2021年广东省广州市中考数学试卷(带答案解析)

绝密★启用前
2021年广东省广州市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：120分钟；命题人：xxx
题号一二三总分
得分
注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2、请将答案正确填写在答题卡上
评卷人得分
一、选择题（共10题）
1. 下列四个选项中，为负整数的是( )
A.0
B.−0.5
C.−√2
D.−2
2. 如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0，若AB=6，则点A表示的数为( )
A.−3
B.0
C.3
D.−6
3. 方程
1
x−3
=
2
x
的解为( )
A.x=−6
B.x=−2
C.x=2
D.x=6
4. 下列运算正确的是( )
A.|−(−2)|=−2
B.3+√3=3√3
C.(a2b3)2=a4b6
D.(a−2)2=a2−4
5. 下列命题中，为真命题的是( )
(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形
(2)对角线互相垂直的四边形是菱形
(3)对角线相等的平行四边形是菱形
(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形
A.(1)(2)
B.(1)(4)
C.(2)(4)
D.(3)(4)
6. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为( )
A.23
B.12
C.13
D.16
7. 一根钢管放在V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm ，若∠ACB =60°，则劣弧AB 的长是( )
A.8πcm
B.16πcm
C.32πcm
D.192πcm
8. 抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(−1,0)、(3,0)，且与y 轴交于点(0,−5)，则当x =2时，y 的值为( )
A.−5
B.−3
C.−1
D.5
9. 如图，在R t △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB 边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为( )
A.3
5 B.45 C.√55 D.2√55
10. 在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的点A 在函数y =1x (x >0)的图象上，点C 在函数
y =−4x (x <0)的图象上，若点B 的横坐标为−7
2，则点A 的坐标为( )
2
B.(√2
2,√2)
C.(2,12)
D.(√2,√2
2)
评卷人得分
二、填空题（共6题）
11. 代数式√x−6在实数范围内有意义时，x应满足的条件是______ .
12. 方程x2−4x=0的实数解是______ .
13. 如图，在R t△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点
D、E，连结BD.若CD=1，则AD的长为______ .
14. 一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函
数y=m
x上的两个点，若x1<x2<0，则y1______y2(填“<”或“>”或“=”).
15. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D//AC时，则∠BCD的度数为______ .
16. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE=3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H.并与⊙A交于点K，连结HG、CH.给出下列四个结论.其中正确的结论有______(填写所有正确结论的序号).
(1)H是FK的中点
(2)△HGD≌△HEC
(3)S△AHG：S△DHC=9：16
5
评卷人 得分
三、 解答题（共9题）
17. 解方程组{y =x −4
x +y =6
.
18. 如图，点E 、F 在线段BC 上，AB//CD ，∠A =∠D ，BE =CF ，证明：AE =DF.
19. 已知A =(m n −n m )⋅√
3mn m−n
.
(1)化简A ；
(2)若m +n −2√3=0，求A 的值.
20. 某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4 根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数 1 2 3 4 5 6 人数 1
2
a
6
b
2
(1)表格中的a =______ ，b =______ ；
(2)在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 ______ ，中位数为 ______ ； (3)若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数.
21. 民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东
技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次.
(1)若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是
“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
(2)“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师
傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
22. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，且AC=AD.
(1)尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF(保留作图痕迹，不写作
法)；
(2)在(1)所作的图中，若∠BAD=45°，且∠CAD=2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形.
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=1
2x+4分别与
x轴，y轴相交于A、B两点，
点P(x,y)为直线l在第二象限的点.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半
径.
24. 已知抛物线y=x2−(m+1)x+2m+3.
(1)当m=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上；
(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐
标；
(3)已知点E(−1,−1)、F(3,7)，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横
坐标的取值范围.
25. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF=AE，且CF、DE相交于点G.
(1)当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
(2)当CG=2时，求AE的长；
(3)当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度.
参考答案及解析
一、选择题
1. 【答案】D
【解析】解：A、0是整数，但0既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意；
B、−0.5是负分数，不是整数，故此选项不符合题意；
C、−√2是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意；
D、−2是负整数，故此选项符合题意．
故选：D.
根据整数的概念可以解答本题．
本题主要考查了实数的分类．明确大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数是解题的关键．
2. 【答案】A
【解析】解：∵a+b=0，
∴a=−b，即a与b互为相反数．
又∵AB=6，
∴b−a=6.
