基本不等式的应用

方法一 凑项法
例1 已知
5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。

【答案】max 1y =.
【解析】因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1
(42)45
x x --不是常数， 所以对42x -要进行拆、凑项，5
,5404
x x <∴->，
所以()()13234514554124=+-≤+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
-+--=-+
-=x x x x y ， 当且仅当1
5454x x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，
故当1x =时，max 1y =。

【变式演练1】设0a >，0b >，且21a b +=，则12a a a b
++的最小值为（ ） A ．4
B ．221+
C ．
143
D ．2
【答案】B 【详解】
因为21a b +=且0a >，0b >，则122221a a b a a b a
a a
b a a b a a b +++
=+=+++++22
1221a b a
a a b
+≥⋅+=++， 当且仅当2a b a +=时，等号成立，因此，12a a a b
++的最小值为221+. 故选：B.
【变式演练2】已知非负数,x y 满足1x y +=，则1912
x y +++的最小值是（ ） A ．3
B ．4
C ．10
D ．16
【答案】B
【分析】根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解. 【详解】由1x y +=，可得124x y +++=，19119()(12)12412
129(1)1(19)(1044124x y x y x y y x x y +=++++++++++=+++≥+=++
当且仅当(21)3y x +=+取等号，故选：B
【变式演练3】设0x y >>，则41
x x y x y
+++-的最小值为（ ） A
．B
．C ．4 D
【答案】A
【分析】原式可变形为()()41141122x x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤
++=+++-+⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦
，然后根据基本不等式即可求解
【详解】0x y >>，0x y ∴->，()()41141122x x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤
∴+
+=+++-+⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦
≥()()1411
,22x y x y x y x y
+=-=+-，
即x y =
=
A 【变式演练4】设0a b >>，则2
11
()
a a
b a a b +
+-的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】D 【分析】
变形为()()2
221111()a a ab ab ab a a b ab a ab +
+=-+++--，利用基本不等式求解.
【详解】 ()()
2221111()a a ab ab ab a a b ab a ab +
+=-+++--,
4≥,
当且仅当2
21a ab a ab -=-和
1ab ab =
，即a b ⎧=⎪⎨⎪⎩时取等号， 故选：D.
【变式演练5】设0a b >>，且2ab =，则2
1
()
a a a
b +
-的最小值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【详解】 解：0a b >>，且2ab =，则有2a ab >，即22a >
22222111
22224()22
a a a a a
b a a +
=+=-++≥+=---
当且仅当221,a -= 即a b ==时“等号”成立. 故选：D.
方法二 分离法
例2 求2710
(1)1x x y x x ++=
>-+的值域。

【解析】因为2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+， 所以()()1
4
15111072
2+++++=+++=x x x x x x y ，
所以()()()51
4
11415111072
2++++=+++++=+++=
x x x x x x x x y 当,即
时,4
21)591
y x x ≥+⨯
+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

