空间几何体的结构和练习题

§1－2空间几何体的结构
【知识要点】
1．简单空间几何体的基本概念：
(1)
(2)特殊的四棱柱：
(3)其他空间几何体的基本概念：
几何体基本概念
正棱锥底面是正多面形.并且顶点在底面的射影是底面的中心
正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截.截面与底面间的几何体是正棱台
圆柱以矩形的一边所在的直线为轴.将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体
圆锥以直角三角形的一边所在的直线为轴.将直角三角形旋转一周形成的曲面围成的几何体
圆台以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴.将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体
球面半圆以它的直径为轴旋转.旋转而成的曲面
球球面所围成的几何体
2．简单空间几何体的基本性质：
几何体性质补充说明
棱柱(1)侧棱都相等.侧面是平行四边形
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等
的多边形
(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)
是平行四边形
(1)直棱柱的侧棱长与高相等.侧面
及对角面都是矩形
(2)长方体一条对角线的平方等于一
个顶点上三条棱长的平方和
正棱锥(1)侧棱都相等.侧面是全等的等腰三角形
(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形
球(1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截
面
(2)球心到截面的距离d.球的半径R.截面
圆的半径r满足2
2d
R
r-
=
(1)过球心的截面叫球的大圆.不过
球心的截面叫球的小圆
(2)在球面上.两点之间的最短距离.
就是经过这两点的大圆在这两点间
的一段劣弧的长度(两点的球面距
离)
3．简单几何体的三视图与直观图：
(1)平行投影：
①概念：如图.已知图形F.直线l与平面相交.过F上任意一点M作直线MM1平行于l.交平面于点M1.则点M1叫做点M在平面内关于直线l的平行投影．如果图形F上
的所有点在平面内关于直线l 的平行投影构成图形F 1.则F 1叫图形F 在内关于直线
l 的平行投影．平面叫投射面.直线l 叫投射线．
②平行投影的性质：
性质1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段； 性质2．平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
性质3．平行于投射面的线段.它的投影与这条线段平行且等长； 性质4．与投射面平行的平面图形.它的投影与这个图形全等；
性质5．在同一直线或平行直线上.两条线段平行投影的比等于这两条线段的比． (2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图． (3)三视图：
①正投影：在平行投影中.如果投射线与投射面垂直.这样的平行投影叫做正投影． ②三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面．若投射面水平放置.叫做水平投射面.投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方.叫做直立投射面.投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面.投射到这个平面内的图形叫做左视图．
将空间图形向这三个平面做正投影.然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内.这样构成的图形叫空间图形的三视图．
③画三视图的基本原则是“主左一样高.主俯一样长.俯左一样宽”． 4．简单几何体的表面积与体积： (1)柱体、锥体、台体和球的表面积：
①S 直棱柱侧面积＝ch .其中c 为底面多边形的周长.h 为直棱柱的高．
②'=
ch S 21
正棱锥形面积.其中c 为底面多边形的周长.h ＇为正棱锥的斜高． ③''+=h c c S )(2
1
正棱台侧面积.其中c ＇.c 分别是棱台的上、下底面周长.h ＇为正棱台的
斜高．
④S 圆柱侧面积＝2Rh .其中R 是圆柱的底面半径.h 是圆柱的高． ⑤S 圆锥侧面积＝Rl .其中R 是圆锥的底面半径.l 是圆锥的母线长．
⑥S 球＝4R 2
.其中R 是球的半径．
(2)柱体、锥体、台体和球的体积：
①V 柱体＝Sh .其中S 是柱体的底面积.h 是柱体的高． ②Sh V 31
=锥体.其中S 是锥体的底面积.h 是锥体的高． ③)(3
1
'+'+=S SS S h V 台体.其中S ＇.S 分别是台体的上、下底面的面积.h 为台体的高． ④3
π3
4R V =
球.其中R 是球的半径． 【复习要求】
1．了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；
2．会画出简单几何体的三视图.会用斜二侧法画简单空间图形的直观图； 3．理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式． 【例题分析】
例1 如图.正三棱锥P －ABC 的底面边长为a .侧棱长为b ．
(Ⅰ)证明：PA ⊥BC ；
(Ⅱ)求三棱锥P －ABC 的表面积； (Ⅲ)求三棱锥P －ABC 的体积．
【分析】对于(Ⅰ)只要证明BC (PA )垂直于经过PA (BC )的平面即可；对于(Ⅱ)则要根据正三棱锥的基本性质进行求解．
证明：(Ⅰ)取BC 中点D .连接AD .PD ． ∵P －ABC 是正三棱锥.
