2020-2021宁波市高中必修二数学下期末模拟试题及答案

2020-2021宁波市高中必修二数学下期末模拟试题及答案
一、选择题
1．已知向量()cos ,sin a θθ=v ，()
1,2b =v ，若a v 与b v 的夹角为6
π
，则a b +=v v （ ）
A ．2
B ．7
C ．2
D ．1
2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3
D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3
3．设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
4．已知集合{
}
22
(,)1A x y x y =+=，{}
(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5．
某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?
D ．k ＞7?
6．已知D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ，则
xy 的取值范围是( ) A ．14,99
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．11,94
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．21,92
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．21,94
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
7．已知不等式220ax bx ++>的解集为{}
12x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（ ） A ．112x x ⎧⎫-<<
⎨⎬⎩⎭
B ．112x x x ⎧⎫<->
⎨⎬⎩⎭
或 C ．{}
21x x -<<
D ．{}
21x x x <->或
8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
A ．2
B ．422+
C ．442+
D ．642+
9．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r ，则
下列结论正确的是（ ）
A ．1b =r
B ．a b ⊥r r
C ．1a b ⋅=r r
D ．()
4C a b +⊥B u u u r r
r
10．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +
2π
3
)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个
单位长度，得到曲线C 2
11．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o
，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( )
A ．4323⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，
B ．323⎡⎢⎣⎦，
C ．4323⎡⎢⎣⎭，
D ．32,3⎛ ⎝⎦
12．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]
0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、填空题
13．若,a b 是函数()()2
0,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.
15．已知a ∈R ，命题p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：x ∃∈R ，
2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是_____．
16．函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到． 17．若1tan 46
πα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭,则tan α=____________. 18．设12a =，121n n a a +=
+，2
1
n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．
19．已知函数()2,0
1,0
x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________．
20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．
三、解答题
21．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；
（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．
22．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==
，
2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．
23．已知函数()()2
21+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a 、b 的值； (2)设()()
2
g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．
24．已知平面向量()3,4a =v ，()9,b x =v ，()4,c y =v
，且//a b v v ，a c ⊥v v .
（1）求b v 和c v
；
（2）若2m a b =-v v v ，n a c =+v v v ，求向量m u v 与向量n v 的夹角的大小.
25．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知10
cos A =，2b =5c =
（1）求a ；
（2）求cos()B A -的值．
26．已知函数2
()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】
先计算a r 与b r
的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+r r r r 即可计算求值.
【详解】
因为()cos ,sin a θθ=r
，()
1,2b =r ，
所以||1a =r ，||3b =r
. 又222222()2||2||||cos ||6
a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+r r r r r r r r r r r r
3
12337=+⨯
+=， 所以7a b +=r r
，故选B.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.
2．D
解析：D 【解析】
试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第
天）人数的平均数
为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感
染人数总数为
，又由于方差大于，故这
天中不可能每天都是，可以有一天大于
，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.
考点：众数、中位数、平均数、方差
3．C
解析：C 【解析】
∵ 集合{}1
24A ，，=，{}
2
|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =
∴{}{}
{}2
2
|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C
4．B
解析：B 【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆
2
2
1x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
，则A B I 中有2个元
素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
5．A
解析：A 【解析】
试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行
213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.
考点：程序框图.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】
解：D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r
，可得
x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1
x y 2
==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下，
对称轴为：1x 2=
，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：2
9
．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦
故选D ． 【点睛】
本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
7．A
解析：A
【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得
,a b ；利用一元二次不等式的解法可求得结果.
【详解】
220ax bx ++>Q 的解集为{}12x x -<<
1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根，且0a <
1212122
b
a a
⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨
=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得：1
12x -<<，即不等式220x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
故选：A 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边
,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，
∴几何体的表面积1
2222262
S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】
本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
9．D
解析：D 【解析】
试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u r u u u r r Q r
r ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u r r ．
由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
o
r r r r r ．
()()
2422a b BC AB BC BC AB BC BC
∴+⋅=+⋅=⋅+u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2
12cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭
o u u u r u u u r ．()
4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．
考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．
10．D
解析：D 【解析】
把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π
6
）=sin （2x +
2π
3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π
π+
()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π
π+()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】
由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得2x <<故选A. 【点睛】
本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或
b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 12．C
解析：C 【解析】
【分析】
根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）
的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，20207312f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结
果. 【详解】
∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），
2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫
⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,故选C. 【点睛】
本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.
二、填空题
13．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=pab=q 再由ab ﹣2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab 的方程组求得ab 后得答案【详解】由题意可得：a+b=p
解析：9 【解析】 【分析】
由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】
由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，
又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②． 解①得：
；解②得：
．
∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9．
故答案为9．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】
解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为
，所以不可取，则-2只能作为首项或者末
项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．
14．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱
解析：92
π 【解析】
设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ， 外接球直径为344279233,πππ3382
R a V R ====⨯=. 【考点】 球
【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.
15．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命
解析：2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】
根据不等式恒成立化简命题p 为1a ≤，根据一元二次方程有解化简命题q 为2a ≤-或
1a ≥，再根据且命题的性质可得结果.
【详解】
若命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”为真； 则10a -≥， 解得：1a ≤，
若命题q ：“x ∃∈R ，2220x ax a ++-=”为真， 则()2
4420a a ∆=--≥，
解得：2a ≤-或1a ≥，
若命题“p q ∧”是真命题，则2a ≤-，或1a =，
故答案为2a ≤-或1a =
【点睛】
解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.
