2018-2019学度吉林吉林高二上年末数学试卷(理科)含解析解析.doc.doc

2018-2019学度吉林吉林高二上年末数学试卷（理科）含解析解
析
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

【一】选择题〔共12个小题，每题5分，合计60分，每题只有一个正确的选项！〕
1、〔5分〕在△ABC中，a＝18，B＝60°，C＝75°，那么b＝〔〕
A、6
B、9
C、4
D、9
2、〔5分〕不等式〔x＋5〕〔1﹣x〕≥8的解集是〔〕
A、｛x｜x≤1或x≥﹣5｝
B、｛x｜x≤﹣3或x≥﹣1｝
C、｛x｜﹣5≤x《1｝
D、｛x｜﹣3≤x≤﹣1｝
3、〔5分〕焦点在y轴上，对称轴为坐标轴的椭圆，半短轴长为3，焦距为4，那么该椭圆的标准方程为〔〕
A、B、C、D、
4、〔5分〕等比数列｛a
n ｝中，a
1
a
2
a
3
＝3，a
10
a
11
a
12
＝24，那么a
13
a
14
a
15
＝〔〕
A、48
B、72
C、144
D、192
5、〔5分〕在△ABC中，sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝sin2C，那么角C等于〔〕
A、30°
B、60°
C、120°
D、150°
6、〔5分〕x》0，y》0，且＋＝2，那么x＋y的最小值为〔〕
A、6
B、7
C、8
D、9
7、〔5分〕两定点F
1〔0，﹣5〕，F
2
〔0，5〕，平面内动点 P到F
1
、F
2
的距离之差
的绝对值是6，那么点P的轨迹方程为〔〕
A、B、C、D、
8、〔5分〕在△ABC中，A＝60°，AB＝4，S
△ABC
＝2，那么BC边等于〔〕A、2B、2C、D、3
9、〔5分〕数列｛a
n ｝满足a
1
＝1，a
n＋1
＝a
n
＋2n，那么a
10
＝〔〕
A、1024
B、1023
C、2048
D、2047
A、¬p：∃x∈R，使tanx≠1
B、¬p：∃x∉R，使tanx≠1
C、¬p：∀x∈R，使tanx≠1
D、¬p：∀x∉R，使tanx≠1
11、〔5分〕在平面直角坐标系中，A〔﹣2，3〕，B〔3，﹣2〕，沿x轴把直角坐标系折成60°的二面角，那么AB的长为〔〕
A、B、2C、3D、4
【二】填空题〔共4个小题，每个小题6分，合计24分，要求：答案书写时规范、标准、〕
12、〔5分〕x、y满足约束条件，那么z＝2x＋4y的最小值是、
13、〔5分〕函数y＝的定义域为R，那么k的取值范围、
14、〔5分〕点P到点F〔0，1〕的距离比它到直线y＝﹣5的距离小4，假设点P 的轨迹与直线x﹣4y＋2＝0的交点为A、B，那么线段AB的中点坐标为、
15、〔5分〕①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②在△ABC中，“∠B＝60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件、
③是的充要条件；
④“am2《bm2”是“a《b”的充分必要条件、
以上说法中，判断正确的有、
【三】解答题〔共6个小题，每题10分，合计70分、要求：书写规范，步骤清晰，按步骤赋分，没有过程，不给评分〕
16、〔10分〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2＝c〔b ﹣c〕，a＝4，
〔1〕假设b＝，求B；
〔2〕假设△ABC面积为4，求b与c的值、
17、〔12分〕命题p：实数x满足x2﹣4ax＋3a2《0，其中a《0；命题q：实数x 满足x2﹣x﹣6≤0，假设￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围、
18、〔12分〕等差数列｛a
n ｝中，a
7
＝9，S
7
＝42
〔1〕求a
15与S
20
〔2〕数列｛c
n ｝中c
n
＝2n a
n
，求数列｛c
n
｝的前n项和T
n
、
19、〔12分〕数列｛a
n ｝的前n项和为S
n
，假设S
n
＝n2＋5n、
〔1〕证明数列｛a
n
｝是等差数列；
〔2〕求数列｛｝的前n项和T
n
、
20、〔12分〕椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，假设抛物线y2＝4x的焦点与椭圆一个焦点重合、
〔1〕求椭圆的标准方程、
〔2〕假设直线m椭圆左焦点F
1