∴△ABC 是正三角形.三个侧面PAB .PBC .PAC 是全等的等腰三角形． ∵D 是BC 的中点.∴BC ⊥AD .且BC ⊥PD . ∴BC ⊥平面PAD .∴PA ⊥BC ．
(Ⅱ)解：在Rt △PBD 中.,42
1
2222a b BD PB PD -=
-= ∴.44
2122a b a PD BC S PBC -==
⋅∆ ∵三个侧面PAB .PBC .PAC 是全等的等腰三角形. ∴三棱锥P －ABC 的侧面积是
.44
322a b a
- ∴△ABC 是边长为a 的正三角形.∴三棱锥P －ABC 的底面积是,4
32
a
∴三棱锥P －ABC 的表面积为⋅-+=-+)312(4
34434322222a b a a
a b a a (Ⅲ)解：过点P 作PO ⊥平面ABC 于点O .则点O 是正△ABC 的中心. ∴,6
3233131a
a AD OD =⨯==
在Rt △POD 中.,33
3
2222a b OD PD PO -=
-=
∴三棱锥P －ABC 的体积为.312333433
12222
22a b a a b a -=-⨯⨯ 【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形.如本题中的Rt △
POD .其中含有棱锥的高PO ；如Rt △PBD .其中含有侧面三角形的高PD .即正棱锥的斜高；如果连接OC .则在Rt △POC 中含有侧棱．熟练运用这几个直角三角形.对解决正棱锥的有关问题很有帮助．
2、正n (n ＝3.4.6)边形中的相关数据：
正三角形
正方形
正六边形
边长 a
a a
对角线长
a 2
长：2a ；短：a 3
边心距 a 63 2
a a 23 面积 243a a 2
2
2
33a 外接圆半径
a 3
3 a 2
2 a
例2 如图.正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中.E 是AC 的中点．
(Ⅰ)求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；(Ⅱ)求证：AB 1∥平面BEC 1．
【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图.这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求.可以根据几何体自身的性质.适当添加辅助线帮助思考．
证明：(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱.∴AA 1⊥平面ABC . ∴BE ⊥AA 1．
∵△ABC 是正三角形.E 是AC 的中点.∴BE ⊥AC .∴BE ⊥平面ACC 1A 1.又BE ⊂平面BEC 1. ∴平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1．
(Ⅱ)证明：连接B 1C .设BC 1∩B 1C ＝D ．
∵BCC 1B 1是矩形.D 是B 1C 的中点. ∴DE ∥AB 1． 又DE ⊂平面BEC 1.AB 1⊄平面BEC 1. ∴AB 1∥平面BEC 1．
例3 在四棱锥P －ABCD 中.平面PAD ⊥平面ABCD .AB ∥DC .△PAD 是等边三角形.已知BD ＝2AD ＝8.542==DC AB ．
(Ⅰ)设M 是PC 上的一点.证明：平面MBD ⊥平面PAD ； (Ⅱ)求四棱锥P －ABCD 的体积．
【分析】本题中的数量关系较多.可考虑从“算”的角度入手分析.如从M 是PC 上的动点分析知.MB .MD 随点M 的变动而运动.因此可考虑平面MBD 内“不动”的直线BD 是否垂直平面PAD ．
证明：(Ⅰ)在△ABD 中.
由于AD ＝4.BD ＝8.54=AB .
所以AD 2
＋BD 2
＝AB 2
． 故AD ⊥BD ．
又平面PAD ⊥平面ABCD .平面PAD ∩平面ABCD ＝AD .BD ⊂平面ABCD . 所以BD ⊥平面PAD .
又BD ⊂平面MBD .故平面MBD ⊥平面PAD ． (Ⅱ)解：过P 作PO ⊥AD 交AD 于O .
由于平面PAD ⊥平面ABCD .所以PO ⊥平面ABCD ． 因此PO 为四棱锥P －ABCD 的高.
又△PAD 是边长为4的等边三角形．因此.3242
3
=⨯=PO 在底面四边形ABCD 中.AB ∥DC .AB ＝2DC .
所以四边形ABCD 是梯形.在Rt △ADB 中.斜边AB 边上的高为
55
85
484=⨯.即为梯形ABCD 的高.
所以四边形ABCD 的面积为.2455
82
5452=⨯+=
S 故
.31632243
1
=⨯⨯=-ABCD P V
例4 如下的三个图中.上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)
(Ⅰ)画出该多面体的俯视图；
(Ⅱ)按照给出的尺寸.求该多面体的体积；
(Ⅲ)在所给直观图中连结BC ＇.证明：BC ＇∥平面EFG ．
【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高.主俯一样长.俯左一样宽”.根据此原则及相关数据可以画出三视图．
证明：(Ⅰ)该几何体三视图如下图：
(Ⅱ)所求多面体体积).cm (3
284
2)2221(316442=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-=正三棱锥长方体V V V (Ⅲ)证明：在长方体ABCD －A'B'C'D'中.连结AD'.则AD'∥BC'． 因为E .G 分别为AA'.A'D'中点. 所以AD'∥EG .
