李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)讲课教案
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（1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）
（2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）
（3）不动点迭代法总是线性收敛的法（正确）
（5）求多项式 的零点问题一定是病态的问题（错误）
（7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）
（8）牛顿法有可能不收敛（正确）
4从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。
3.什么是函数 的不动点？如何确定 使它的不动点等价于 的零点
P215.
将方程 改写成等价的形式 ，若要求 满足 ，则 ；反之亦然，称 为函数 的一个不动点。
4.什么是不动点迭代法？ 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 的不动点
取 ，
这时它与精确解的距离 。
2.为求方程 在 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
1） ，迭代公式 ；
2） ，迭代公式 ；
3） ，迭代公式 ；
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。
[解]1）设 ，则 ，从而 ，所以迭代方法局部收敛。
2）设 ，则 ，从而
（9）不动点迭代法 ，其中 ，若 则对任意处置x0迭代都收敛。（对）
（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）
习题
1、用二分法求方程 的正根，要求误差 。
[解]令 ，则 ， ，所以有根区间为 ；
又因为 ，所以有根区间为 ；
，所以有根区间为 ；
，所以有根区间为 ；
，所以有根区间为 ；
，所以有根区间为 ；
抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618，小于牛顿法2
可用于所想是的实根和复根的求解。
9.什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方法。
10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当）
11.判断下列命题是否正确：
令
14.应用牛顿法于方程 和 ，分别导出求 的迭代公式，并求 。
的迭代公式：
的迭代公式
15.证明迭代公式 是计算 的三阶方法。假定初值 充分靠近 ，求 。
解：
16.用抛物线法求多项式 的两个零点，再利用降阶求出全部零点。
17.非线性方程组 在 附近有一个解，构造一个不动点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到 （按 ）。
（3）抛物线法，取
[解]1） ， ，
， ，迭代停止。
2） ， ， ，
，迭代停止。
3） ，其中
， ，故
， ， ， ，
，
， ，
，下略。
8.分别用二分法和牛顿法求 的最小正根。
解：0是函数的一个根，0～ 时，x单调递增，tanx单调递减，趋于负无穷。在此区间内，函数没有根。所以，最小正根大于 .
当x接近且大于 时，函数值为正，当x接近且大于 时，函数值为负。因此，最小正根区间为（ , ）,选择x1=2,函数值为-0.185<0,选择x2=4.6，函数值为4.260>0
，所以迭代方法局部收敛。
3）设 ，则 ，从而 ，所以迭代方法发散。
4）设 ，则 ，从而
，所以迭代方法发散。
3.比较求 的根到三位小数所需的计算量：
1）在区间 内用二分法； 2）用迭代法 ，取初值 。
[解]1）使用二分法，令 ，则
， ，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
从而 ，共二分10次。
2）使用迭代法 ，则 ， ，
， ，
即 ，共迭代4次。
4.给定函数 ，设对一切x， 存在且 ，证明对于范围 内的任意定数 ，迭代过程 均收敛于 的根 。
[证明]由 可知，令 ，则 ，又因为 ， ，所以 ，即 ，从而迭代格式收敛。
18.用牛顿法解方程组 取 。
假定 在区间（x，y）上连续，
先找到a、b属于区间（x，y），使 ，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求 ,现在假设
1果 ，该点就是零点，如果 ,则在区间 内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。
2如果 ，则在区间 内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。
3这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
则称该迭代过程是p阶收敛的，特别点，当p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6.什么是求解 的牛顿法？它是否总是收敛的？若 ， 是单根， 是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法：
当 时收敛。
7.什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
按二分法计算，略， 。
按牛顿迭代法，其迭代公式为
，取初始值x=4.6，得
9. 研究求 的牛顿公式 ，证明对一切 ， 且序列 是递减的。
证：
显然， ，又因为 ，所以 ，又 ，所以序列是递减的。
10. 对于 的牛顿公式 ，证明
收敛到 ，这里 为 的根。
证：