且斜率为1，交椭圆于A、B两点，求弦长｜AB｜、21、〔12分〕如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA ⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：
〔1〕证明：直线MN∥平面OCD；
〔2〕求异面直线AC与MD所成角的大小；〔3〕求直线AC与平面OCD所成角的余弦值、
2017－2018学年吉林省吉林高二〔上〕期末数学试卷〔理
科〕
参考答案与试题解析
【一】选择题〔共12个小题，每题5分，合计60分，每题只有一个正确的选项！〕
1、〔5分〕在△ABC中，a＝18，B＝60°，C＝75°，那么b＝〔〕
A、6
B、9
C、4
D、9
【解答】解：∵在△ABC中，a＝18，B＝60°，C＝75°，
∴A＝45°，
由正弦定理＝得：b＝＝＝9，
应选：C、
2、〔5分〕不等式〔x＋5〕〔1﹣x〕≥8的解集是〔〕
A、｛x｜x≤1或x≥﹣5｝
B、｛x｜x≤﹣3或x≥﹣1｝
C、｛x｜﹣5≤x《1｝
D、｛x｜﹣3≤x≤﹣1｝
【解答】解：∵〔x＋5〕〔1﹣x〕≥8，
∴〔x＋3〕〔x＋1〕≤0，
解得：﹣3≤x≤﹣1，
应选：D、
3、〔5分〕焦点在y轴上，对称轴为坐标轴的椭圆，半短轴长为3，焦距为4，那么该椭圆的标准方程为〔〕
A、B、C、D、
【解答】解：根据题意，要求椭圆的半短轴长为3，焦距为4，
即b＝3，2c＝4，
解可得b＝3，c＝2；
那么a＝＝，
又由椭圆的焦点在y轴上，那么椭圆的方程为＋＝1；
应选：D、
4、〔5分〕等比数列｛a
n ｝中，a
1
a
2
a
3
＝3，a
10
a
11
a
12
＝24，那么a
13
a
14
a
15
＝〔〕
A、48
B、72
C、144
D、192
【解答】解：设等比数列｛a
n ｝的公比为q，∵a
1
a
2
a
3
＝3，a
10
a
11
a
12
＝24，
∴〔q 9〕3
＝
＝8，解得：q 9
＝2、
那么a 13a 14a 15＝q 36•a 1a 2a 3＝24×3＝48， 应选：A 、
5、〔5分〕在△ABC 中，sin 2A ＋sin 2B ＋sinAsinB ＝sin 2C ，那么角C 等于〔〕 A 、30° B 、60° C 、120° D 、150°
【解答】解：∵sin 2A ＋sin 2B ＋sinAsinB ＝sin 2C ， 由正弦定理可得，a 2＋b 2＋ab ＝c 2， 由余弦定理可得，cosC ＝
＝
＝﹣，
∴由C ∈〔0°，180°〕，可得：C ＝120°、 应选：C 、
6、〔5分〕x 》0，y 》0，且＋＝2，那么x ＋y 的最小值为〔〕 A 、6
B 、7
C 、8
D 、9
【解答】解：∵x 》0，y 》0，且＋＝2， ∴
＋
＝1，
∴x ＋y ＝〔x ＋y 〕〔
＋
〕＝5＋
＋
≥5＋2
＝5＋3＝8，当且仅
当y ＝3x ＝6时取等号、 应选：C 、
7、〔5分〕两定点F 1〔0，﹣5〕，F 2〔0，5〕，平面内动点P 到F 1、F 2的距离之差的绝对值是6，那么点P 的轨迹方程为〔〕 A 、
B 、
C 、
D 、
【解答】解：根据题意，两定点F 1〔0，﹣5〕，F 2〔0，5〕，那么｜F 1F 2｜＝10， 假设动点P 到F 1、F 2的距离之差的绝对值是6，那么有6《10， 那么P 的轨迹是以F 1〔0，﹣5〕，F 2〔0，5〕为焦点的双曲线，其中c ＝5，a ＝3， 那么b ＝
＝4，
那么双曲线的方程为：﹣
＝1；
应选：C 、
8、〔5分〕在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝4，S △ABC ＝2，那么BC 边等于〔〕
A 、2
B 、2
C 、
D 、3
【解答】解：∵A＝60°，AB＝4，S
△ABC
＝2＝AB•AC•sinA＝，∴AC＝2，
∴由余弦定理可得：BC＝＝＝2、
应选：B、
9、〔5分〕数列｛a
n ｝满足a
1
＝1，a
n＋1
＝a
n
＋2n，那么a
10
＝〔〕
A、1024
B、1023
C、2048
D、2047
【解答】解：∵数列｛a
n ｝满足a
1
＝1，a
n＋1
＝a
n
＋2n，
∴a
n ＝a
1
＋〔a
2
﹣a
1
〕＋…＋〔a
n
﹣a
n﹣1
〕＝1＋21＋22＋…＋2n﹣1＝＝2n﹣1、
〔n∈N×〕、
∴a
10
＝210﹣1＝1023、
应选B、
