湖南省衡阳市高一数学下学期第四次月考试题 理

湖南省衡阳市2016-2017学年高一数学下学期第四次月考试题 理
考试范围：必修一、二 、四，必修五部分 考试时间：2017.5.26
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1.已知直线l 的一般方程为320x y -+=，则直线l 的倾斜角为 A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o
2. 设α为钝角，3
sin 5
α=
，则sin2α= A ．1225- B ．1225
C ．2425-
D ．2425
3.已知(sin ,1)a α=r ，(2,4cos )b α=-r
，若a r 与b r 垂直，则tan α=
A ．2-
B ．2
C ．2±
D ．2 4. 在ABC ∆中，已知12
2,3,sin ,13b a A ===
则sin B = A.
8
13
B.
913
C.1013
D. 1113
5. 已知圆O ：2
2
1x y +=，一只蚂蚁从点13,22A ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭出发，沿圆周爬行（逆时针或顺时针），当它
爬行到点()1,0B -时，蚂蚁爬行的最短路程为 A.
76π B.56π C.43π D.
23π
6. 已知数列{}n a 是首项为1，公差为d （*N d ∈）的等差数列，若81
是该数列中的一项， 则公差d 不可能是
A.5
B. 4
C. 3
D. 2 7. 一个机器零件的三视图如右图所示，其中俯视图是一个半圆内切于 边长为2的正方形，则该机器零件的体积为
A. 883π+
B.
483π+ C. 283π+ D. 83π
+
8. 下列函数中，最小正周期为π且一条对称轴为8
x π
=的函数是
A.sin(2)2
y x π
=+
B.x x y cos sin +=
C.cos(2)2
y x π
=+ D. x x y 2cos 2sin +=
9. 已知23sin()sin ,3
5π
αα-
+=
则cos()3
π
α+等于 A.215-
B.25-
C. 215
D. 2
5
10. 已知,,a b c 分别是ABC ∆中角,,A B C 的对边长，b 和c 是关于x 的方程2925cos 0x x A -+=的两个根()b c >，且18
(sin sin sin )(sin sin sin )sin sin 5
B C A B C A B C +++-=，则ABC ∆的形状为
A ．等腰三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
11. 如果函数()f x 对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式()f x M x ≤恒成立，那么就称函数()f x 为有界泛函．给出下面三个函数：①()1f x =；②2
()f x x =；③2()1
x
f x x x =++．其
中属于有界泛函的是
A ．①
B ．②
C.③ D ．①②③
12.已知函数21,0
()21,0
x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩，若(sin sin sin 1)1f αβγ++-=-
(cos cos cos 1)3f αβγ+++=，则cos()cos()αββγ-+-的值为
A ．2
B ．1
C ．﹣2
D ．﹣1
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. ）
13. 已知O e 的方程22
4x y +=，则过点(1,3)P 且与圆O e 相切的切线方程为 .
14．已知3
()sin f x x a x b =++为奇函数（,a b 为常数）且3
()12
8
f ππ=
+,则a = ．
15. 在ABC ∆中，若120,5,7A AB BC ∠===o
则ABC ∆的面积S = ．
16. 已知单位向量12,e e →→
的夹角为3
π
，如果12(cos )2sin (cos 1)a e e ααα→→→
=++其中R α∈，
则a →在1e →
上的投影的最大值是 ．
三.解答题：(本题共6小题，共70分解答应写出必要计算过程，推理步骤和文字说明) 17.（本题满分10分）已知{}n a 是等差数列，其中1425,16a a == （1）求{}n a 的通项；
（2）数列{}n a 中共有几项大于0.
18. （本题满分12分）如图，在四棱锥中ABCD P -，底面ABCD 为正方形，PC PA =， 若M ，N 分别为PB ，AD 的中点. 求证：（1）PDC MN 平面//； （2）AC PD ⊥.
19．（本题满分12分）已知02
π
αβπ<<
<<，42
tan ,cos()310αβα=-=
（1）求sin α的值； （2）求β的值.
20.（本题满分12分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求角A ; （2）若2a =， ABC ∆的面积为3，求,b c 两边.
