高一数学人教A版必修1同步练习：2.2-2对数函数及其性

2．2.2 对数函数及其性质
知识点一：对数函数的定义域和值域 1．函数y ＝log 0.5(x －5)的定义域是
A ．(0，＋∞)
B ．(5，＋∞)
C ．(6，＋∞)
D ．(0.5,5) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是 A ．y ＝x 2和y ＝(x)2 B ．|y|＝|x|和y 3＝x 3
C ．y ＝log a x 2和y ＝2log a x
D ．y ＝x 和y ＝log a a x
3．函数y ＝log 2x 的定义域是
A ．(0,1]
B ．(0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．[1，＋∞) 4．求下列函数的值域． (1)y ＝log 2(x 2＋4)； (2)y ＝log 12
(3＋2x －x 2)．
知识点二：对数函数的性质
5．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是
A ．y ＝3x ＋
2 B ．y ＝lgx ＋1 C ．y ＝x 2＋1 D ．y ＝1x
6．函数y ＝lg|x|
A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
7．若定义在区间(－1,0)内的函数f(x)＝log 2a (x ＋1)满足f(x)＞0，则a 的取值范围为 A ．(0，12) B ．(0,1) C ．(1
2，＋∞) D ．(0，＋∞)
8．若规定⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
a b
c
d ＝|ad －bc|，则不等式⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
1 11
x ＜0的解集是__________．
9．已知log 0.5(2m)＜log 0.5(m ＋1)，求m 的取值范围．
10．已知函数f(x)＝log 2(2x ＋1)，求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增．
知识点三：对数函数的图象 11．函数f(x)＝|log 3x|的图象是
12．函数y ＝log a (3x －2)(a ＞0，a ≠1)的图象过定点
A ．(0，23)
B ．(1,0)
C ．(0,1)
D ．(2
3，0)
13．已知log a 2＜log b 2＜0，则a ，b 的大小关系是
A ．1＜a ＜b
B ．0＜b ＜a ＜1
C ．1＜b ＜a
D ．0＜a ＜b ＜1
14．对数函数的图象过点P(8,3)，则此对数函数的解析式为__________．
能力点一：利用对数函数比较数值的大小 15．下面不等式成立的是 A ．log 32＜log 23＜log 25
B ．log 32＜log 25＜log 23
C ．log 23＜log 32＜log 25
D ．log 23＜log 25＜log 32
16．设a ＞1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a)，则m ，n ，p 的大小关系为
A ．n ＞m ＞p
B ．m ＞p ＞n
C ．m ＞n ＞p
D ．p ＞m ＞n
17．比较下列各组数的大小： (1)log 2π与log 20.9； (2)log 20.3与log 0.20.3； (3)log 0.76,0.76与60.7； (4)log 20.4，log 30.4； (5)3log 45,2log 23.
能力点二：反函数及对数函数的综合问题
18．若f(x)＝log a x(a ＞0且a ≠1)，且反函数值f －
1(2)＜1，则f(x)的图象是
19．已知函数f(x)＝2x ＋3
，f －1
(x)是f(x)的反函数，若mn ＝16，m ，n ∈(0，＋∞)，则f
－
1
(m)＋f －1(n)的值为
A ．－2
B ．1
C ．4
D ．10
20．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1
3)＝0，则不等
式f(log 18
x)＜0的解集为
A ．(0，12)
B ．(1
2，＋∞)
C ．(12，1)∪(2，＋∞)
D ．(0，1
2
)∪(2，＋∞)
21．设函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －
4
，x ≤4，－log 2(x ＋1)，x>4，若f(a)＝1
8，则f(a ＋6)＝__________.
22．解下列方程：
(1)log 7(log 3x)＝－1； (2)2log x 25－3log 25x ＝1.
23．已知f(x)＝lg
2x a ＋bx
，f(1)＝0且当x ＞0时恒有f(x)－f(1
x )＝lgx.
(1)求常数a ，b 的值；
(2)求函数f(x)的定义域．
答案与解析
基础巩固
1．B 由已知，得x －5＞0，∴x ＞5.
2．D 只有定义域相同且对应关系也相同的两个函数才是相等的函数．
3．D 由⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ≥0，
x>0，得x ≥1.
4．解：(1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域为R .
∵x 2＋4≥4，
∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2.
∴y ＝log 2(x 2＋4)的值域为{y|y ≥2}． (2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4， ∵u ＞0，∴0＜u ≤4.
又y ＝log 12
u 在(0，＋∞)上为减函数，
∴log 12
u ≥log 12
4＝－2.
