黑龙江省大庆市17年高考数学仿真试卷理(含解析)

2017年黑龙江省大庆市高考数学仿真试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合A={x|1≤3x ≤81}，B={x|log 2（x 2﹣x ）＞1}，则A ∩B=（ ）
A ．（2，4]
B ．[2，4]
C ．（﹣∞，0）∪[0，4]
D ．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]
2．已知复数z 1=2+6i ，z 2=﹣2i ，若z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则|z|=（ ）
A ．
B ．5
C ．2
D ．2
3．命题∀m ∈[0，1]，则的否定形式是（ ）
A ．∀m ∈[0，1]，则
B ．∃m ∈[0，1]，则
C ．∃m ∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），则
D ．∃m ∈[0，1]，则
4．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 6=（ ）
A ．2
B ．0
C ．﹣2
D ．﹣4
5．二项式（x+1）n （n ∈N *）的展开式中x 2项的系数为15，则n=（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述不正确的是（ ）
A ．这12天中有6天空气质量为“优良”
B ．这12天中空气质量最好的是4月9日
C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90
D ．从4日到9日，空气质量越来越好
7．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，
若输入的a i（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）
A．B．C． D．
9．设点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A．（2，5）B．[2，5）C．（2，5] D．[2，5]
10．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）
A．B．C．D．
11．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）
A．（6，10） B．（8，12） C．[6，8] D．[8，12]
12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n 满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数f（x）=x2+x﹣b+（a，b为正实数）只有一个零点，则+的最小值为．
14．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为．
15．把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为．
16．已知函数，点O为坐标原点，点，向量=（0，1），
θn是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t的取值范围为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
．
（1）求角C；
（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．
18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（1）根据已知条件完成上面的2×2列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3
次，记被抽取的
3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 分布列，期望E （X ）和方差D （X ）．
19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA ⊥PD ，Q 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：CQ ∥平面PAB ；
（Ⅱ）求直线PD 与平面AQC 所成角的正弦值．
20．已知F1，F2分别是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左，右焦点，D，E分别是椭圆C
的上顶点和右顶点，且S=，离心率e=
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的最小值．
21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，其中e是自然对数的底数．
（1）判断函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；
（2）∀x1∈[0，]，∃x2∈[0，]，使得f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；
（3）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l
的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1．
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，点P（2，0），求|PA|+|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若∃x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m，求实数m的取值范围．
2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学仿真试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）
A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】求出集合，利用集合的基本运算进行求解．
【解答】解：A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4}，
B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x＞2}={x|x＞2或x＜﹣1}，
则A∩B={x|2＜x≤4}，
故选：A
2．已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）
A．B．5 C．2 D．2
【考点】A8：复数求模．
【分析】复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），利用中点坐标公式可得：线段AB的中点C（1，2）．进而得出．
【解答】解：复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），
线段AB的中点C（1，2）对应的复数为z=1+2i，则|z|==．
故选：A．
3．命题∀m∈[0，1]，则的否定形式是（）
A．∀m∈[0，1]，则B．∃m∈[0，1]，则
C．∃m∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），则D．∃m∈[0，1]，则
【考点】2J：命题的否定．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题∀m∈[0，1]，则的
否定形式是：∃m∈[0，1]，则
故选：D．
4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a6=（）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4
【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．
【分析】运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由等差数列的通项公式即可得到所求值．
【解答】解：a1，a3，a4成等比数列，
可得a32=a1a4，
可得（a1+2d）2=a1（a1+3d），
由等差数列{a n}的公差为d=2，
即有（a1+4）2=a1（a1+6），
解得a1=﹣8，
则a6=a1+5d=﹣8+10=2．
故选：A．
5．二项式（x+1）n（n∈N*）的展开式中x2项的系数为15，则n=（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程求出n的值．
【解答】解：二项式（x+1）n（n∈N*）的展开式中x2项的系数为15，
∴=15，
即=15，
解得n=6或n=﹣5（不合题意，舍去），
∴n的值是6．
故选：C．
6．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）
A．这12天中有6天空气质量为“优良”
B．这12天中空气质量最好的是4月9日
C．这12天的AQI指数值的中位数是90
D．从4日到9日，空气质量越来越好
【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线．
【分析】对4个选项分别进行判断，可得结论．
【解答】解：这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故正确；
这12天的AQI指数值的中位数是=90，故正确；
从4日到9日，空气质量越来越好，不正确，4月9日，AQI指数值为135，
故选D．
7．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】EF：程序框图．
【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是成绩大于等于110的人数，由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，从而得解．
