37105_安徽省蚌埠二中2011届高三模拟测试最后一卷(数学文)

蚌埠二中2011届高三年级模拟测试最后一卷
数学试题（文）
考试时间：120分钟试卷分值：150分
注意：本试卷共分Ⅰ、Ⅱ两卷，所有答案必须写在答题卷及答题卡的相应位置上，答写在试卷上不予记分。

第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1．集合{(,)|}A x y y a ==，集合{(,)|1,0,1|}x
B x y y b b b ==+>≠，若集合A
B =∅，
则实数a 的取值范围是 A ．(],1-∞ B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．R
2.复数Z 在映射
f 下的象为Z i )1(+,则12i -+的原象为
A ．132i +- B.132i +C ．132i -- D.132
i -3.右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2
和4,,则该几何体的体积是
A.28π
B.π3
28 C.73πD.7π 4.下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是
Ａ
．
1
1
2
1
32y x y
x y x y
x -=
==
=①,②,③,④Ｂ．1
3
2
12y x y x y x y
x -===
=①,②,③,④
Ｃ．1
2
3
1
2y x y x y x y
x -====①,②,③,④Ｄ．1
1
2132y x y
x y
x y x -=
=
==①,②,③,④
5.下列命题中是假命题的是
A.⎪⎭⎫
⎝⎛∈∀2,
0πx ,x x sin >B ．0x R ∃∈,0lg 0=x C ．x R ∀∈,03>x
D ．0x R ∃∈,2cos sin 00=+x x
6．已知A 、B 、C 是圆22:1O x y +=和三点，OA OB OC +=，AB OA ⋅=
A ．
32
B ．
C ．32
-
D ．
12
7.设奇函数()f x 的定义域为Ｒ，最小正周期3T =，若23
(1)1,(2)1
a f f a -≥=
+，则a 的取值范围是
A ．213a a <-≥或
B ．1a <-
C ．213a -<≤
D ．23
a ≤ 8．已知A 、B 为抛物线x y C 4:2
=上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若,4-=则直
线AB 的斜率为
A ．32±
B ．2
3±
C ．4
3±
D ．3
4±
A B
C
D
D
B
A F E
D B
A
9.要测量顶部不能到达的电视塔AB 的高度,在C 点测得塔顶A 的仰角是45°,在D 点测得塔顶A 的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD =120°,CD =40m,则电视塔的高度
为
A ．102m
B ．20m
C ．203m
D ．40m
10.已知函数)(sin cos )(R x x x x f ∈=，给出下列四个命题： ①若;),()(2121x x x f x f -=-=则②)(x f 的最小正周期是π2； ③)(x f 在区间4
,4[π
π-
上是增函数；④)(x f 的图象关于直线4
3π
=
x 对称； ⑤当⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时，)(x f 的值域为.43,43⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-其中正确的命题为
A ．①②④
B ．③④⑤
C ．②③
D ．③④
第II 卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.若双曲线2
2
1x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是
12．若变量x 、y 满足20
40x y x y y a ++≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，若2x y -的最大值为1-，
则a =
13.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1各顶点在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°则球的表面积为___________.
14.给出下面的程序框图，则输出的结果为_________. 15.若任意,x A ∈则
1
,A x
∈就称A 是“和谐”集合。

则在集合11
{1,0,,,1,2,3,4}32
M =-的所有非空子集中，“和谐”集合的概率是.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）
已知向量(
)(1,cos ,sin m x n x ωω==()0ω>，函数()f x m n =⋅，且()f x 图象上一
个最高点的坐标为,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
，与之相邻的一个最低点的坐标为7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；
（2）在△ABC 中，,,a b c 是角A 、B 、C 所对的边，且满足222a c b ac +-=，求角B 的大 小以及()f A 的取值范围.
17．（本小题满分12分）
如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．
（Ⅰ）求证：DC ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）设CD a =，求三棱锥A －BFE 的体积． 18..（本小题满分13分）
x y （Ⅰ）求回归直线方程； （Ⅱ）试预测广告费支出
为10万元时，销售额多大？
（Ⅲ）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不
超过5的概率。