∴2b=6.
∴b=3.
∴a=−3，即点A表示的数为−3.
故选：A.
根据相反数的性质，由a+b=0，AB=6得a<0，b>0，b=−a，故AB=b+(−a)=6.
进而推断出a=−3.
本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．
3. 【答案】D
【解析】解：去分母，得x=2x−6，
∴x=6.
经检验，x=6是原方程的解．
故选：D.
求解分式方程，根据方程的解得结论．
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．
4. 【答案】C
【解析】解：A、|−(−2)|=2，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、3与√3不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、(a2b3)2=a4b6，原计算正确，故本选项符合题意；
D、(a−2)2=a2−4a+4，原计算错误，故本选项不符合题意．
故选：C.
根据绝对值的定义、二次根式的运算法则、幂的乘方和积的乘方的运算法则，完全平方公式等知识进行计算即可．
本题考查绝对值、二次根式、幂的乘方和积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
5. 【答案】B
【解析】解：(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意；
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
(3)对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；
(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，
真命题为(1)(4)，
故选：B.
利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大．
6. 【答案】B
【解析】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，
∴恰好抽到2名女学生的概率为6
12
=
1
2
，
故选：B.
画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7. 【答案】B
【解析】解：由题意得：CA和CB分别与⊙O分别相切于点A和点B，
∴OA⊥CA，OB⊥CB，∴∠OAC=∠OBC=90°，∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=120°，
∴120π×24
180=16π(cm)，
故选：B.
首先利用相切的定义得到∠OAC=∠OBC=90°，然后根据∠ACB=60°求得∠AOB= 120°，从而利用弧长公式求得答案即可．
考查了弧长公式和圆周角定理，解题时，熟记弧长公式和圆周角定理即可解答，属于基础题．
8. 【答案】A
【解析】解：如图
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，
∴可画出上图，
∵抛物线对称轴x=−1+3
2=1，
∴点(0,−5)的对称点是(2,−5)，
∴当x=2时，y的值为−5.
故选：A.
根据抛物线于x周两交点，及于y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y=−5.
本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键．
9. 【答案】C
【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=√AC2+BC2=√36+64=10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′=6，BC=B′C′=8，∠C=∠AC′B′=90°，∴BC′=4，
∴B′B=√C′B′2+B′C′2=√16+64=4√5，
∴sin∠BB′C′=BC′
BB′=
4
4√5
=√
5
5，
故选：C.
在R t△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC=AC′=6，BC=B′C′=8，∠C=∠AC′B′=90°，在R t△BB′C′中，由勾股定理可求BB′的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出BB′长是解题的关键．
10. 【答案】A
【解析】解：如图，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠COE=∠OAD，
∵∠CEO=∠ODA，
∴△COE∽△OAD，
∴S△COE
S△AOD=(
OC
OA)
2，
OE
AD
=
CE
OD
=
OC
OA
，
∵S△COE=1
2×|−4|=2，S△AOD=
1
2×1=
1
2，
∴OE
AD=
CE
OD=
OC
OA=
2
1，
∴OE=2AD，CE=2OD，
设A(m,1
m)(m>0)，
∴C(−2
m,2m)，
∴OE=0−(−2
m)=
2
m，
∵点B的横坐标为−7
2，
∴m−(−7
2)=
2
m，
整理得2m2+7m−4=0，
∴m1=1
2，m2
=−4(舍去)，
∴A(1
2,2)，
故选：A.
如图，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，通过证得△COE∽△OAD得到OE
AD =
CE
OD
=
OC
OA
=
2 1，则OE=2AD，CE=2OD，设A(m,
1
m)(m>0)，则C(−
2
m,2m)，由OE=0−(−
2
m)=
2
m
得到m−(−7
2)=
2
m，解分式方程即可求得A的坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，表示出点的坐标是解题的关键．
二、填空题
11. 【答案】x≥6
【解析】解：代数式√x−6在实数范围内有意义时，x−6⩾0，
解得x⩾6，
∴x应满足的条件是x⩾6.
故答案为：x⩾6.
二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
12. 【答案】x1=0，x2=4
【解析】解：方程x2−4x=0，
分解因式得：x(x−4)=0，
可得x=0或x−4=0，
解得：x1=0，x2=4.
故答案为：x1=0，x2=4.