21．（本题满分12分）已知(2cos ,2sin ),(sin(),cos())66
a x x
b x x π
π
→
→
==-
-，函数
()cos ,,f x a b →→
=
(,a b →→
表示两向量的夹角)
（1）求函数()f x 零点；
（2）若()f x 的三内角,,A B C 的对边分别是,,a b c 且()1f A =，求b c
a
+的取值范围．
22.（本题满分12分）已知向量13log ,1()m x f x →
⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，()31,2log n x →
=+,且向量m →∥n →.
（1）求函数)(x f y =的解析式及函数))3
2(cos(π
-
=x f y 的定义域；
（2）若函数2sin cos )(2
+--=θθθa g ,存在R a ∈, 对任意⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈3,2711x ,总存在唯一 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈2,20ππθ,使得)()(01θg x f =成立, 求实数a 的取值范围.
高一下学期第4次月考理科数学答案
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

） 1-5：BCBAD 6-10：CDDBC 11-12:CD 二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 34x += 14. 1 15.
1534 16. 221
2
三、解答题（解答应写出必要计算过程，推理步骤和文字说明，共70分） 17． （1）4133a a d d =+∴=-Q 283n a n ∴=- ……………5分
（2） 1283093
n n -<∴>Q ∴数列{}n a 共有9项大于0 ……………12分 18． （1）取DQ MQ Q PC ,,连的中点则四边形MNDQ 为平行四边形，
从而DQ MN // 又∵PCD DQ 面⊆∴PCD MN 面//……………6分 （2）PC PA =O BD AC 于交连
AC PD PBD AC AC BD AC PO AC O PC PA PAC ⊥⇒⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥=∆面中点为中在,………12分
19. (1) 4sin 5α=
……………6分(2) 34
π
β=………………12分 20．(1)由cos 3sin 0a C a C b c +--=及正弦定理得sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C +--=，因为B A C π=--，所以
3sin sin cos sin sin 0A C A C C --=，由于sin 0C ≠，所以
1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭,又0A π<<，故3A π=. …………6分
(2) ABC ∆的面积1
sin 32
S bc A =
=，故4bc =，而2222cos a b c bc A =+-，故228b c +=.解得2b c ==.…………12分 21. 解：（1）由条件可知：
2(cos sin()sin cos())2sin(2)666
x x x x x πππ
=⋅-+⋅-=-
∴
所以函数f （x ）零点满足，得，k ∈Z ． …6分
（2）由正弦定理得由（1）
，而f （A ）=2，得
∴
，又A ∈（0，π），得
∵A+B+C=π，∴
代入上式化简得
又在△ABC 中，有
，∴
，则有
即：………………………12分
22. （1）2
3
3()log 2log 1f x x x =++ ))3
2(cos(π
-=x f y 有意义则0)3
2cos(>-
π
x
∴2
23
22
2π
ππ
π
π+
<-
<-
k x k ，z k ∈
解得12512
πππ
π+
<<-
k x k ，定义域为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-125,12ππππk k ，z k ∈…………………4分
（2）233()log 2log 1f x x x =++=2
31log ）（+x ，∵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈3,271x ， ∴1log 33≤≤-x ∴函数()f x 的值域为[]4,0. 1sin sin 2sin cos )(2
2
+-=+--=θθθθθa a g ，θsin =t 则
1)()(2+-==at t g t θϕ，11≤≤-t 由题意知：[]{}11,14,02≤≤-+-=⊆t at t y y ，且对任
意[]4,0∈y ，总存在唯一⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈2,20ππθ,使得)(0θg y =即存在唯一[]1,10-∈t ，使得
)(0t y ϕ=……8分
以下分三种情况讨论：①当
12
-≤a
即2-≤a 时，则 ⎩
⎨
⎧≥-===≤+=-==42)1(max )()(0
2)1(min )()(max min a t g a t g ϕϕθϕϕθ，解得2-≤a ； ②当
212
≥≥a a
即时，则 ⎩⎨
⎧≤-===≥+=-==0
2)1()()(4
2)1()()(min min max max a t g a t g ϕϕθϕϕθ，解得2≥a ； ③当11222
a
a -<
<-<<即时，则 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+=-≥-=>∆02)1(42)1(0a a ϕϕ或⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+=-≤-=>∆02)1(42)1(0a a ϕϕ解得φ∈a 综上2-2≤≥a a 或……………………………………………………………12分。