新人教版九年级上册初中数学 24-2-1 点和圆的位置关系 教学课件
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3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
4.了解反证法的证明思想.
第二页，共三十页。
新课导入
知识回顾
圆的集合定义 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r
的点的集合．
第三页，共三十页。
新课导入
课时导入
问题： 观察下列图片.是一个小朋友玩飞镖游戏时在靶子上留下的小
孔，这些小孔和这些同心圆是什么关系呢？
新人教版九年级上册初中数学 24.2.1 点和圆的位置关系 教学课件
科 目：数学 适用版本：新人教版 适用范围：【教师教学】
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
第一页，共三十页。
学习目标
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系. （难点） 2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用. （重点）
第二十一页，共三十页。
新课讲解
反证法适用情形： ①命题的结论的表述为“肯定”或“否定”，且用直接 法证较困难；
②证明一个定理的逆命题，用直接法证较困难．使用反
证法的前提条件是“结论”的反面可列举出来．
第二十二页，共三十页。
新课讲解
练一练
• 用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角.
分析：由题目分析，“一定是锐角”的反面就是 “不是锐角”，即是直角或钝角，因此应分两种
第四页，共三十页。
新课讲解
知识点1 点和圆的位置关系
问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
....o.
.
B
.A
C
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内（如点B），点在圆上（如点C），点在圆外（如点A）.
第五页，共三十页。
新课讲解
问题2：如何用数量关系来表示点和圆的位置关系呢？
⑴点在圆内
·Pd r
O
能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A
之间的距离.
第十页，共三十页。
新课讲解
问题2 ：过两个点能不能确定一个圆?
如图，经过两个已知点A、B作圆.
解：如图所示.
A
· · r r r 2 1
O3 3 O1
O2
r4 r5
·· O4
B
能画出无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上。
第十一页，共三十页。
2
2
∵CD＜ 3 cm，∴点D在⊙C内;
由勾股定理得，AB=2 3cm，BC= 3cm. 3
∴点B在⊙C上；
30°
AC=3cm＞ 3cm，∴点A在⊙C外.
第九页，共三十页。
新课讲解
知识点2 确定圆的条件 问题1：平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？
●
● ● O ●O ●O O A
●
第七页，共三十页。
新课讲解
练一练
如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A= 30°
，AC=3cm.以C为圆心， 半径为
cm画⊙3 C，请指出点A、B、D与 ⊙C的位置关系.
3
30°
第八页，共三十页。
新课讲解
练一练
解：在Rt△ACD中，∠A=30°，
∴CD=
1
AC=
1×3=1.5(cm).
A
O
C B
第十五页，共三十页。
新课讲解
1. 外接圆与内接三角形 ⊙O叫做△ABC的外接圆， △ABC叫做⊙O的内接三角形.
2.三角形的外心
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
B
作图：三角形三边垂直平分线的交点.
性质：到三角形三个顶点的距离相等.
一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆.
A
A
A
●O
●O
┐
B
CB
C
锐角三角形的外心位于三角形内；
●O
B
C
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心位于三角形外.
第十八页，共三十页。
新课讲解
练一练
如图， ⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4.求AC的长.
第十九页，共三十页。
新课讲解
知识点4 反证法
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
新课讲解
问题3：经过不在同一条直线上的三点A、B、C能不能作圆？
如果能，如何确定所作的圆心？
作法：
1、连接AB、BC；
Байду номын сангаас
A
2、分别作AB、BC的垂直
r
平分线，两线交于O.
·o
∴点O就是所求的圆心.
B
C
结论 ：
不在同一直线上的三个点确定 一个圆.
第十二页，共三十页。
新课讲解
知识点
活学巧记 过一点可作无数 圆； 过两点可作圆无 数，
O
d<r
⑵点在圆上
· P
d
O
r
d=r
⑶点在圆外
r
d>r
·P d O
第六页，共三十页。
注：“ ”读作
“等价于”，它
表示从符号的左
边可以推出 ，
从右右边边可以推
出
.
左边
新课讲解
例 1 画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm并且小于或等 于3cm的点知组识成点的图形.
解：如图所示
2cm
O·
∴阴影部分就是所求图形.
情况讨论.
第二十三页，共三十页。
新课讲解
• 已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B,∠C一定是锐角.
证明：假设∠B,∠C不是锐角，则∠B,∠C是直角
或钝角.
圆心全在一直线；
过三点能作一个圆， 前提是三点不共线.
第十三页，共三十页。
新课讲解
练一练
如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的
任意3个点画圆，能画圆的个数是( )
C
A.1
B.2
C.3
D.4
第十四页，共三十页。
新课讲解
知识点3 三角形的外接圆
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C可以作一
P
个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的
垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，
l1
即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l 这与我们以前学
过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相
矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．
第十六页，共三十页。
A
●O
C
新课讲解
三角形外接圆的作法：
1.作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； 2.以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距离为半径 作圆即可.
第十七页，共三十页。
新课讲解
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，
观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
A
B
l2
l
C
第二十页，共三十页。
新课讲解
反证法的定义
先假设命题的结论不成立，然后经过推理得出矛盾(常与公理、 定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而 得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 反证法的一般步骤 ① 假设命题的结论不成立，
② 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾， ③ 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
4.了解反证法的证明思想.