【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，
所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，
因此输出结果为9．
故选：D．
8．已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）
A．B．C． D．
【考点】CF：几何概型．
【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积，代入几何概率的计算公式可求．
【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，
根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，
由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=，故选：D．
9．设点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A．（2，5）B．[2，5）C．（2，5] D．[2，5]
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．则，表示直线的斜
率，再将点P移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到的取值范围．
【解答】解：设直线y+x=6与直线x=1交于点A，直线2x=y与直线x=1交于点B，
可得A（1，5），B（1，2），
不等式组表示的平面区域如图：
则的几何意义是可行域内的P（x，y）与坐标原点连线的斜率，
由可行域可得k的最大值为：k OA=5，k的最小值k OB=2．
因此，的取值范围为[2，5]
故选：D．
10．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）
A．B．C．D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，三棱锥的高是2，利用等积法得到关于r的等式，求得r．
【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，
三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，如图
各侧面面积分别为=2，2，以及，，三棱锥的高是2，
设内切球半径为r，则，解得r=；
故选C．
11．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）
A．（6，10） B．（8，12） C．[6，8] D．[8，12]
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线定义可得|AF|=x A+2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．
【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），
由抛物线定义可得|AF|=x A+2，
圆（x﹣2）2+y2=16的圆心为（2，0），半径为4，
∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，
由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16可得交点的横坐标为2，
∴x B∈（2，6）
∴6+x B∈（8，12）
故选B．
12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n 满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】3T：函数的值．
【分析】由题意函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，由此能求出x1+x2+…+x n的值．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，
结合图象知：x1、x2、…x n满足==…==，
∴函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，
除去点（2，0），
故有x1+x2+…+x n=x1+x2+x3+x4=8．
故选：C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数f（x）=x2+x﹣b+（a，b为正实数）只有一个零点，则+的最小值为
9+4．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】由题意可得a+4b=1，可得+=（+）（a+4b）=9++，由基本不等式可得．
【解答】解：∵函数f（x）=x2+x﹣b+只有一个零点，
∴△=a﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1，
∵a，b为正实数，
∴+=（+）（a+4b）=9++
≥9+2=9+4
当且仅当=，即a=b时取等号，
∴+的最小值为：9+4
故答案为：9+4
14．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，
|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】设双曲线方程，由题意可得丨AB丨==2×2a，求得b2=2a2，根据双曲线的离心率公式e==，即可求得C的离心率．
【解答】解：设双曲线方程：（a＞0，b＞0），
由题意可知，将x=c代入，解得：y=±，
则丨AB丨=，
由丨AB丨=2×2a，
则b2=2a2，
∴双曲线离心率e===，
故答案为：．
15．把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为16 ．
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，用间接法分析：先计算将5人分配到2个班级的情况数目，再分析其中甲班全部为男生的情况数目，用“将5人分配到2个班级”的情况数目减去“甲班没有女生即全部为男生”的情况数目，即可得答案．
【解答】解：根据题意，先将5人分配到2个班级，
需要先把5人分成两组，有C52=10种分组方法，再把分好的2组对应2个班级，有A22=2种情况，
则将5人分配到2个班级，有10×2=20种分配方法；
其中甲班没有女生即全部为男生的情况有2种：
甲班只有3名男生，则有C33=1种情况，
甲班只有2名男生，则有C32=3种情况，
则甲班没有女生的即全部为男生的情况有1+3=4种，
则甲班至少分配1名女生的分配方案有20﹣4=16种；
故答案为：16．
16．已知函数，点O为坐标原点，点，向量=（0，1），
θn是向量与的夹角，则使得恒成立
的实数t的取值范围为t≥．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意得，﹣θn是直线OA n的倾斜角，化简=…==（﹣）；
计算+++…+＜，从而求出t的取值范围．
【解答】解：根据题意得，﹣θn是直线OA n的倾斜角，
∴=
=tan（﹣θn）
=
=
=（﹣）；
∴+++…+
=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=（1+﹣﹣）
=﹣
＜；
要使恒成立，
则实 数t 的取值范围是t ≥．
故答案为：t ≥．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△
ABC
中，角
A ，
B ，
C 所对的边分别为
．
（1）求角C ；
（2）若△ABC 的中线CD 的长为1，求△ABC 的面积的最大值． 【考点】HR ：余弦定理；HP ：正弦定理．
【分析】（1）由已知及正弦定理可得：
=
sinC ，由余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanC 的值，结合范围C ∈（0，π），可得C 的值．
（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）=4+c 2，由三角形余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣ab ，消去c 2
，结合基本不等式可求ab ≤，利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）∵由已知及正弦定理可得： =
sinC ，
∴由余弦定理可得：，
即
，
∴由C ∈（0，π），可得
．
（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）=22+c 2=4+c 2，
由三角形余弦定理得：c 2=a 2+b 2
﹣ab ， 消去c 2得：（当且仅当a=b 时，等号成立）， 即．
18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于
40
分钟的观众称为“体育迷”．
（1）根据已知条件完成上面的2×2列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 分布列，期望E （X ）和方差D （X ）．
【考点】BO ：独立性检验的应用．
【分析】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K 2，与3.841比较即可得出结论；
（2）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是为．由于
X～B（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得=．因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽
取一名“体育迷”的概率为．
由题意X～B（3，），从而X的分布列为
，D（X）=np（1﹣p）=．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥
BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA⊥PD，Q为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．