10、〔5分〕命题p：∃x∈R，使tanx＝1，其中正确的选项是〔〕
A、¬p：∃x∈R，使tanx≠1
B、¬p：∃x∉R，使tanx≠1
C、¬p：∀x∈R，使tanx≠1
D、¬p：∀x∉R，使tanx≠1
【解答】解：∵命题“∃x∈R，使tanx＝1”是特称命题
∴命题的否定为：∀x∈R，使tanx≠1、
应选C、
11、〔5分〕在平面直角坐标系中，A〔﹣2，3〕，B〔3，﹣2〕，沿x轴把直角坐标系折成60°的二面角，那么AB的长为〔〕
A、B、2C、3D、4
【解答】解：如图，A〔﹣2，3〕，B〔3，﹣2〕，
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，那么C〔﹣2，0〕，D〔3，0〕，
∴，，，
沿x轴把坐标平面折成60°的二面角，
∴《，》＝60°，且，
∴＝
＝＝32、
∴、
即AB的长为、
应选：D、
【二】填空题〔共4个小题，每个小题6分，合计24分，要求：答案书写时规范、标准、〕
12、〔5分〕x、y满足约束条件，那么z＝2x＋4y的最小值是﹣6、
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝2x＋4y得y＝﹣x＋，
平移直线y＝﹣x＋，由图象可知当直线y＝﹣x＋经过点A时，
直线y＝﹣x＋的截距最小，此时z最小，
由，解得，即A〔3，﹣3〕，
此时z＝2×3＋4×〔﹣3〕＝﹣6，
故答案为：﹣6、
13、〔5分〕函数y＝的定义域为R，那么k的取值范围【0，2】、
【解答】解：要使函数y＝的定义域为R，
那么kx2﹣4kx＋6≥0对任意x∈R恒成立、
当k＝0时，不等式化为6≥0恒成立；
当k≠0时，那么，解得0《k≤2、
综上，k的取值范围是【0，2】、
故答案为：【0，2】、
14、〔5分〕点P到点F〔0，1〕的距离比它到直线y＝﹣5的距离小4，假设点P 的轨迹与直线x﹣4y＋2＝0的交点为A、B，那么线段AB的中点坐标为〔，〕、
【解答】解：∵点P到F〔0，1〕的距离比它到直线y＝﹣5的距离小4，
∴点P在直线l的上方，点P到F〔0，1〕的距离与它到直线y＝﹣1的距离相等
∴点M的轨迹C是以F为焦点，y＝﹣1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为x2＝4y，
设A〔x
1，y
1
〕，B〔x
2
，y
2
〕，AB的中点为〔x
，y
〕
将直线x﹣4y＋2＝0代入x2＝4y，可得x2＝x＋2，
解得x
1＝2或x
2
＝﹣1，
那么y
1＝1或y
2
＝，
∴x
0＝〔2﹣1〕＝，y
＝〔1＋〕＝，
∴AB的中点为〔，〕，
故答案为：〔，〕
15、〔5分〕①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②在△ABC中，“∠B＝60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件、
③是的充要条件；
④“am2《bm2”是“a《b”的充分必要条件、
以上说法中，判断正确的有①②、
【解答】解：对于①，∵一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，它们同真同假，故①正确；
对于②，在△ABC中，假设∠B＝60°，那么∠A＋∠C＝120°＝2∠B，即∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，充分性成立；
反之，在△ABC中，假设∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，那么2∠B＝∠A＋∠C，即3∠B＝∠A＋∠C＋∠B＝180°，
∴∠B＝60°，必要性成立；
∴在△ABC中，“∠B＝60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件，即②正确；
对于③，假设，那么，即是成立的充分条件；
反之，不成立，如x＝，y＝10，满足，但不满足，即不
能⇒，必要性不成立，故③错误；
对于④，④am2《bm2⇒a《b，即“am2《bm2”是“a《b”的充分条件；
反之，假设a《b，m＝0，那么不能⇒am2《bm2，即必要性不成立，故D错误；
综上所述，以上说法中，判断正确的有①②、
故答案为：①②、
【三】解答题〔共6个小题，每题10分，合计70分、要求：书写规范，步骤清晰，按步骤赋分，没有过程，不给评分〕