（参考数据：
5
21
145
i
i x
==∑5
21
13500
i
i y
==∑5
1
1380i i
i x y
==∑，
参考公式：回归直线方程bx a y +=，其中∑∑==--=
n
i i
n
i i
i x
n x
y
x n y
x b 1
2
21）
19.（本小题满分12分）
设函数3
21(),3
f x x ax ax =
--2()24g x x x c =++. (1)试问函数f (x )能否在x=1-时取得极值？说明理由；
(2)若a =1-，当x ∈［3-,4］时，函数f (x )与g (x )的图像有两个公共点，求c 的取值范围. 20.（本小题满分13分）
已知等差数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
满足131,6a a ==，
若对任意的*
n N ∈，数列{}n b 满足11,2,n n n b a b ++依次成等比数列，且1b =4.
(Ⅰ)求.n n a b ，
(Ⅱ)设2
12(1)(1)...(1),*n
n n S b b b n N =-+-++-∈，证明：对任意的*n N ∈，12
n n S b >
21.（本小题满分13分）
已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12
p
x =-
-(p 是正常数)的距离为1d ，到点(0)2
p F ，的距离为2d ，且12d d -=1． (1)求动点P 所在曲线C 的方程；
(2)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B ，分别过A 、B 点作直线1:2
p
l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，求证FM FN ⋅=0； (3)记1
FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN
S S ∆=
(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，22
13
S
S S λ
=
，求λ的值． 蚌埠二中2011届高三年级（文）最后一卷
数学答案
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11、13-12、1-13、20π14、6715、17
1 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
解：（1）()sin f x m n x x ωω=⋅=12(sin )2x x ωω=
2sin()3
x π
ω=+.--------------------------------------2分
()f x 图象上一个最高点的坐标为,2
12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，与之相邻的一个最低点的坐标为7,212π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
7212122T πππ∴
=-=，T π∴=，于是22T
π
ω==.---------------5分 所以
()2sin(2)3
f x x π
=+.---------------------------------6分
（2）222
a c
b a
c +-=，2221cos 22
a c
b B a
c +-∴=
=-----------------------------------7-分 又0B π<<，3B
π
∴=
.()2sin(2)3
f A A π
∴
=+--------------------------------------------8分
2033B A ππ=∴<<
.于是52333
A πππ
<+<， []sin(2)1,13
A π
∴+∈-.------------------------------------------------------------10分
所以[]()2,2f A ∈-.------------------------------------------------------------12分
17．（本题满分12分）
（Ⅰ）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠=∴45ADB ∠=,90ABD ∠= 即AB BD ⊥
在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD 平面BDC ＝BD ∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD ．
又90DCB ∠=，∴DC ⊥BC ,且AB BC B = ∴DC ⊥平面ABC ．
（Ⅱ）解：∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点 ∴EF //CD ，又由（Ⅰ）知，DC ⊥平面ABC ， ∴EF ⊥平面ABC ，
∴1
3
A BFE F AEB
AEB V V S FE --∆==⋅ 在图甲中，∵105ADC ∠=,∴60BDC ∠=,30DBC ∠=
由CD a =得2,BD a BC =,1122
EF CD a ==
∴211
222
ABC S AB BC a ∆=
⋅=⋅=
∴2AEB S ∆=
∴23
1132A BFE V a -=
⋅. 18．（本题满分13分） （Ⅰ）解：2+4+5+6+825=555x =
=，30+40+60+50+70250
=5055
y ==
又已知
5
21
145i
i x
==∑，5
1
1380i i i x y ==∑
于是可得：5
15
2
21
513805550
6.5145555
5i i
i i
i x y x y
b x
x
==--⨯⨯=
=
=-⨯⨯-∑∑，50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=
因此，所求回归直线方程为： 6.517.5y x =+
（Ⅱ）解:根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
6.510
y =⨯(万元)即这种产品的销售收入大约为82.5万元.
（Ⅲ）解： 基本事件：（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），（40，60），（40，50），
（40，70），
（60，50），（60，70），（50，70）共10个
两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5：（60，50）
所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为1911010
-= 19（本小题满分12分）
解：（1）由题意f ′(x )=x 2
-2ax -a ，
假设在x =-1时f (x )取得极值，则有f ′(-1)=1+2a -a =0,∴a =-1，
而此时,f ′(x )=x 2
+2x +1=(x +1)2≥0，函数f (x )在R 上为增函数，无极值. 这与f (x )在x =-1有极值矛盾，所以f (x )在x =-1处无极值. （2）设f (x )=g (x )，则有31x 3-x 2-3x -c =0，∴c =3
1x 3-x 2
-3x , 设F (x )=
3
1x 3-x 2-3x ,G (x )=c ，令F ′(x )=x 2
-2x -3=0,解得x 1=-1或x =3. 列表如下： ● x ● -3 ● (-3,-1) ● -1 ● (-1,3) ● 3 ● (3,4) ● 4 ● F ′(x ) ● ● + ● 0 ● - ● 0 ● + ● ● F (x )
● -9
● 增
●
35
● 减
● -9
● 增
● -
3
20 由此可知:F (x )在(-3,-1)、(3,4)上是增函数，在(-1,3)上是减函数. 当x =-1时，F (x )取得极大值5
(1)3
F -=；当x =3时，F (x )取得极小值 F (-3)=F (3)=-9，而20(4)3
F =-
. 如果函数f (x )与g (x )的图像有两个公共点，则函数F (x )与G (x )有两个公共点，
所以205
33
c -
<<或c =9- 20．（本小题满分13分）
解：
21.（本小题满分13分） 解 (1)设动点为()P x y ，，
依据题意，有|1|12p x +
+=，化简得22y px =． 因此，动点P 所在曲线C 的方程是：2
2y px =．……………4分 (2) 由题意可知，当过点F 的直线l 的斜率为0时，不合题意， 故可设直线l ：1x my =-，如图所示．
联立方程组222
y px
p
x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，可化为22
20y mpy p --=， 则点1122()()A x y B x y ，、，的坐标满足122
122y y mp
y y p
+=⎧⎨
=-⎩．
又1AM l ⊥、1BN l ⊥，可得点1()2
p M y -，、2()2p
N y -，．
于是，1()FM p y =-，，2()FN p y =-，，
因此21212()()0FM FN p y p y p y y ⋅=-⋅-=+=，，．9分
(3)依据(2)可算出2
1212()2x x m y y p m p p +=++=+，22
2
1212224
y y p x x p p =⋅=， 13112211()||()||2222p p S S x y x y =+⋅+221212[()]424p p p x x x x =⋅+++421
(1)4
p m =+， 22
2121(||)2
S y y p =-⋅221212[()4]4p y y y y =+-42(1)p m =+． 所以，22
13
4S S S λ==即为所求．13分。