从而EG ∥BC '．又BC'⊄平面EFG . 所以BC'∥平面EFG ．
例5 有两个相同的直三棱柱.底面三角形的三边长分别是3a .4a .5a .高为
a
2
.其中a ＞0．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱.在所有可能的情形中.表面积最小的一个是四棱柱.求a 的取值范围．
解：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的三个侧面的面积分别是6.8.10.底面积是6a 2
.因此每个三棱
柱的表面积均是2×6a 2＋6＋8＋10＝12a 2
＋24．
情形①：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起.只能拼成三棱柱.其表面积为：
2×(12a 2＋24)－2×6a 2＝12a 2
＋48． 情形②：将两个直三棱柱的侧面ABB 1A 1重合拼在一起.结果可能拼成三棱柱.也可能拼成
四棱柱.但表面积一定是：2×(12a 2＋24)－2×8＝24a 2
＋32．
情形③：将两个直三棱柱的侧面ACC 1A 1重合拼在一起.结果可能拼成三棱柱.也可能拼成
四棱柱.但表面积一定是：2×(12a 2＋24)－2×6＝24a 2
＋36．
情形④：将两个直三棱柱的侧面BCC 1B 1重合拼在一起.只能拼成四棱柱.其表面积为：2×(12a 2＋24)－2×10＝24a 2
＋28
在以上四种情形中.②、③的结果都比④大.所以表面积最小的情形只能在①、④中产生．
依题意“表面积最小的一个是四棱柱”.得24a 2
＋28＜12a 2
＋48.解得,3
5
2
<
a 所以a 的取值范围是⋅)3
15,
0( 例6 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中.E .F 分别是BB 1.CD 的中点.求三棱锥F －A 1ED 1的体积．
【分析】计算三棱锥F －A 1ED 1的体积时.需要确定锥体的高.即点F 到平面A 1ED 1的距离.直接求解比较困难．利用等积的方法.调换顶点与底面的方式.如111
1
EFD A ED A F V V --=.也不易
计算.因此可以考虑使用等价转化的方法求解． 解法1：取AB 中点G .连接FG .EG .A 1G ． ∵GF ∥AD ∥A 1D 1.∴GF ∥平面A 1ED 1.
∴F 到平面A 1ED 1的距离等于点G 到平面A 1ED 1的距离．
∴.8
183313132111111111a a a D A S V V V EG A EG A D ED A G ED A F =⨯⨯==
==⋅∆---
解法2：取CC 1中点H .连接FA 1.FD 1.FH . FC 1.D 1H .并记FC 1∩D 1H ＝K ．
∵A 1D 1∥EH . A 1D 1＝EH .∴A 1.D 1.H .E 四点共面． ∵A 1D 1⊥平面C 1CDD 1.∴FC ⊥A 1D 1．
又由平面几何知识可得FC 1⊥D 1H .∴FC ⊥平面A 1D 1HE ． ∴FK 的长度是点F 到平面A 1D 1HE (A 1ED 1)的距离． 容易求得.8
11053453131,10533
21111a a a FK S V a FK ED A ED A F =⨯⨯===
⋅∴∆-
练习1－2
一、选择题：
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球.则这个球的表面积为( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16 2．如图是一个几何体的三视图.根据图中数据.可得该几何体的表面积是( )
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
3．有一种圆柱体形状的笔筒.底面半径为4 cm.高为12 cm ．现要为100个这种相同规格的
笔筒涂色(笔筒内外均要涂色.笔筒厚度忽略不计)．如果所用涂料每0.5 kg 可以涂1 m 2
.那么为这批笔筒涂色约需涂料( ) (A)1.23 kg (B)1.76 kg (C)2.46 kg (D)3.52 kg 4．某几何体的一条棱长为7.在该几何体的正视图中.这条棱的投影是长为6的线段.在该几何体的侧视图与俯视图中.这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段.则a ＋b 的最大值为( ) (A)22
(B)32
(C)4
(D)52
二、填空题：
5．如图.正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的每条棱长均为2.E 、F 分别是BC 、A 1C 1的中点.则EF 的长等于______．
6．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起.使得BD ＝1.则三棱锥D －ABC 的体积是______． 7．一个六棱柱的底面是正六边形.其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上.且该六棱柱的高为3.底面周长为3.则这个球的体积为______．
8．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个.如两组对边分别平行.类似地.写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①：_______________________________________________________________； 充要条件②：_______________________________________________________________． (写出你认为正确的两个充要条件) 三、解答题：
9．如图.在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中.E 是DD 1的中点．
(Ⅰ)求证：BD 1∥平面ACE ；
(Ⅱ)求证：平面ACE ⊥平面B 1BDD 1．
10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形.正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高
为4的等腰三角形.侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(Ⅰ)求该几何体的体积V ； (Ⅱ)求该几何体的侧面积S ．
11．如图.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体.点E 在AA 1上.点F 在CC 1上.且AE ＝FC 1
＝1．
(Ⅰ)求证：E .B .F .D 1四点共面； (Ⅱ)若点G 在BC 上.3
2
BG .点M 在BB 1上.GM ⊥BF .求证：EM ⊥面BCC 1B 1．。