16、〔10分〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2＝c〔b ﹣c〕，a＝4，
〔1〕假设b＝，求B；
〔2〕假设△ABC面积为4，求b与c的值、
【解答】解：〔1〕由b2﹣a2＝c•〔b﹣c〕得：a2＝b2＋c2﹣bc
根据余弦定理：a2＝b2＋c2﹣2bccosA得：
又：△ABC中，0°《A《180°，那么A＝60，
由正弦定理：结合解出：
又：△ABC中，0°《B《180°﹣60°，那么B＝45，
〔2〕由a＝4，A＝60°写出余弦定理：a2＝b2＋c2﹣2bccosA
得：b2＋c2﹣bc＝16①
再由面积公式：及得：bc＝16②
联立①②，且b》0，c》0解得：b＝4，c＝4、
17、〔12分〕命题p：实数x满足x2﹣4ax＋3a2《0，其中a《0；命题q：实数x 满足x2﹣x﹣6≤0，假设￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围、【解答】解：命题p：实数x满足x2﹣4ax＋3a2《0，其中a《0，解得：3a《x《A、命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，解得：﹣2≤x≤3、
∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件、
∴，a《0，解得≤a《0、
∴实数a的取值范围是、
18、〔12分〕等差数列｛a
n ｝中，a
7
＝9，S
7
＝42
〔1〕求a
15与S
20
〔2〕数列｛c
n ｝中c
n
＝2n a
n
，求数列｛c
n
｝的前n项和T
n
、
【解答】解：〔1〕设等差数列｛a
n ｝的公差为d，那么由a
7
＝9，S
7
＝42
联立：，
解得：，
那么数列的通项公式为：a
n
＝n＋2
∴、
〔2〕由〔1〕知：，
那么：①∴②，
①﹣②得：，
，
﹣﹣〔n＋2〕•2n＋1，
整理得：、
19、〔12分〕数列｛a
n ｝的前n项和为S
n
，假设S
n
＝n2＋5n、
〔1〕证明数列｛a
n
｝是等差数列；
〔2〕求数列｛｝的前n项和T
n
、
【解答】证明：〔1〕当n＝1时，S
1＝1＋5＝6＝a
1
当n≥2时，
化简，得：a
n
＝2n＋4检验，n＝1时，代入上式符合、那么；
解：〔2〕由题意知：
＝，
＝，
解得：、
20、〔12分〕椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，假设抛物线y2
＝4x的焦点与椭圆一个焦点重合、
〔1〕求椭圆的标准方程、
且斜率为1，交椭圆于A、B两点，求弦长｜AB｜、〔2〕假设直线m椭圆左焦点F
1
【解答】解：〔1〕由题意，设所求椭圆标准方程为：，焦点距为2c
∵抛物线y2＝4x的焦点为F〔1，0〕，
∴c＝1，
又离心率，
那么：
再由b2＝a2﹣c2得：b2＝4；
所求椭圆标准方程为：，
〔﹣1，0〕，直线m的方程为：y﹣0＝1〔x＋1〕即〔2〕由〔1〕知，左焦点为F
1
y＝x＋1
联立：消去y得：9x2＋10x﹣15＝0，
那么，
由弦长公式｜AB｜＝•＝•＝
21、〔12分〕如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA ⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：
〔1〕证明：直线MN∥平面OCD；
〔2〕求异面直线AC与MD所成角的大小；
〔3〕求直线AC与平面OCD所成角的余弦值、
【解答】证明：〔1〕如图，分别以AB，AD，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，
那么A〔0，0，0〕B〔i，0，0〕C〔I，I，0〕D〔0，1，0〕M〔0，0，1〕N〔1，
，0〕，O〔0，0，2〕
＝〔1，，﹣1〕，＝〔1，1，﹣2〕，＝〔0，1，﹣2〕
设平面OCD的法向量为＝〔x，y，z〕，
那么，取z＝1，解得＝〔0，2，1〕，
＝0，又MN⊄平面OCD，
∴直线MN∥平面OCD、…〔6分〕
解：〔2〕设AC与MD所成的角为θ，
∵＝〔1，1，0〕，＝〔0，1，﹣1〕，
∴cosθ＝＝，
∴，
∴AC与MD所成角为、
〔3〕设直线AC与平面OCD所成角为α，
那么sinα＝＝，∴cosα＝＝，
∴直线AC与平面OCD所成角的余弦值为、…〔12分〕。