初中数学继续教育作业2

初中数学继续教育作业
一、专题一“数学探究选讲--杜玲玲”的作业：课后“练习与思考”的6个小题。

1．已知数列222222)
12()12(8,,5328,3118+-⨯⨯⨯⨯n n n ，n S 为其前n 项和，计算得81
80,4948,2524,984321====S S S S ，观察上述结果，猜测计算n S 的公式，并用数学归纳法加以证明。

解:∵分母依次是3,5,7,9的平方数,分子比分母小1,由此猜想S n =2
2)12(1)12(+-+n n .证明如下： (1)当n =1时,S 1=983
1322=-,等式成立； (2)设当n =k 时,等式成立,
即S k =2
2)12(1)12(+-+k k . 则S k +1=S k +2
2)32()12()1(8+++k k k =2
222)32()12()1(8)12(1)12(+++++-+k k k k k =[]
2222)32()12()1(8)32(1)12(+++++-+k k k k k =2
2222)32()12()1(8)32()32()12(+++++-++k k k k k k =222
22)
32()12()12()32()12(+++-++k k k k k =[][]22
221)1(211)1(2)32(1)32(++-++=+-+k k k k , 即当n =k +1时,等式也成立.
根据(1)、(2),可知等式对任何n ∈N *都成立.
评注:数学归纳法通常用来证明与正整数有关的命题,它属于完全归纳法,有两个基本 步骤：
第一步是起始步,证明当n 取第一个值n 0(n 0是使结论成立的最小的正整数)时,结论正确； 第二步是假设步,假设n =k (k ∈N *,且k ≥n 0)时结论正确,证明n =k +1时,结论也正确. 其中第一步是递推的基础,第二是递推的依据,两者相辅相成,缺一不可
2．海滩上有一堆苹果是五个猴子的财产，它们要平均分配，第一个猴子来了，它把苹果平均分成五堆还剩下一个，然后把剩下的一个苹果扔到海里，自己拿走一堆；第二个猴子来了，它把苹果分成五堆，又多一个，它把多出的一个苹果也扔到海里，拿走了一堆，以后每个猴子来了都照此办理，问原来至少有多少苹果？最后至少有多少苹果？
解: 设最初的苹果个数是 X ，经过 5 轮分配后剩下的苹果个数是 Y 。

则有方程式;((((X-1)*4/5-1)*4/5-1)*4/5-1)*4/5-1)*4/5=Y 。

n +化简后得到 1024 X - 8404 = 3125 Y 。

,? Q`A
问题是要求这个方程的整数解。

学中国 nh
容易看出，如果 X=X 0 ，Y=Y 0 是这个方程的一组特解，那么，这个方程的任何一组整数解都可以表示成下列形式： J+O
X=3125*k+X 0 ，Y=1024*k+Y 0 （其中 k 是任何整数）。

R=vPm sf`
从楼上的分析，我们发现 X=-4 ，Y=-4 是这个方程的一组特解，所以，这个方程的一般解可以表示为'-- 数学中国 O
X=3125*k-4 ，Y=1024*k-4 （其中 k 是任何整数）。

A{ Z9#
特别，k=1 时，就有 X=3121 ，Y=1020 。

3
方法2：先借他们4只苹果，那么第一只猴子将苹果恰分作五份拿走一堆（其实这一堆也就是先前他拿的一堆加一个），剩下那四堆各取出一个第二只猴子来分苹果，将四只苹果又放进去，因为原本多一个苹果，就可以平分成…… 答案就是5*5*5*5*5-4=3121 这个是最小值
第一只猴子扔掉一个剩3120 拿走624 剩2496
第二只猴子扔掉一个剩2495 拿走499 剩1996
第三只猴子扔掉一个剩1995 拿走399 剩1596
第四只猴子扔掉一个剩1595 拿走319 剩1276
第五只猴子扔掉一个剩1275 拿走255 剩1020
3．求函数222
2)42
13()(),(-+-+-=b a b a b a f 的极小值。