第二页，共三十页。
新课导入
知识回顾
圆的集合定义 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r
的点的集合．
第三页，共三十页。
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课时导入
问题： 观察下列图片.是一个小朋友玩飞镖游戏时在靶子上留下的小
孔，这些小孔和这些同心圆是什么关系呢？
新人教版九年级上册初中数学 24.2.1 点和圆的位置关系 教学课件
科 目：数学 适用版本：新人教版 适用范围：【教师教学】
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
第一页，共三十页。
学习目标
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系. （难点） 2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用. （重点）
第二十一页，共三十页。
新课讲解
反证法适用情形： ①命题的结论的表述为“肯定”或“否定”，且用直接 法证较困难；
②证明一个定理的逆命题，用直接法证较困难．使用反
证法的前提条件是“结论”的反面可列举出来．
第二十二页，共三十页。
新课讲解
练一练
• 用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角.
分析：由题目分析，“一定是锐角”的反面就是 “不是锐角”，即是直角或钝角，因此应分两种
第四页，共三十页。
新课讲解
知识点1 点和圆的位置关系
问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
....o.
.
B
.A
C
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内（如点B），点在圆上（如点C），点在圆外（如点A）.
第五页，共三十页。
新课讲解
问题2：如何用数量关系来表示点和圆的位置关系呢？
⑴点在圆内
·Pd r
O
能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A
之间的距离.
第十页，共三十页。
新课讲解
问题2 ：过两个点能不能确定一个圆?
如图，经过两个已知点A、B作圆.
解：如图所示.
A
· · r r r 2 1
O3 3 O1
O2
r4 r5
·· O4
B
能画出无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上。
第十一页，共三十页。
2
2
∵CD＜ 3 cm，∴点D在⊙C内;
由勾股定理得，AB=2 3cm，BC= 3cm. 3
∴点B在⊙C上；
30°
AC=3cm＞ 3cm，∴点A在⊙C外.
第九页，共三十页。
新课讲解
知识点2 确定圆的条件 问题1：平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？
●
● ● O ●O ●O O A
●
第七页，共三十页。
新课讲解
练一练
如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A= 30°
，AC=3cm.以C为圆心， 半径为
cm画⊙3 C，请指出点A、B、D与 ⊙C的位置关系.
3
30°
第八页，共三十页。
新课讲解
练一练
解：在Rt△ACD中，∠A=30°，
∴CD=
1
AC=
1×3=1.5(cm).
A
O
C B
第十五页，共三十页。
新课讲解
1. 外接圆与内接三角形 ⊙O叫做△ABC的外接圆， △ABC叫做⊙O的内接三角形.
2.三角形的外心
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
B
作图：三角形三边垂直平分线的交点.
性质：到三角形三个顶点的距离相等.
一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆.
A
A
A
●O
●O
┐
B
CB
C
锐角三角形的外心位于三角形内；
●O
B
C
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心位于三角形外.
第十八页，共三十页。
新课讲解
练一练
如图， ⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4.求AC的长.
第十九页，共三十页。
新课讲解
知识点4 反证法
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
新课讲解
问题3：经过不在同一条直线上的三点A、B、C能不能作圆？
如果能，如何确定所作的圆心？
作法：
1、连接AB、BC；
Байду номын сангаас
A
2、分别作AB、BC的垂直
r
平分线，两线交于O.
·o
∴点O就是所求的圆心.
B
C
结论 ：
不在同一直线上的三个点确定 一个圆.
第十二页，共三十页。
新课讲解
知识点
活学巧记 过一点可作无数 圆； 过两点可作圆无 数，
O
d<r
⑵点在圆上
· P
d
O
r
d=r
⑶点在圆外
r
d>r
·P d O
第六页，共三十页。
注：“ ”读作
“等价于”，它
表示从符号的左
边可以推出 ，
从右右边边可以推
出
.
左边
新课讲解
例 1 画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm并且小于或等 于3cm的点知组识成点的图形.
解：如图所示
2cm
O·
∴阴影部分就是所求图形.
情况讨论.
第二十三页，共三十页。
新课讲解
• 已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B,∠C一定是锐角.
证明：假设∠B,∠C不是锐角，则∠B,∠C是直角
或钝角.
圆心全在一直线；
过三点能作一个圆， 前提是三点不共线.
第十三页，共三十页。
新课讲解
练一练
如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的
任意3个点画圆，能画圆的个数是( )
C
A.1
B.2
C.3
D.4
第十四页，共三十页。
新课讲解
知识点3 三角形的外接圆
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C可以作一
P
个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的
垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，
l1
即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l 这与我们以前学
过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相
矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．
第十六页，共三十页。
A
●O
C
新课讲解
三角形外接圆的作法：
1.作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； 2.以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距离为半径 作圆即可.
第十七页，共三十页。
新课讲解
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，
观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
A
B
l2
l
C
第二十页，共三十页。
新课讲解
反证法的定义
先假设命题的结论不成立，然后经过推理得出矛盾(常与公理、 定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而 得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 反证法的一般步骤 ① 假设命题的结论不成立，
② 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾， ③ 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.