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13. 【答案】2
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵∠C=90°，∠A=30°，CD=1，
∴BD=2CD=2，
∴AD=2.
故答案为2.
由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD的长，进而求解．
本题主要考查线段的垂直平分线，含30°角的直角三角形的性质，求得AD=BD是解题的关键．
14. 【答案】＞
【解析】解：∵一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=16−4m=0，
解得m=4，
∵m>0，
∴反比例函数y=m
x图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少，
∵x1<x2<0，∴y1>y2，
故答案为>.
由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y=m
x图象经过的象限，然后
根据反比例函数的性质即可求得结论．
本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15. 【答案】33°
【解析】解：∵AC =BC ，
∴∠A =∠B =38°，
∵B′D//AC ，
∴∠ADB′=∠A =38°，
∵点B 关于直线CD 的对称点为B′，
∴∠CDB′=∠CDB =12
(38°+180°)=109°， ∴∠BCD =180°−∠B −∠CDB =180°−38°−109°=33°.
故答案为33°.
先根据等腰三角形的性质得到∠A =∠B =38°，再利用平行线的性质得∠ADB′=∠A =38°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′=∠CDB ，则可出∠CDB 的度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD 的度数．
本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．
16. 【答案】（1）（3）（4）
【解析】解：(1)在△ABE 与△DAF 中，
{AD =AB ∠DAF =∠ABE AF =BE
，
∴△ABE ≌△DAF(SAS)，
∴∠AFD =∠AEB ，
∴∠AFD +∠BAE =∠AEB +∠BAE =90°，
∴AH ⊥FK ，
由垂径定理，
得：FH =HK ，
即H 是FK 的中点，故(1)正确；
(2)如图，过H 分别作HM ⊥AD 于M ，HN ⊥BC 于N ，
∵AB=4，BE=3，
∴AE=√AB2+BE2=5，
∵∠BAE=∠HAF=∠AHM，
∴cos∠BAE=cos∠HAF=cos∠AHM，
∴AM
AH=
AH
AF=
AB
AE=
4
5，
∴AH=12
5，HM=
48
25，
∴HN=4−48
25=
52
25，
即HM≠HN，
∵MN//CD，
∴MD=CN，
∵HD=√HM2+MD2，
HC=√HN2+CN2，
∴HC≠HD，
∴△HGD≌△HEC是错误的，故(2)不正确；
(3)由(2)知，AM=√AH2−HM2=36
25，
∴DM=4−36
25=
64
25，
∵MN//CD，
∴MD=HT=64 25，
∴S△AHG
S△HCD=
1
2
AG∙HM
1
2
CD∙HT
=
9
16，故(3)正确；
(4)由(2)知，HF=√AF2−AH2=9
5，
∴FK=2HF=18 5，
∴DK=DF−FK=7
5，故(4)正确．
(1)先证明△ABE ≌△DAF ，得∠AFD +∠BAE =∠AEB +∠BAE =90°，AH ⊥FK ，由垂径定理，得：FH =HK ，即H 是FK 的中点；
(2)只要证明题干任意一组对应边不相等即可；
(3)分别过H 分别作HM ⊥AD 于M ，HN ⊥BC 于N ，由余弦三角函数和勾股定理算出了HM ，HT ，再算面积，即得S △AHG ：S △DHC =9：16；
(4)余弦三角函数和勾股定理算出了FK ，即可得DK.
本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，数学应用三角函数快速计算是本题关键．
三、 解答题
17. 【答案】解：{y =x −4①x +y =6②
， 将①代入②得，x+（x-4）=6，
∴x=5，
将x=5代入①得，y=1，
∴方程组的解为{x =5y =1
． 【解析】
用代入消元法解二元一次方程组即可．
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
18. 【答案】证明：∵AB ∥CD ，
∴∠B=∠C ．
在△ABE 和△DCF 中，
{∠A =∠D ，
∠B =∠C ，BE =CF ，
∴△ABE ≌DCF （AAS ）．
∴AE=DF ．
【解析】
欲证AE =DF ，可证△ABE ≌DCF.由AB//CD ，得∠B =∠C.又因为∠A =∠D ，
BE =CF ，所以△ABE ≌△DCF.