设a=x1,√(3-a^2)=y1,则x1^2+y1^2=3.
设b=x2,-1/2*√(b^2-4)=y2,则(x2^2)/4-y2^2=1(y2<=0)
A(x1,y1),B(x2,y2)
则f(a,b)=｜AB ｜^2
题目转化为求圆x^2+y^2=3上的动点A 与双曲线x^2/4-y^2=1(x 轴下方)上动点B 之间的距离的最小值.
数形结合可知,极小值为(2-√3)^2.
（=(a-b)^2+1/2√(b^2-4)+√(3-a^2)
dc/da=2a-2b-a/√(3-a^2)
dc/db=2b-2a+b/2√(b^2-4)
方程组 {2a-2b-a/√(3-a^2)
2b-2a+b/2√(b^2-4)
解吧，再代到(a-b)^2+1/2√(b^2-4)+√(3-a^2)
4． 一位老师，他想试试三位聪明的学生哪一个更聪明一些，他先准备好５顶帽子，其中３
顶白的，２顶黑的，然后让学生看清楚，再要他们闭上眼睛，闭上之后给他们都戴上白帽子，并把两顶黑帽子藏起来，最后让学生睁开眼睛，并请他们回答自己戴的是什么颜色的帽子。

三个学生睁开眼睛后互相看了看，并且都犹豫了一会，然后三个聪明的学生异口同声回答：自己头上戴的是白色的帽子。

怎样解答这个问题呢？
答：甲看到了乙和丙头上都戴着白色的帽子，这时候如果只从自己的角度考虑问题，那么无法得出确切的结论来。

要想胜出，甲就必须在思维上有一个跳跃，去揣摩乙和丙的心理，判断他们可能采取的行动。

t:7 甲看到乙和丙都戴了白帽子，甲就想，如果自己戴了黑帽子，那么丙就看到一白一黑两顶帽子；那么丙马上可以想到，如果自己戴的是黑帽子，也就意味着乙看到了两顶黑帽子，乙马上就能知道自己戴了白帽子并立刻欢天喜欢地说出来；但乙并没有马上说出来，也犹豫了一会，这说明丙戴的一定是白帽子。

话讲到这一步，答案已经出来了，就是在僵持中，甲能独立判断出自己不可能戴黑色帽子，乙和丙也做到了。

解答：每个人都看到另两个人戴的白帽子
1、一个人设想自己可能戴白也可能黑，当自己戴黑的时候，另两人看到的是一黑一白
2、第二人也会假设自己戴黑或戴白，假设自己戴黑时，第三人一定会猜出自己戴白，但是没有，所以第二人和第三人都可以确定他们戴的是白。

3、但是第二人和第三人都没有猜自己带的是白，所以第一人推断出自己戴的不是黑
4、每个人都按这种思路去推断。

5．证明：若在ABC ∆之外作两个正方形ABEF 和ACGH ，则A
B C ∆的BC 边上的高AD 必平分FH 。

题 在 ABC ∆ 之外作两个正方形 ABEF 和 ACGH ，证明 ABC ∆ 的 BC 边上的高必平分 FH 。

证 如图，作平行四边形 FAHI ，连接A I ，延长 A I 与 BC 交于一点 D 。

因为平行四边形的对角线互相平分，所以 A I 平分 FH 。

下面证明 AD I 是 ABC ∆ 的 BC 边上的高。

在 HA I ∆ 和 BAC ∆ 中，因为 BA FA IH ==，AC HA =，
FAH IHA ∠-=∠o 180CAB FAH ∠=∠---=o o o 9090360，
所以 HA I ∆≅BAC ∆ ，所以 ACD HAI ∠=∠ ，所以
o o o o o 90)90180(180180=∠-∠---=∠-∠-=∠HAI HAI ACD DAC ADC ， 即有 BC AD ⊥，AD I 是 ABC ∆ 的 BC 边上的高。