11.用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14）计算方程 的一个近似根，准确到 ，初始值 。
李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(20130824)
第7章
复习与思考题
1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？
P213，若 且 ，根据连续函数性质可知 在 内至少有一个实根，这时称 为 的有根区间。
2.什么是二分法？用二分法求 的根， 要满足什么条件？
P213
一般地，对于函数 如果存在实数c,当x=c时，若 ,那么把x=c叫做函数 的零点。解方程即要求 的所有零点。
5.用斯特芬森迭代法计算第2题中（2）和（3）的近似根，精确到 。
斯特芬森迭代法是一种加速的方法。是埃特金加速方法与不动点迭代结合。
6.设 ，试确定函数 和 ，使求解 且以 为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。
7. 用下列方法求 在 附近的根。根的准确值 ，要求计算结果准确到四位有效数字。
（1）牛顿法
（2）弦截法，取
P215
求 的零点就等价于求 的不动点，选择一个初始近似值 ，将它代入 的右端，可求得
，如此反复迭代有
，
称为迭代函数，如果对任何 ，由 得到的序列
有极限
，则称迭代方程收敛，且 为 的不动点，故称 为不动点迭代法。
5.什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 的收敛阶
P219
设迭代过程 收敛于 的根 ，如果当 时，迭代误差 满足渐近关系式
牛顿法（4.13），m=2。
需要计算到 ，取 。
求重根迭代法（4.14）
需要计算到 ，取 。 。
注：matlab编程计算得出的结果。
12.应用牛顿法于方程 ，导出求立方根 的迭代公式，并讨论其收敛性。
当 时， ，说明迭代数列递增。
当 时， ，说明迭代数列递减。
因此，迭代公式 是收敛的。
13.应用牛顿法于方程 ，导出求 的迭代公式，并求 的值。
在牛顿法的基础上使用2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。
收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2
计算量弦截法<牛顿法（减少了倒数的计算量）
8.什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？
P229
设已知方程 的三个近似根， ，以这三点为节点构造二次插值多项式p（x），并适当选取p2（x）的一个零点 作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。
（2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）
（3）不动点迭代法总是线性收敛的法（正确）
（5）求多项式 的零点问题一定是病态的问题（错误）
（7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）
（8）牛顿法有可能不收敛（正确）
4从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。
3.什么是函数 的不动点？如何确定 使它的不动点等价于 的零点
P215.
将方程 改写成等价的形式 ，若要求 满足 ，则 ；反之亦然，称 为函数 的一个不动点。
4.什么是不动点迭代法？ 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 的不动点
取 ，
这时它与精确解的距离 。
2.为求方程 在 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
1） ，迭代公式 ；
2） ，迭代公式 ；
3） ，迭代公式 ；
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。
[解]1）设 ，则 ，从而 ，所以迭代方法局部收敛。
2）设 ，则 ，从而
（9）不动点迭代法 ，其中 ，若 则对任意处置x0迭代都收敛。（对）
（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）
习题
1、用二分法求方程 的正根，要求误差 。
[解]令 ，则 ， ，所以有根区间为 ；
又因为 ，所以有根区间为 ；
，所以有根区间为 ；
，所以有根区间为 ；
，所以有根区间为 ；
，所以有根区间为 ；
抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618，小于牛顿法2
可用于所想是的实根和复根的求解。
9.什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方法。
10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当）
11.判断下列命题是否正确：
令
14.应用牛顿法于方程 和 ，分别导出求 的迭代公式，并求 。
的迭代公式：
的迭代公式
15.证明迭代公式 是计算 的三阶方法。假定初值 充分靠近 ，求 。
解：
16.用抛物线法求多项式 的两个零点，再利用降阶求出全部零点。
17.非线性方程组 在 附近有一个解，构造一个不动点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到 （按 ）。
（3）抛物线法，取
[解]1） ， ，
， ，迭代停止。
2） ， ， ，
，迭代停止。
3） ，其中
， ，故
， ， ， ，
，
， ，
，下略。
8.分别用二分法和牛顿法求 的最小正根。
解：0是函数的一个根，0～ 时，x单调递增，tanx单调递减，趋于负无穷。在此区间内，函数没有根。所以，最小正根大于 .