【变式演练1】若实数x ，y 满足2x y >，且1xy =，则22
42x y x y
+-的最小值是_________.
【答案】4
将22
42x y x y
+-变形为4(2)2x y x y -+-，然后结合基本不等式即可求解．
【详解】
解：x ，y 满足2x y >，且1xy =， 则
2224(2)444
(2)2(2)42222x y x y xy x y x y x y x y x y x y
+-+==-+-⋅=----，当且仅当422x y x y -=-且
1 xy=
，即1
x=
y=时取等号，
此时
22
4
2
x y
x y
+
-
的最小值4．
故答案为：4．
三构造分母：待定系数
例1.已知正实数x，y满足434
x y
+=，则
11
2132
x y
+
++
的最小值为（）
A．
3
8
B．
1
2
C．
1
2
D．
1
2
【答案】A
【详解】
由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8.令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8.
所求
111111212
21
213288
a b a b
x y a b a b b a
+
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+=+⨯=⨯+++
⎪ ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
21
3
8
=
8
⎛⎫
≥⨯+
⎪
⎪
⎝
+
⎭
2a b
b a
=时取等号，所以答案为3
8
故选:A.
【变式演练1】知正实数x、y满足
11
1
32
x y x y
+=
++
，则x y
+的最小值为（）
A B C D
【答案】A
【详解】
设()()()()
3223
x y m x y n x y m n m n y
+=+++=+++，可得
21
31
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
5
2
5
m
n
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
所以，()()
()
22
11113
3223
532532
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y
+
⎡⎤
⎛⎫+
+=+++⋅+=++
⎡⎤⎢⎥
⎪
⎣⎦++++
⎝⎭⎣⎦
13
3
55
⎡+
≥+=
⎢
⎢⎣
.当且仅当)
32
x y x y
++时，等号成立，
因此，x y
+故选：A.
【变式演练2】已知0
a>，0
b>，21
a b
+=，则
11
343
a b a b
+
++
取到最小值为．
． 【解析】试题分析：令2(34)(3)(3)(43)a b a b a b a b λμλμλμ+=+++=+++，∴{3λ+μ=14λ+3μ=2⇒{λ=1
5
μ=
25 ∴
111112312(3)34()[(34)(3)][]3433435555343a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b
+++=+⋅+++=++++++++
3355+≥=，当且仅当212(3)34343a b a b a b a b a b
+=⎧⎪++⎨⋅⎪++⎩时，等号成立， 即
11
343a b a b
+++
．
【变式演练3】实数a ，b 满足0a >，0b >，4a b +=，则22
11
a b a b +++的最小值是（ ） A ．4 B ．6 C ．
32 D ．83
【答案】D 【分析】
令1a m +=，1b n +=，化简得到2222(1)(1)6
211a b m n a b m n mn
--+=+=+++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
令1a m +=，1b n +=，则1m ，1n >，且1a m =-，1b m =-，6m n +=，
所以22222
(1)(1)11668
4221132a b m n m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=+≥+=+++⎛⎫
⎪⎝⎭， 当且仅当3m n ==时取等号. 故选：D.
四 分离分子型(在分子中构造分母)
例1.若40x y >>，则4y x
x y y
+-的最小值为___________. 【答案】5
4
【详解】因为40x y >>，则40x y ->，
44411
444444444
y x y x y x y y y x y x y y x y y x y y x y y -+-+=+=+=++≥----1152244
=⨯+=，
当且仅当42x y y -=，即当34y x =时，等号成立， 因此，
4y x x y y +-的最小值为54.故答案为：5
4
. 【变式演练1】已知正实数,a b 满足22a b +=，则22
121
a b a b +++的最小值是（ ） A ．9
4
B ．73
C ．
174
D ．
133
【答案】A
【分析】根据已知等式把代数式22
121
a b a b +++进行变形为142(1)a b ++，再结合已知等式，利
用基本不等式进行求解即可.
【详解】
221212(1)2(1)212
22111
a b b b b a a b a b a b a b ++-+++=++=+++-+++，因为22a b +=， 所以22121214112(1)a b a b a b a b ++=+=++++，因为22a b +=，所以2(1)4a b ++=， 因此11411412(1)44[][2(1)][][5]42(1)42(1)42(1)
b a
a b a b a b a b +⨯⋅+
=⋅++⋅+=+++++，
因为,a b 是正实数，所以12(1)419
[5][542(1)44
b a a b +++≥+=+，（当且仅当
2(1)42(1)b a a b +=+时取等号，即1a b =+时取等号，即41
,33
a b ==时取等号），故选：A 【变式演练2】若,x y R +
∈，且21x y +=，则22
212
x y x y +++的最小值为_________ 【答案】1
6
【详解】令1,2m x n y =+=+，则1,2x m y n =-=-，则()21221x y m n +=-+-=，即26m n +=，
则
()()2
2
22122218
21012m n x y m n x y m n m n --+=+=+++-++()181184246m n m n m n ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭
12811174174666n m m n ⎛⎫⎛⎫=++-≥-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当28n m m n =，即612,55m n ==时等号成立，
故22212x y x y +++的最小值为16.故答案为：16
. 【变式演练3】若正实数x ，y 满足2x+y=2，则4x 2y+1+y 2
2x+2的最小值是_____． 【答案】
4
5
根据题意，若
2x
+y
=2
， 则
4x 2
y+1+y 2
2x+2=(2−y )2y+1+(2−2x )2
2(x+1)=
[(y+1)−3]2y+1+2[(x+1)−2]2
x+1
=
(y +)+9y+1+2(x +1)+16
2(x+1)
－14=9y+1+162(x+1)－9;由于2（x+1）+（y+1）=5, 则4x 2y+1+y 2
2x+2=[9y+1+162(x+1)](2x+2)+(y+1)
5
－9=15(16+9+
18(x+1)y+1
+
8(y+1)(x+1))－9≥1
5
(25+
2√
18(x+1)y+1
×
8(y+1)
(x+1)
)−9≥45；当且仅当y+1=2（x+1）=5
2时，等号成立，即最小值为4
5。