【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（I）取PA的中点N，连接QN，BN，则可证四边形BCQN为平行四边形，得出CQ∥BN，于是CQ∥平面PAB；
（II）取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO，则可证OB⊥AD，PO⊥平面
ABCD，以O为原点建立坐标系，求出和平面ACQ的法向量的坐标，则|cos＜＞|即为直线PD与平面AQC所成角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点N，连接QN，BN．
∵Q，N是PD，PA的中点，
∴QN∥AD，且QN=AD．
∵PA=2，PD=2，PA⊥PD，
∴AD==4，
∴BC=AD．又BC∥AD，
∴QN∥BC，且QN=BC，
∴四边形BCQN为平行四边形，
∴BN∥CQ．又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB，
∴CQ∥平面PAB．
（Ⅱ）取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO
由（1）知PA=AM=PM=2，
∴△APM为等边三角形，
∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，3，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，），C（，2，0），Q（0，，）．
∴=（，3，0），=（0，3，﹣），=（0，，）．
设平面AQC的法向量为=（x，y，z），，
∴，令y=﹣得=（3，﹣，5）．
∴cos＜，＞===﹣．
∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为．
20．已知F1，F2分别是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左，右焦点，D，E分别是椭圆C
的上顶点和右顶点，且S=，离心率e=
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的最小值．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，三角形的面积，列出方程组，然后求椭圆C的方程；（Ⅱ）设出直线方程，联立直线与椭圆方程的方程组，利用韦达定理以及三角形的面积公式，结合函数的单调性求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得，故所求椭圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由（1）知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为x=ty+1，代入椭圆的方程，
整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵，|AF2|=，|BF2|=，
==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当且仅当t=0时上式取等号．∴的最小值为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，其中e是自然对数的底数．
（1）判断函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；
（2）∀x1∈[0，]，∃x2∈[0，]，使得f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；
（3）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理；63：导数的运算．
【分析】（1）利用导数得到函数y=f（x）在（0，）上单调递增，f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1；
（2）确定函数f（x）在[0，]上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在
[0，]上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；
（3）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x ＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）
与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．
【解答】解：（1）函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1，
理由如下：∵f（x）=e x sinx﹣cosx，
∴f′（x）=e x（sinx+cosx）+sinx，
∵x∈（0，），
∴f′（x）＞0，
∴函数y=f（x）在（0，）上单调递增，
∵f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，
根据函数零点存在性定理得函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1．
（2）∵f（x1）+g（x2）≥m，
∴f（x1）≥m﹣g（x2），
∴f（x1）min≥[m﹣g（x2）]min，
∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，
当x∈[0，]时，f′（x）＞0，函数f（x）在[0，]上单调递增，
∴f（x）min≥f（0）=﹣1，
∵g（x）=xcosx﹣e x，
∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣e x，
∵x∈[0，]，
∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， e x≥，
∴g′（x）≤0，
∴函数g（x）在[0，]上单调递减，
∴g（x）max≥g（0）=，
∴﹣1≥m+，
∴m≤﹣1﹣，
∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；
（3）x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，
只要证f（x）＞g（x），
只要证e x sinx﹣cosx＞xcosx﹣e x，
只要证e x（sinx+）＞（x+1）cosx，
由于sinx+＞0，x+1＞0，
只要证＞，
下面证明x＞﹣1时，不等式＞成立，
令h（x）=，x＞﹣1，
∴h′（x）=，x＞﹣1，
当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）min=h（0）=1
令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，
∴直线AB的方程为y=k（x+），
由于点A在圆x2+y2=1上，
∴直线AB与圆相交或相切，
当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，
∴当x=0时，k=＜1=h（0），x≠0时，h（x）＞1≥k，
综上所述，当x＞﹣1，f（x）﹣g（x）＞0．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l
的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1．
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，点P（2，0），求|PA|+|PB|的值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（I）曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，即ρ2sin2θ=ρcosθ，化为直角坐标方程：y2=x，通过变换可得曲线C1的方程．
（II）直线l的极坐标方程为，展开可得：ρ
（cosθ+sinθ）﹣2=0，利用互化公式可得直角坐标方程．可得参数方程：（t
为参数），代入曲线C1的直角坐标方程可得：t2+2t﹣4=0，利用|PA|+|PB|=|t1﹣
t2|=即可得出．
【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，即ρ2sin2θ=ρcosθ，化为直角坐标方程：y2=x．
将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1：y2=2（x﹣1）．
（II）直线l的极坐标方程为，展开可得：ρ（cosθ+sinθ）﹣2=0，可得直角坐标方程：x+y﹣2=0．
可得参数方程：（t为参数）．
代入曲线C1的直角坐标方程可得：t2+2t﹣4=0．
解得t1+t2=﹣2，t1•t2=﹣4．．
∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|===．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若∃x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m，求实数m的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，可得，即可求实数a的值；（Ⅱ）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若∃x0∈R，使得f（x0）+f （x0+5）﹣m2＜4m成立，只需4m+m2＞f min（x），解出实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣a|≤2，∴a﹣2≤x≤a+2，
∵f（x）≤2的解集为[0，4]，∴，∴a=2．
（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，
∵∃x0∈R，使得，
即成立，
∴4m+m2＞[f（x）+f（x+5）]min，即4m+m2＞5，解得m＜﹣5，或m＞1，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．。