因为高是唯一的，所以 ABC ∆ 的 BC 边上的高必平分 FH 。

６．证明：如果所有周长相等的平面图形中存在面积最大的图形，则这个图形必定是圆。

我首先要证明，面积最大的图形满足一个性质：一条平分周长的直线（暂且把它叫做周长平分线），一定也平分面积。

因为，如果不平分面积的话，那么我总可以把面积较大的那块翻到另一边去，使得周长不变，而面积增大（如左图，红色曲线围成的面积大于蓝色曲线）。

好了，接下来，我要再证明面积最大的图形满足第二条性质：周长平分线与曲线的两个交点和曲线上任意一点构成的三角形，必然是直角三角形。

因为，如果它不是直角三角形，我可以把他拉伸或压缩一下，使它成为直角三角形，这样新三角形的面积大于原三角形的面积（证明省略，主要使用S=absin θ/2），而图形其他部分面积不变，这样面积就扩大了。

因此，面积最大的图形满足上述两条性质，我们就不难推出它是圆了
在同样周长的平面图形中，圆的面积最大
定理1 在同样边长的四边形中，圆内接四边形的面积最大。

设已知四边形 ABCD 中，a AB =，b BC =，c CD =，d DA =。

则当且仅当四边形 ABCD 内接于一个圆时，它的面积达到最大值。

证 设α=∠ABC ，β=∠CDA ，四边形 ABCD 的面积
CD A ABC S S S ∆∆+=βαsin 2
1sin 21cd ab +=。

由余弦定理可知 βαcos 2cos 22222cd d c ab b a -+=-+ 。

即有
βαcos 2
1cos 21)(412222cd ab d c b a -=--+ 。

所以
222222)(16
1d c b a S --++ 2sin 21sin 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=βαcd ab 2cos 21cos 21⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+βαcd ab ])cos(2[4
12222d c abcd b a ++-=βα， 即有
2S ])cos(2[412222d c abcd b a ++-=βα22222)(16
1d c b a --+-。

因为 1)cos(1≤+≤-βα ，容易看出，当且仅当 πβα=+ ，即D C B A ,,,四点共圆时，这时 1)cos(-=+βα ，四边形 ABCD 的面积 S 达到最大。

定理2 在同样边长的多边形中，圆内接多边形的面积最大。

设多边形 n A A A 21 各边的长度都已经给定，如果多边形 n A A A 21 的面积达到最大值，那么它必定内接于一个圆。

证 首先证明：在这个多边形中，任何依次连接的四个顶点，必定在同一个圆上。

不妨设这四个顶点是 4321,,,A A A A 。

连接 41A A ，使 41A A 的长度固定。

假设4321,,,A A A A 不在同一个圆上，则可以调整 32,A A 的位置，使得四边形 4321A A A A 内
接于一个圆。

在定理1中，已经证明了：当且仅当四边形内接于一个圆时，它的面积达到最大值。

所以，调整后、内接于圆的四边形 4321A A A A 的面积，总是要大于未调整前的四边形 4321A A A A 的面积，这就与多边形 n A A A 21 的面积达到最大值发生矛盾，所以，4321,,,A A A A 必定在同一个圆上。

依此类推，可知任何依次连接的四个顶点，必定在同一个圆上。

由于 4321,,,A A A A 四点共圆，这个圆就是过 432,,A A A 三点所作的圆，同时，5432,,,A A A A 四点也共圆，这个圆也是过 432,,A A A 三点所作的圆，由此可见，54321,,,,A A A A A 五点都在同一个圆上。

依此类推，就可以证明多边形 n A A A 21 内接于一个圆。

定理3 在同样周长的平面图形中，圆的面积最大。

证 任何平面图形，都可以将它的周长平均分为n 小段，当 ∞→n 时，每一小段都可以看作是一条线段，这个平面图形可以看作是一个 ∞→n 的n 边形。

由定理2 可知，当周长给定时，n 边形的面积要达到最大，它必须内接于一个圆，由于各边长度相等，所以它是一个圆内接正n 边形。

又因为 ∞→n ，当 ∞→n 时，圆内接正n 边形的极限是一个圆，由此可见，任何平面图形的面积要达到最大，它必须是一个圆。

二、专题二“数学发展史与数学教育--林永伟”的作业：
1.通过对分数历史的分析,你认为应如何更好地进行分数的教学？
答：“分数”一词的解释大体一致，那就是“被分割的数”。