本题主要考查平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质
与判定是解决本题的关键．
19. 【答案】解：（1）A=（m
n-
n
m）•
√3mn
m−n
=m 2−n2
mn∙
√3mn
m−n
=(m+n)(m−n)
mn∙√3mn m−n
=√3（m+n）；
（2）∵m+n-2√3=0，
∴m+n=2√3，
当m+n=2√3时，A=√3×2√3=6．
【解析】
(1)根据分式的减法和除法可以化简A；
(2)根据m+n−2√3=0，可以得到m+n=2√3，然后代入(1)中化简后的A，即可求
得A的值．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．
20. 【答案】4 5 4 4
【解析】解：(1)由该20名学生参加志愿者活动的次数得：a=4，b=5，
故答案为：4，5；
(2)该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，
∵4出现的最多，由6次，
∴众数为4，中位数为第10，第11个数的平均数4+4
2
=4，
故答案为：4，4；
(3)300×6
20=90(人
).
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人．
(1)由题中的数据即可求解；
(2)根据中位数、众数的定义，即可解答；
(3)根据样本估计总体，即可解答．
此题考查了频数分布表，众数、中位数，样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是本
题的关键，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，众数是一组数据中出现次数最多的数．
21. 【答案】解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，
依题意得：31+2x+x=100，
解得：x=23．
答：“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次．
（2）设李某的年工资收入增长率为m，
依题意得：9.6（1+m）≥12.48，
解得：m≥0.3=30%．
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
【解析】
(1)设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万
人次，根据今年计划新增加培训共100万人次，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)设李某的年工资收入增长率为m，利用李某今年的年工资收入=李某去年的年工资收
入×(1+增长率)，结合预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22. 【答案】（1）解：如图，图形如图所示．
（2）证明：∵AC=AD，AF平分∠CAD，
∴∠CAF=∠DAF，AF⊥CD，
∵∠CAD=2∠BAC，∠BAC=45°，
∴∠BAE=∠EAF=∠FAD=15°，
∵∠ABC=∠AFC=90°，AE=EC，
∵BE=AE=EC，EF=AE=EC，
∴EB=EF，∠EAB=∠EBA=15°，∠EAF=∠EFA=15°，
∴∠BEC=∠EAB+∠EBA=30°，∠CEF=∠EAF+∠EFA=30°，
∴∠BEF=60°，
∴△BEF是等边三角形．
【解析】
(1)根据要求作出图形即可．
(2)想办法证明EB=EF，∠BEF=60°，可得结论．
本题考查作图−基本作图，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是证明EB=EF，∠BEF=60°.
23. 【答案】解：（1）∵直线y=1
2x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，
∴当x=0时，y=4；
当y=0时，x=-8，
∴A（-8，0），B（0，4）；
（2）∵点P（x，y）为直线l在第二象限的点，
∴P（x，1
2x+4），
∴S△APO=12OA×(12x+4)=4×(12x+4)=2x+16（-8＜x＜0）；∴S=2x+16（-8＜x＜0）；
（3）∵A（-8，0），B（0，4），
∴OA=8，OB=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=√OA2+OB2=√82+42=4√5，
在⊙C中，∵PQ是直径，
∴∠PQO=90°，
∵∠BAO=∠Q，
∴tanQ=tan∠BAO=1 2，
∴PO
OQ=
1
2，
∴OQ=2OP，
∴S△POQ=12OP×OQ=12OP×2OP=OP2，∴当S△POQ最小，则OP最小时，
∵点P在线段AB上运动，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△AOB=12×OA×OB=12×AB×OP，
∴OP=OA×OB
AB=
8×4
4√5
=
8√5
5，
∵sinQ=sin∠BAO，
∴OP
PQ=
OB
AB，
∴8√5
5
PQ=
4
4√5
，
∴PQ=8，
∴⊙C半径为4．
【解析】
(1)根据直线y=1
2x+4分别与
x轴，y轴相交于A、B两点，令x=0，则y=4；令y=0，则x=−8，即得A，B的坐标；
(2)设P(x,1
2x+4)，根据三角形面积公式，表示出
S关于x的函数解析式，根据P在线段AB 上得出x的取值范围；
(3)将S△POQ表示为OP2，从而当△POQ的面积最小时，此时OP最小，而OP⊥AB时，OP