五 消元法
例1.已知正数a ，b 满足11
2a b +=，则
31
a b -+的最大值为______．
【详解】由112a b +=，得21a b a =-，由0,0a b >>，得1
2
a >，所以
3
33(21)
1
31
121
a a a a a
b a a --=-=
-+-+-
5115[()]33133a a =-+-≤-=-11313a a =--
，即a =时等号成立，、 所以
31a b -+
【变式演练1】已知1m ＞，0n ＞，且223m n m +=，则214m
m n
+-的最小值为（ ） A ．9
4
B ．92
C ．32
D ．2
【答案】A
【分析】由已知得2
230n m m =->，所以()
22114123m m n m m +=+---，记1,3a m b m =-=-，可得
291444m b a m n a b
+=++-，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为223m n m +=，所以223n m m =-，因为0n ＞，1m ＞
，所以2230n m m =->，
得13m <<，
所以()()
22221
14112323m m m n m m m m m +=+
=+-----，记1,3a m b m =-=-，所以
132a b m m +=-+-=，
所以
12
a b
+=，且0,0a b >>，所以()221219141232444m a b a b b a m n m m a b a b a b
+++=+=+=+=++---
99
44≥
+，当且仅当
4a b b a =即24,33b a ==等号成立，此时73m = ， 49
77929
n -=
=. 【变式演练2】若正数a ，b 满足2a b ab ++=，则31
11
a b +--的最小值是______，此时b =______.
【答案】2 2
解：2a b ab ++=，2b ab a ∴+=-，∴21b a b +=
-，因为0a >、0b >，所以
2
01
b b +>-，即1b > ∴3131311(1)2(1)2(2)(1)111
11111
b b b b b a b b b b b b +=+=+=-+-++---------- 即
31
211a b +--，当且仅当111
b b -=-，即2b =时取等号，故答案为：2；2． 【变式演练3】若正实数,x y 满足114x x y y ++=，则11
x x y
++的最小值为___________.
【答案】1
【详解】由114x x y y ++=且,0x y >知：(1)
41
x x y x +=-，∴
24155
1111(1)11111x x x x x x x y x x x x x -++==++-≥=+++++=++当且仅当5
11
x x +=
+时等号成立，即1x =时等号成立.故答案为：1 六 因式分解型
例1.非负实数,x y 满足2660xy x y ++-=，则2x y +的最小值为___________. 【答案】2
【详解】由题意，非负实数,x y 满足2660xy x y ++-=，可得(3)(21)9x y ++=,
又由2
2321(24)(3)(21)()24
x y x y x y +++++++≤=，当且仅当321x y +=+，即0,1x y ==时等号成立，
所以2
(24)94
x y ++≥，即2(24)36x y ++≥，所以246x y ++≥或246x y ++≤-，所以
22x y +≥，
即0,1x y ==时，2x y +的最小值为2.故答案为：2.
【变式演练1】已知,a b R +∈，且()(2)9a b a b a b ++++=，则34a b +的最小值等于_______．
【答案】1
【详解】,a b R +
∈，且
()()29a b a b a b ++++=，即有219a b a b （）（）+++= ， 即
222118
a b a b （）（）+++= ，可得
3412221a b a b a b ++=++++≥=（）（），
当且仅当2221a b a b +=++ 时，上式取得等号，即有34a b +的最小值为1.故答
案为：1
【变式演练2】已知0,0x y >>，且241x y xy ++=，则2x y +的最小值是___．
【答案】8
【解析】原式可变形为(4)(2)9x y ++=，两边同时乘以2，得(4)(24)18x y ++=，所以
238
2y ++=≤，即x+2y ≥8，当且仅当424(4)(24)18
x y x y +=+⎧⎨
++=⎩
时等号成立。

填8。

【变式演练3】已知a,b ∈R +，且(a +b)(a +2b)+a +b =9，则3a +4b 的最小值等于_______． 【答案】6√2−1
【详解】a,b ∈R +，且(a +b)(a +2b)+a +b =9，即有（a +b ）（a +2b +1）=9 ， 即（2a +2b ）（a +2b +1）=18 ，可得3a +4b +1=（2a +2b ）+（a +2b +1）≥
2√(2a +2b )(a +2b +1)=6√2 ，
当且仅当2a +2b =a +2b +1 时，上式取得等号，即有3a +4b 的最小值为6√2−1.
七 均值用两次
例1.,,a b c 是不同时为0的实数，则222
2ab bc
a b c +++的最大值为（ ）
A ．1
2 B ．14
C
．
2
D
【答案】A
【详解】因为a ，b 均为正实数，
则
2222222ab bc a c a c a b c b b ++==++++
1
2
==， 当且仅当22
2a c b b
+=，且a c =取等，即a b c ==取等号， 即则
2222ab bc a b c
+++的最大值为12，故选：A ． 【变式演练1】设正实数, x y 满足1
,12
x y >>，不等式
224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为 （ ）A ．8 B ．
16 C ．
D ．【详解】．A
设1,21y b x a -=-=，则()()()1
10,102
y b b x a a =+>=
+> 所以()()
2
2
22
111114121a b a b ab a b x y y x b a ++++++++=+≥
=--
()222228⎛=≥=⋅+= ⎝
当且仅当1a b ==即2,1x y ==时取等号所以22
4121
x y y x +--的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A
【变式演练2】已知0a >，
0b >22的最小值为___________.
【答案】2
【详解】因为0a >，0b >，所以22212,a b a +≥+≥，
22222
≥==，
当且仅当1,a b ==22
2.故答案为：2. 【变式演练3】已知正实数a ，b ，c 满足22243a b c +=，则
2c c a b
+的最小值为______.
【详解】因为222344c a b ab =+≥，即243
c ab ≥，所以
2c c a b +≥2a b =时取等号，所以
2c c a b +.．。