数学(理)卷·2012届浙江省杭州市求是高复高三11月月考(2011.11)

浙江省杭州市求是高复2012届高三11月月考数学理试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误的是 （ ）
A.（C I A ）Y B ＝I
B.（C I A ）Y （C I B ）＝I
C. A I （C I B ）＝∅
D.（C I A ）I （C I B ）＝C I B
2．关于x 的二次方程
2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A. 0a <
B. 0a >
C. 1a <-
D. 1a >
3．已知)(,11)11(2
2
x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为
（ ）
A ．2
1x x + B ．2
12x x +-
C ．2
12x x + D ．2
1x x +-
4．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ ）
A ．f(sin 6π
)<f(cos 6π
)
B ．f(sin1)>f(cos1)
C ．f(cos 32π)<f(sin 32π
)
D ．f(cos2)>f(sin2)
5．设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,
0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,
0)3(=-g 则不等式
)()(<x g x f 的解集是
（ ）
A ．)3,0()3,(⋃--∞
B ．)3,0()0,3(⋃-
C ．),3()0,3(+∞⋃-
D ． ),3()3,(+∞⋃--∞ 6．若
{}
n a 是等差数列，首项
,0,020122011201220111<>+>a a a a a ，则使前n 项和
n S >成立的
最
大
自
然
数
n
是
：
（
）
A ．4021
B ．4022
C ．4023
D ．4024
7. 已知平面上向量e =)
53,54(-与直线l 平行,)0,0(O 和)2,1(-A 在l 上的射影分别是'O 和'
A ，
则
λ='A O e
，其中
λ
=
（ ）
A ．511
B ．511-
C ．2
D ．－2
8. 函数
3sin )212
1()(+++-
=x a b x f x (a 、b 为常数),若f(x)在(0,+∞)上有最大值10,
则f(x)在(
－∞,0)上有
( ) A.最大值10
B.最小值－5
C.最小值－4
D.最大值13 9. 已知O 是△ABC 所在平面内的一定点，动点P 满足
)
sin ||sin ||(
C AC B
AB λ+=,
),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的
（ ）
A ．内心
B ．重心
C ．外心
D ． 垂心
10. 一次研究性课堂上，老师给出函数
)(||1)(R x x x
x f ∈+=
，三位同学甲、乙、丙在研究
此函数时分别给出命题：
甲：函数f (x)的值域为（－1，1）；
乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；
丙：若规定
||1)()),(()(),()(11x n x
x f x f f x f x f x f n n n +=
==-则对任意*∈N n 恒成
立.
你认为上述三个命题中正确的个数有
（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）.
11．已知向量a=)sin ,(cos θθ，向量b=)1,3(-，则|2a －b|的最大值是___________. 12. 若函数
(
]3
1,)(log )(22
1-∞---=在a ax x x f 上增函数，则实数a 的取值范围是
____________.
13. 当
04x π
<<
时,函数x x x x
x f 22sin sin cos cos )(-=的最小值是_________. 14. 已知数列
}{n a 是首项为1a ，公差为)20(π<<d d 的等差数列，若数列}{cos n a 是等
比数列，则其公比为________________.
15. 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是1010
3cos ,21tan ,,,==
B A c b a ，若△AB
C 最长
的边为1，则最短边的长为________________.
16. 关于函数
()⎪
⎭⎫ ⎝⎛
+=32sin 4πx x f ，有下列命题： ①
()⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-=62cos 4πx x f ; ②()x f y =是以π2为最小正周期的周期函数; ③()x f y =图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6π对称; ④()x f y =图象关于直线
6π-
=x 对称. 其中正确命题的序号是__________________． 17. 已知函数()cos ,()sin f x x g x x ==,记
21
(1)2()2n
n k k S f n π=-=∑
21
1
(1)(
)2
2n
n
k k n g n π
=---∑,
12m m
T S S S =++⋅⋅⋅+,若
11
m T <,则m 的最大值为________________.
三、解答题：本大题有5小题, 共72分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分14分）设全集U ＝R
（1）解关于x 的不等式01|1|>-+-a x （∈a R ） （2）记A 为（1）中不等式的解集，集合
B ＝｛
)3
cos(3)3
sin(|=-
+-
π
ππ
πx x x ｝，若(C U B A I )恰有3个元素,
求a 的取值范围．
20. （本小题满分14分）已知二次函数bx ax x f +=2
)(的图象过点)0,4(n -,且
n f 2)0('=,*∈N n
(1)求)(x f 的解析式;
(2)若数列
}{n a 满足)
1(
'1
1
n n a f a =+,且41=a ,求数列}{n a 的通项公式;
(3)对于(2)中的数列
}{n a ,求证:
①51<∑
=n
k k a ; ②234
11<≤∑=+n
k k k a a
21.(本小题满分15分) 设函数()()
321
3f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点
()()()()
1,1,,A f B m f m 处的切线的斜率分别为0，a -.
（1）求证：
01;b
