华ꎬ王利明ꎬ译.南京:江苏科学技术出版社ꎬ２０１２:１９３￣１９４.
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ＴｈｅＣａｃｕｌａｔｉｏｎｏｆＣｏｎｔａｃｔＳｔｒｅｓｓｂｅｔｗｅｅｎ
ＳｔｅｅｌＲｏｐｅａｎｄＰｕｌｌｅｙ
ＳＵＮＧｕａｎꎬＳＨＥＮＺｈｉｊｕｎꎬＺＨＡＮＧＤｏｎｇｙｕ
(ＸｉａｎｙａｎｇＢＯＭＣＯＳｔｅｅｌＴｕｂｅ＆ＷｉｒｅＲｏｐｅＣｏＬｔｄꎬＸｉａｎｙａｎｇꎬＳｈａａｎｘｉꎬ７１２０００ꎬＰ.Ｒ.Ｃｈｉｎａ)
Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｗｈｅｎｔｈｅｆｒｉｃｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｓｔｅｅｌｒｏｐｅａｎｄｐｕｌｌｅｙｉｓｎｅｇｌｅｃｔｅｄꎬｔｈｅｃｏｎｔｒａｃｔｓｔｒｅｓｓｏｆｔｈｅｗｈｏｌｅｃｏｎｔｒａｃｔａｒｅａｂｅｔｗｅｅｎｓｔｅｅｌｒｏｐｅａｎｄｐｕｌｌｅｙｉｓｃｏｎｓｔａｎｔꎬｂｕｔｔｈｉｓｉｓｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｒｏｍｔｈｅｐｒａｃｔｉｃａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎ.ＯｎｔｈｅａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｔｅｅｌｗｉｒｅｂｅｉｎｇｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌｒｏｄꎬｔｈｉｓｐａｐｅｒｕｓｅｓＨｅｒｔｚｔｈｅｏｒｙｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｃｏｎｔｒａｃｔｓｔｒｅｓｓｂｅｔｗｅｅｎｓｔｅｅｌａｎｄｐｕｌｌｅｙ.Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔꎬｔｈｅｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｓｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｓｉｎａｎｅｌｌｉｐｓｅꎬｃｏｎｔｒａｃｔａｒｅａｉｓａｎａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｔｒａｐｅｚｏｉｄ.
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｓｔｅｅｌｗｉｒｅꎻｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｓｓꎻＨｅｒｔｚｔｈｅｏｒｙ。