高斯公式_高等数学(下册)_[共4页]

181 曲面积分
第11章
2．当∑是xOy 面上的一个有界闭区域时，曲面积分(),,d d f x y z x y ∑
∫∫与二重积分有什么关系？
3．计算22d d x y z x y ∑
∫∫，其中∑为球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧．
4．计算d d d d d d z x y x y z y z x ∑
++∫∫，其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧．
5．计算曲面积分d d d d d d xz x y xy y z yz z x ++，其中∑是平面0x =，0y =，0z =，1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．
6．把对坐标的曲面积分
()()(),,d d ,,d d ,,d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑
++∫∫
化成对面积的曲面积分，其中：
（1）∑是平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧；
（2）∑是抛物面()228z x y =−+在xOy 面上方部分的上侧．
7．计算()d d x y y z ∑
+∫∫，其中∑是以原点为中心，边长为2a 的正方体：,,x a y a z a ≤≤≤ 的
整个表面的外侧．
8．计算2d d z x y
∑∫∫，其中∑是上半球面z =22(0)x y ax a +=>之内
的部分曲面，并取外侧．
9．计算2
()d d d d z x y z x x y ∑+−∫∫，其中∑是旋转抛物面22
2x y z +=介于平面0z =及2z =之间的部分的上侧．
10．计算22()d d d d x y z x z x y ∑
++
∫∫，其中∑是锥面z =1z =所截下且位于在第
一卦限的部分的下侧．
11．设(),,f x y z 为连续函数，计算曲面积分
()()(),,d d 2,,d d ,,d d f x y z x y z f x y z y z x f x y z z x y ∑
+++++⎡
⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∫∫， 其中∑是平面1x y z −+=在第四卦限部分的上侧．
11.3
高斯公式与斯托克斯公式
11.3.1 高斯公式
在曲线积分计算中，格林公式建立了平面闭区域上的二重积分与积分区域边界曲线上的曲线积分间的联系，在本节我们将介绍空间闭区域上的三重积分与积分区域边界曲面上的曲面积分间的联系，这种联系就是通过高斯公式建立的．。