∴y ＝log 12
(3＋2x －x 2)的值域为{y|y ≥－2}．
5．D
6．B 函数y ＝lg|x|是偶函数，其草图如下：
7．A 因为x ∈(－1,0)，所以x ＋1∈(0,1)． 此时f(x)＞0，根据图象得0＜2a ＜1，解得0＜a ＜1
2.
8．(0,1)∪(1,2) ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1 11 x ＝|x －1|，
由
|x －1|＜0，得0＜|x －1|＜1，即0＜x ＜2，且x ≠1.
9．解：由题意，根据对数的性质，得 ⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1>0，2m>m ＋1，2m>0，
解得m ＞1.
所以m 的取值范围是(1，＋∞)．
10．证明：任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2，
则f(x 1)－f(x 2)＝log 2(21
x ＋1)－log 2(22
x ＋1)＝log 212
21
21
x x ++，
∵x 1＜x 2，∴0＜21x
＋1＜2
2
x ＋1.
∴0＜122121x x ++＜1，log 2122121
x x ++＜0，
即f(x 1)＜f(x 2)．
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增．
11．A y ＝|log 3x|的图象是保留y ＝log 3x 的图象位于x 轴上半平面的部分(包括与x 轴的交点)，而把下半平面的部分沿x 轴翻折到上半平面而得到的．
12．B 由log a 1＝0，知当3x －2＝1，即x ＝1时，y ＝0为定点． 13．B 根据题意作出图象，如图．
根据图象变化规律可以得出0＜b ＜a ＜1.
14．y ＝log 2x(x ＞0) 设对数函数的解析式为y ＝log a x(a ＞0且a ≠1)． ∴log a 8＝3.∴a 3＝8＝23.∴a ＝2.
能力提升 15．A
16．B ∵a ＞1，∴a 2＋1＞2a,2a ＞a －1，且函数f(x)＝log a x 是增函数． ∴m ＞p ＞n.
17．解：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，π＞0.9， 所以log 2π＞log 20.9.
(2)由于log 20.3＜log 21＝0，log 0.20.3＞log 0.21＝0， 所以log 20.3＜log 0.20.3.
(3)因为60.7＞60＝1,0＜0.76＜0.70＝1， 又log 0.76＜log 0.71＝0， 所以60.7＞0.76＞log 0.76.
(4)底数不同，但真数相同，根据y ＝log a x 的图象在a ＞1，x ＞1时，a 越大，图象越靠近x 轴，如图所示，知log 30.4＞log 20.4.
(5)利用换底公式化为同底.3log 45＝3log 25log 24＝3
2log 2
5＝log 2125，2log 23＝log 29＜log 2125
＝3log 45.
18．B 因为f －1(x)＝a x ，f －
1(2)＜1，可知0＜a ＜1.
19．A f(x)＝2x ＋3，得f －
1(x)＝log 2x －3，于是 f －1(m)＋f －
1(n)＝log 2m －3＋log 2n －3＝log 2mn －6＝log 216－6＝4－6＝－2.
20．C ∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1
3
)＝0，在(0，＋∞)上f(log 18
x)＜0⇒f(log 18
x)
＜f(13)⇒0＜log 18
x ＜13⇒log 18
1＜log 18
x ＜log 18
(18
)1
3
⇒1
2＜x ＜1；
同理可求f(x)在(－∞，0)上是增函数，且f(－1
3)＝0，得x ＞2.
综上所述，x ∈(1
2
，1)∪(2，＋∞)．
21．－3 (1)当a ≤4时，2a －
4＝18，解得a ＝1，此时f(a ＋6)＝f(7)＝－3；
(2)当a ＞4时，－log 2(a ＋1)＝1
8，无解．
22．解：(1)由题意，得log 3x ＝1
7
，x ＝31
7.
(2)设log 25x ＝t ，则log x 25＝1
t .
于是，原方程可化为2
t
－3t ＝1，
化简，得3t 2＋t －2＝0.解得t ＝－1或t ＝2
3.
当t ＝－1时，由log 25x ＝－1，得x ＝1
25；
当t ＝23时，由log 25x ＝23，得x ＝543.
综上可知，该方程的解是1
25
或54
3.
拓展探究
23．解：(1)f(1)＝lg 2
a ＋
b ＝0，
∴a ＋b ＝2.①
又x ＞0，f(x)－f(1
x
)＝lgx ，
∴lg
2x a ＋bx －lg 2x
a ＋
b x
＝lg 2x a ＋bx －lg 2
ax ＋b ＝lg x (ax ＋b )a ＋bx ＝lgx.
∴ax ＋b ＝a ＋bx.∴a ＝b.② 由①②得a ＝b ＝1. (2)由(1)得f(x)＝lg 2x 1＋x
， ∴
2x
1＋x
＞0，得x ＞0或x ＜－1. 故f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞).。