2023-2024学年安徽省级示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学试题

2023-2024学年安徽省级示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学试题
1.若集合，，则（）
A．B．C．D．
2.不等式的解集为（）
A．B．C．D．
3.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积”，如图所示，作“大斜”上的
高，则，现已知中，“小斜”，“中斜”，“大斜”，则“高”=（）
A．B．C．D．
4.设与是两个向量，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5.已知，，，则（）
A．B．C．D．
6.定义在上的满足对，关于的方程
有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．
7.设向量，，若，则
（）
A．B．C．D．
8.已知函数的反函数为，那么在上的
最大值与最小值之和为（）
A．4B．2C．1D．0
9.以下运算中正确的有（）
A．B．
C．D．
10.下面结论正确的有（）
A．若A，B为锐角三角形的两内角，则有
B．
C．，
D．，
11.若函数的部分图象如图所示，将的图象
向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则下列四个命题正确的是（）
A．函数的单调递增区间是，
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．若当时，，则
D．若在上恰有3个零点，则
12.已知实数x满足，则______.
13.在边长为2的正中，动点P在以C为圆心且与AB边相切的圆上，满足
.则的取值范围是______.
14.在四面体ABCD中，，面BCD，底面三角形BCD为直角三角形，
.若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，M，N分别是AB和BC的中点，过M、N两点作球O的截面，则面积的最小值为______.
15.某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题
答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为______.
16.如图所示，在单位圆中，，已知角的终边与单位圆交于点，
作，垂足为点M，作交角的终边于点T.
(1)请根据正弦的二倍角公式推导正弦的三倍角公式（仅用含
的式子表示）；
(2)请根据三角形面积公式及扇形面积公式证明
17.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知：，
(1)求b和角B；
(2)求的取值范围.
18.如图，在矩形OACB中，，，，，直线CF与DE
垂直，垂足为点P.
(1)求的值；
(2)若，将用基底线性表示，并求出的最大值.
19.如下左图，矩形ABCD中，，，.过顶点C作对角线BD的垂
线，交对角线BD于点O，交边AD于点，现将沿BD翻折，形成四面体PBCD，如下右图.
(1)求四面体PBCD外接球的体积；
(2)求证：面面；
(3)若点G为棱BC的中点，请判断在将沿BD翻折过程中，直线PG能否平行于面
OCQ.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由.
20.手机在我们的生活中扮演着越来越重要的角色，但过度使用手机会对我们的身心健康造
成诸多危害.一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩.为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下：
(1)请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数
（同组数据用区间的中点值代替）；
(2)请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率；
(3)现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽
取2人进行电话回访，若抽取的2人的年龄差大于10，则代表该机构宣传工作做得全面，获得好评.
方案一：从6人中按照不放回抽样抽取2人，获得好评的概率为；
方案二：从6人中按照有放回抽样抽取2人，获得好评的概率为；
假设获得好评的概率大的方案较好，请比较上述两种方案哪种更好，请说明理由.
21.已知函数.
(1)若，，设函数，请求出的值域并求证：
；
(2)若，，，记，且a，b，c是一个三角形的三条边
长，请写出方程的所有正整数解的集合；
(3)若a，b，c是一个等腰钝角三角形的三条边长且c为最长边，求证：在
时恒成立.。