最小，借助三角函数求出此时的直径即可解决问题．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征、圆的性质、以及三角函数的知识，将S△POQ表示为OP2是解决问题的关键．
24. 【答案】解：（1）当m=0时，抛物线为y=x2-x+3，
将x=2代入得y=4-2+3=5，
∴点（2，4）不在抛物线上；
（2）抛物线y=x2-（m+1）x+2m+3的顶点为（m+1
2，
4(2m+3)−[−(m+1)]2
4
），
化简得（m+12，−m 2+6m+114
）， 顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
而−m 2+6m+114
=-14（m-3）2+5， ∴m=3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，
此时顶点坐标为：（2，5）；
（3）设直线EF 解析式为y=kx+b ，将E （-1，-1）、F （3，7）代入得：
{−1=−k +b 7=3k +b ，解得{k =2b =1
， ∴直线EF 的解析式为y=2x+1，
由{y =2x +1y =x 2−(m +1)x +2m +3
得：{x =2y =5或{x =m +1y =2m +3， ∴直线y=2x+1与抛物线y=x 2-（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3）， 而（2，5）在线段EF 上，
∴若该抛物线与线段EF 只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF 上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜-1或m+1＞3或m+1=2（此时2m+3=5），
∴此时抛物线顶点横坐标x 顶点=m+12＜-12或x 顶点=m+12＞32或x 顶点=m+12=1+12=1． 【解析】
(1)当m =0时，抛物线为y =x 2−x +3，将x =2代入得y =5，故点(2,4)不在抛物线上；
(2)抛物线y =x 2−(m +1)x +2m +3的顶点为(m+12,−m 2+6m+114
)，而−m 2+6m+114=−14(m −3)2+5，即得m =3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了
最高处，顶点坐标为：(2,5)；
(3)求出直线EF 的解析式为y =2x +1，由{y =2x +1y =x 2−(m +1)x +2m +3
得直线y =2x +1与抛物线y =x 2−(m +1)x +2m +3的交点为：(2,5)和(m +1,2m +3)，因(2,5)在线段EF 上，由已知可得(m +1,2m +3)不在线段EF 上，即是m +1<−1或m +1>3，或(2,5)与(m +1,2m +3)重合，可得抛物线顶点横坐标x 顶点=
m+12<−12
或x 顶点=m+12>32或x 顶点=1.
本题考查二次函数的综合应用，涉及图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与线段交点等知识，解题的关键是用m的代数式表示抛物线与直线交点的坐标．
25. 【答案】解：（1）连接DF，CE，如图所示：
，
∵E为AB中点，
∴AE=AF=1
2AB，
∴EF=AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF∥AB，
∴四边形DFEC是平行四边形．
（2）作CH⊥BH，设AE=FA=m，如图所示，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥EF，
∴△CDG∽△FEG，
∴CD
CG=
EF
FG，
∴FG=2m，
在Rt△CBH中，∠CBH=60°，BC=2，
sin60°=CH
BC，CH=√3，
cos60°=BH
BC，BC=1，
在Rt△CFH中，CF=2+2m，CH=√3，FH=3+m，CF²=CH²+FH²，
即（2+2m）²=（√3）²+（3+m）²，整理得：3m²+2m-8=0，
解得：m1=4
3，m2=-2（舍去），
∴AE=43．
（3）因H点沿线段AB直线运动，F点沿线段BA的延长线直线运动，并且CD∥AB，线段ED与线段CF的交点G点运动轨迹为线段AG，运动刚开始时，A、F、H、G四点重合，当H点与B点重合时，G点运动到极限位置，所以G点轨迹为线段AG，
如图所示，作GH⊥AB，
∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=2，
∴CD∥BF，BD=2，
∴△CDG∽△FBG，
∴CD
BF=
DG
BG，即BG=2DG，
∵BG+DG=BD=2，
∴BG=4 3，
在Rt△GHB中，BG=4
3，∠DBA=60°，
sin60°=GH
BG，GH=
2√3
3，
cos60°=BH
BG，BH=
2
3，
在Rt△AHG中，AH=2-2
3=
4
3，GH=
2√3
3，
AG²=（4
3）²+（
2√3
3）
²=
28
9，
∴AG=2√7
3．
∴G点路径长度为2√7
3．【解析】
(1)利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形，
(2)利用三角形相似，求出此时FG的长，再借助直角三角形勾股定理求解，
(3)利用图形法，判断G点轨迹为一条线段，在对应点处求解．
本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和勾股定理求解．。