a ≤
<
（2）若函数)(x f 的递增区间为],[t s ，求t
s -的取值范围；
（3）若当k x ≥时,k 是与c b a ,,无关的常数,恒有0)('<+a x f ,试求k 的最小值.
22.（本小题满分15分）已知函数.
ln )(,2
)23ln()(x x g x x x f =++=
（1）求函数)(x f 是单调区间；
（2）如果关于x 的方程
m x x g +=
21
)(有实数根，求实数m 的取值集合；
（3）是否存在正数k ，使得关于x 的方程)()(x g k x f ⋅=有两个不相等的实数根？如果
存在，求k 满足的条件；如果不存在，说明理由.
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）.
11．4 12. [)
2,322- 13. 4 14. -1 15. 55 16. ①③ 17. 5
三、解答题：本大题有5小题, 共72分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
由0sin =x π，得ππk x =（∈k Z ），即∈=k x Z ，所以B ＝Z ． 10分
当(C U B A I )恰有3个元素时，a 就满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<-<-≤<.01,322,
1a a a 解得01≤<-a ．14分
19．解：(Ⅰ)
(
)cos sin 2,cos sin m n θθθθ
+=-++u r r
(
)
2
2
cos sin 2
(cos sin )m n θθθθ+=
-+++u r r =
422(cos sin )θθ+-44cos 4πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=21cos 4πθ⎛
⎫++ ⎪
⎝⎭分 ∵θ∈［π，2π］，∴4944
5ππθπ≤+≤，∴)
4cos(π
θ+≤1 ||n m +max
=22． 7分
(Ⅱ) 由已知
82m n +=u r r ,得7cos 425πθ⎛
⎫+=
⎪⎝⎭ 又2cos 2cos ()1428πθπθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ∴
216cos ()2825θπ+=
10分 ∵θ∈［π，2π］∴898285ππθπ≤+≤，∴
4cos 285θπ⎛⎫+=- ⎪
⎝⎭． 14分 20．解（1）由已知得
nx x x f a n b 221
)(,21,22+=∴=
= 3分
（2）),1(2111-=--n a a n n 累加法可求
14442+-=n n a n 8分 （3）①当n ≥2时,
n n n n n n a n 1
11444144422-
-=-<+-=
,
n n n a n
k k
1
5)111()211(41
-=--++-+<∑=Λ<5 11分 ②∵
)
121
121(2)12)(12(41+--=+-=
+k k k k a a k k
∴2
)121
1(2)1211215131311(21
1<+-=+--++-+-=∑
=+n n n a a n
k k k Λ 14分
21．解：（1）由题意和导数的几何意义得：
()()
()()2120,2424040,0f a b c f m am bm c a a b c a a b c a c a c '=++='=++=-<<<++∴<<⇒<> １｛ ２注意到可得
由（1）得c=-a-2c ，代入a<b<c,再由a<0得
()113b
a
-<< ３
由（1）（2）消去c 得0222
=-+b bm am ，因该方程有实数根，
0(20842≥-≤⇒
≥+=∆∴a b a b ab b 舍），，10<≤∴a b
5分
（2）由条件，t=1，
a b
s t 21,1-
-==，
a b
t s 22+
=-)4,2[∈ 10分
(3)
02)('2
<+++=+c a bx ax a x f 即0222<-+b bx ax ，又0<a 0
222>⋅-⋅⋅+∴a b x a b x 令2)22()(x a b x a b g +-==，又1
0<≤a b
⎩⎨
⎧>≥∴0)0(0)1(g g 得1313-≥--≤x x 或 k ∴的最小值为13- 15分 22．解：（1）函数)(x f 的定义域是).
,0()0,23
(+∞⋃-对)(x f 求导得
)
23()3)(1(22
3
1)(22
+-+=-
+
=
'x x x x x
x x f …………（2分）
由
3
123
0)(>-<<-
>'x x x f 或，得,由.30010)(<<<<-<'x x x f 或，得
因此 )3)1,23
(∞+--，和（是函数)(x f 的增区间；
（－1，0）和（0，3）是函数)(x f 的减区间 ………………（5分）
（2）因为
.21
ln 21ln 21)(x x m m x x m x x g -=⇔+=⇔+=
所以实数m 的取值范围就是函数
x
x x 21
ln )(-=φ的值域
对
.211)()(-=
'x x x φφ求导得
令0)(20;0)(220)(>'<<<'>=='x x x x x x φφφ时，当时，，并且当，得
∴当x=2时)(x φ取得最大值，且
.12ln )2()(max -==φφx
又当x 无限趋近于0时，x ln 无限趋近于
x
21
,-∞-无限趋近于0， 进而有
x
x x 2
1
ln )(-=φ无限趋近于－∞.因此
x
x x 2
1ln )(-=φ的值域是
]12ln ,(--∞
即实数m 的取值范围是]12ln ,(--∞ ………………（10分） （3）结论：这样的正数k 不存在。

………………（11分）
若存在正数k ，使得关于x 的方程)()(x kg x f =有两个不相等的实数根21x x 和，则
由①和②可得 2
2
2111ln 2
)23ln(ln 2)23ln(x x x x x x +
+=
++
利用比例性质得 2
2
2
21111ln ln 2
)23ln(ln ln 2)23ln(x x x x x x x x -++=
-++
即
.(*)
ln 2
)231ln(ln 2)231ln(2
2
2111x x x x x x ++=++
…………（13分）
由于),1(ln +∞是区间x 上的恒正增函数，且
.1ln ln ,12
1
21<∴
<<x x x x
又由于
),1(2
)231ln(+∞++
是区间x x 上的恒正减函数，且 .121x x <<
∴.12)231ln(2
)231ln(2
21
1>+
+++
x x x x
∴
22
21112
2
11
2
1ln 2
)231ln(ln 2)231ln(2)231ln(2)231ln(ln ln x x x x x x x x x x x x ++>++⇔+
++
+
<
这与（*）式矛盾。

因此满足条件的正数k 不存在 ……………………15分。