当x接近且大于 时，函数值为正，当x接近且大于 时，函数值为负。因此，最小正根区间为（ , ）,选择x1=2,函数值为-0.185<0,选择x2=4.6，函数值为4.260>0
，所以迭代方法局部收敛。
3）设 ，则 ，从而 ，所以迭代方法发散。
4）设 ，则 ，从而
，所以迭代方法发散。
3.比较求 的根到三位小数所需的计算量：
1）在区间 内用二分法； 2）用迭代法 ，取初值 。
[解]1）使用二分法，令 ，则
， ，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
，有根区间为 ；
从而 ，共二分10次。
2）使用迭代法 ，则 ， ，
， ，
即 ，共迭代4次。
4.给定函数 ，设对一切x， 存在且 ，证明对于范围 内的任意定数 ，迭代过程 均收敛于 的根 。
[证明]由 可知，令 ，则 ，又因为 ， ，所以 ，即 ，从而迭代格式收敛。
18.用牛顿法解方程组 取 。
假定 在区间（x，y）上连续，
先找到a、b属于区间（x，y），使 ，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求 ,现在假设
1果 ，该点就是零点，如果 ,则在区间 内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。
2如果 ，则在区间 内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。
3这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
则称该迭代过程是p阶收敛的，特别点，当p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6.什么是求解 的牛顿法？它是否总是收敛的？若 ， 是单根， 是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法：
当 时收敛。
7.什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
按二分法计算，略， 。
按牛顿迭代法，其迭代公式为
，取初始值x=4.6，得
9. 研究求 的牛顿公式 ，证明对一切 ， 且序列 是递减的。
证：
显然， ，又因为 ，所以 ，又 ，所以序列是递减的。
10. 对于 的牛顿公式 ，证明
收敛到 ，这里 为 的根。
证：
11.用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14）计算方程 的一个近似根，准确到 ，初始值 。
李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(20130824)
第7章
复习与思考题
1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？
P213，若 且 ，根据连续函数性质可知 在 内至少有一个实根，这时称 为 的有根区间。
2.什么是二分法？用二分法求 的根， 要满足什么条件？
P213
一般地，对于函数 如果存在实数c,当x=c时，若 ,那么把x=c叫做函数 的零点。解方程即要求 的所有零点。
5.用斯特芬森迭代法计算第2题中（2）和（3）的近似根，精确到 。
斯特芬森迭代法是一种加速的方法。是埃特金加速方法与不动点迭代结合。
6.设 ，试确定函数 和 ，使求解 且以 为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。
7. 用下列方法求 在 附近的根。根的准确值 ，要求计算结果准确到四位有效数字。
（1）牛顿法
（2）弦截法，取
P215
求 的零点就等价于求 的不动点，选择一个初始近似值 ，将它代入 的右端，可求得
，如此反复迭代有
，
称为迭代函数，如果对任何 ，由 得到的序列
有极限
，则称迭代方程收敛，且 为 的不动点，故称 为不动点迭代法。
5.什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 的收敛阶
P219
设迭代过程 收敛于 的根 ，如果当 时，迭代误差 满足渐近关系式
牛顿法（4.13），m=2。
需要计算到 ，取 。
求重根迭代法（4.14）
需要计算到 ，取 。 。
注：matlab编程计算得出的结果。
12.应用牛顿法于方程 ，导出求立方根 的迭代公式，并讨论其收敛性。
当 时， ，说明迭代数列递增。
当 时， ，说明迭代数列递减。
因此，迭代公式 是收敛的。
13.应用牛顿法于方程 ，导出求 的迭代公式，并求 的值。
在牛顿法的基础上使用2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。
收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2
计算量弦截法<牛顿法（减少了倒数的计算量）
8.什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？
P229
设已知方程 的三个近似根， ，以这三点为节点构造二次插值多项式p（x），并适当选取p2（x）的一个零点 作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。