根据文字含义，结合具体的情境，把一个物体或一个图形平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示来认识分数，并能用实际操作的结果表示相应的分数，能读、写简单的分数。

然后在进一步研究分数的运算法则。

2.为什么说一元二次方程来源于实际问题？
从一元二次方程的来源可以一看出：据考证，古巴比伦的楔形文献中就记有相当于的一元二次方程的实例和解法。

古希腊数学家海伦(Heron ，约公元75年)曾给出这样的问题“给定一正方形，知其面积与周长之和为896尺(应该是平方尺)，求其一边。

《九章算术》第九章勾股章第二十题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．”也是一个一元二次方程问题。

在阿拉伯人那里，有关一元二次方程的问题逐渐被剥离去了实际的内容，而变成“纯数字的游戏”。

3. 已知三边求三角形面积，在历史上曾经有哪几种典型的方法，它们各具有什么特色？
答：已知三边求三角形面积，在历史上曾经有三种典型的方法：
①海伦公式：海伦(Heron，约100年)在他的著作《测量学》给出了三角形面积公式△= ，并在其他著作(如《经纬仪》、《度量》)中给予了证明。

对这一公式的证明，海伦是采用几何演绎的角度来完成的。

② 印度数学家婆什迦罗(1114～1185)在《丽罗瓦提》(Lilavati嬉有章)中作出三角形曲积的求法，他的作法是从几何代数的角度。

③ 1247年南宋秦九韶在《数书九章》中讨论了“已知三角形三边求它的面积”这一问题。

并给出了相当于现代数学公式的结果：△ = ，但这一公式来历不明，其证明方法早已失传，后人的猜测趋同于“出入相补原理”。

其中用到刘徽公式：（a,b,c分别为直角三角形的股，勾，弦），这是从几何变换的角度来完成的。

4.试叙述“勾股定理”名称的演化过程。

答：商高最早对勾股定理给予了解释，同时用来解决实际问题，所以称为“商高定理”。

然后《周髀算经》记载了陈子（在周公之后）用勾股定理推算地球与太阳的距离以及太阳的直径，因而又叫“陈子定理”。

最后，人们对之俗称为“勾股弦定理”，后来则慢慢地简化成“勾股定理”。

5.试分析中国古代数学虽然没有平行理论和相似理论，却能解决高深的几何测量问题的原因。

答：按照现代数学的观点，几何测量理论的建立，需要以下三方面要素的支持，一为角的度量，二是平行原理，三为相似理论。

但是中国古代数学在这三方面几乎是一片空白。

尽管如此，中国古代数学的几何测量却取得了辉煌的成就，其中的奥妙就在于，“中算家”们引用了一套既简单直观，又巧妙独特，且行之有效的方法——中国的测量术：
(1)中国式的相似理论——勾股不失本率：这一方法被称为“勾股容方术”，按现在的话说是，相似三角形的对应边成比例。

(2)三点共线——参直法
以“不失本率”原理和“参直法”作为几何测量的基本方法可以解决一般的测量问题。

(3)有效的测量工具——立表法和连索法
因立四个等距的“表”，可构成一个正方形，使问题的解决变得更为容易，故连索表以立四表最为常见。

(4)高明的测量方法——重差术
刘徽在《九章算术·注释》的序言中指出：“凡望极高、测绝深而兼知其远者，必用重差。

” 即目标“极高”、“绝深” 等不能靠近进行实际测量时，必须用两次（或两次以上）测量的方法加以实现。

并且为了进一步说明问题，而著《海岛算经》给出几何测量更加高深但实用的方法，即“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。

”
作业要求：1.以上作业要求每位用A4纸手写独立完成；
2.请于2012年1月15日前先交给教研组长，再由组长统一交教研室杨龙江老师。