16．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出 解析：3π
【解析】
试题分析：因为sin 2sin()3y x x x π==-
，所以函数sin y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3
π个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式
【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
17．【解析】故答案为 解析：75
【解析】 1tan tan 17446tan tan 144511tan tan 644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝
⎭ 故答案为75
. 18．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则 解析：2n+1
【解析】 由条件得11111
2222222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++====---，且14b =，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+=⋅=．
19．-3【解析】【分析】先求再根据自变量范围分类讨论根据对应解析式列方
程解得结果【详解】当a>0时2a=-2解得a=-1不成立当a≤0时a+1=-2解得a=-3
【点睛】求某条件下自变量的值先假设所求的值
解析：-3
【解析】
【分析】
先求()f a ，再根据自变量范围分类讨论，根据对应解析式列方程解得结果.
【详解】
()()()102f a f f a +=⇒=-
当a>0时，2a=-2,解得a=-1，不成立
当a≤0时，a+1=-2,解得a=-3
【点睛】
求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 20．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图
【解析】
试题分析：该三棱锥底面是边长为2，有两个侧面是底边为2，高
为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为
．
考点：三视图．
三、解答题
21．（12）22
x (y 1)5++=．
【解析】
【分析】 ()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；
()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．
【详解】
解：()121l //l Q ，a 28a 211
+∴=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，
故直线1l 与2l
的距离d === ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，
所以切点A 的坐标为()2,2--，
从而直线AC 的方程为()1y 2x 22
+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-．
由()1知C e
所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．
22．（1）见解析（2
（3
【解析】
【分析】
（1）连接OC ，由BO ＝DO ，AB ＝AD ，知AO ⊥BD ，由BO ＝DO ，BC ＝CD ，知CO ⊥BD ．在△AOC
中，由题设知AO 1CO ==，AC ＝2，故AO 2+CO 2＝AC 2，由此能够证明AO ⊥平面BCD ；
（2）取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，故直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME
中，11EM AB OE DC 1222=
===，由此能求出异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦；
（3）设点E 到平面ACD 的距离为h ．在△ACD
中，CA CD 2AD ===
，
ACD 1S 2==V ，由AO ＝1
，知2CDE 1S 2242=⨯=V ，由此能求出点E 到平面ACD 的距离．
【详解】
（1）证明：连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ，
∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD ．
在△AOC
中，由题设知1AO CO ==，AC ＝2，
∴AO 2+CO 2＝AC 2，
∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ．
∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ，
∴AO ⊥平面BCD ．
（2）解：取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，
知ME ∥AB ，OE ∥DC ，
∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．
在△OME 中，121122EM AB OE DC ====，， ∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴1
12
OM AC ==， ∴1112242212cos OEM +
-∠==⨯⨯， ∴异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦为2 （3）解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．
E ACD A CDE V V --=Q ，
1133
ACD CDE h S AO S ∴=V V ．．．， 在△ACD 中，22CA CD AD ===
，，
∴21272422ACD S ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭
V ， ∵AO ＝1，21332242CDE S =
⨯⨯=V ， ∴3121277
CDE ACD AO S h S ⨯⋅===V V ， ∴点E 到平面ACD 的距离为
217．
【点睛】
本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．
23．（1）1,0a b ==；（2）4k <.
【解析】
【分析】
（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.
(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.
【详解】
解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，
()g x ∴在[]2,3上单调递增
()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩
. 解得1a =且0b =.
（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立
所以只需()min k f x <.
有（1）知()
221112224222
x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122
x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.
【点睛】
本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.
24．（1）()9,12b =v ，()4,3c =-v ；（2）34
π. 【解析】
【分析】 （1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b r r ，a c ⊥r r ，列方程
求出x 、y 的值，可得出向量b r 和c r 的坐标； （2）求出m u r 、n r 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m u r 与向量n r 夹角的余弦
值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.
【详解】
（1）()3,4a =r Q ，()9,b x =r ，()4,c y =r ，且//a b r r ，a c ⊥r r ，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩
，
解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =r ，()4,3c =-r ； （2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--u r r r Q ，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=r r r ，
则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-u r r ，
5m ∴==
u r
，n ==r
设m u r 与n r 的夹角为θ
，cos ,m n m n m n ⋅∴===⋅u r r u r r ，0θπ≤≤Q ，则34
πθ=. 因此，向量m u r 与向量n r 的夹角为34
π. 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
25．(1) 3a
=.
(2) cos()B A -=
. 【解析】
【分析】
分析：（1）在ABC ∆中，由余弦定理可得3a =．
（2）由
cosA =得
sinA =
sinB =cosB =，
故得()cos B A cosBcosA sinBsinA -=+=
【详解】
（1
）在ABC ∆中，由余弦定理得
222
22529a b c bccosA ⎛=+-=+-= ⎝⎭，∴3a =． （2
）在ABC ∆中，由cosA =得,2A ππ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭，
∴sinA ===，
在ABC ∆中，由正弦定理得a b sinA sinB =10
sinB =，∴sinB =， 又,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
∴5cosB ===，
∴()cos B A cosBcosA sinBsinA 10⎛-=+=
= ⎝⎭． 【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
26．（1）{|1x x -≤≤
；（2）[1,1]-． 【解析】
【详解】
试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．
试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2
1140x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；
当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；
当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤
.
所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -≤≤
. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.
所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.
又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤.
所以a 的取值范围为[]1,1-.
点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．。