高三数学-【数学】贵州省清华实验学校2018学年高三上

贵州省清华实验学校18-10学年高三上学期期中考试
数 学
2018-11-27
考试时间:120分钟 满分:150分
一、选择题：（12⨯5分=60分） 1．已知p ：
21
>x
，q ：x x <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．已知等比数列}{n a 中，12=a ，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ）
A ．]1,(--∞
B ．),1()0,(∞+-∞
C ．),3[∞+
D ．),3[]1,(∞+--∞ 3．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．抛物线
4．设二元一次不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥+-≥-+0
142080
192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ，使函数x a y )1(=
)10(≠>a a 且的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）
A ．［2，9］
B ．]1,1010[
C ．]21,91[
D ．]10
10
,91[
5．设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，已知)1,0(∈x 时，)1(log )(2
1x x f -=，则函数)(x f 在)2,1(上（ ）
A ．是减函数，且0)(>x f
B ．是减函数，且0)(<x f
C ．是增函数，且0)(>x f
D ．是增函数，且0)(<x f 6. 在等差数列}{n a 中,若1201210864=++++a a a a a ,则1193
1
a a -
的值为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 7. 已知4-<k ,则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是( )
A.1
B.1-
C.12+k
D.12+-k 8. 由 ,12,,5,3,1-n 构成数列}{n a ,数列}{n b 满足,21=b 当2≥n 时,1-=n b n a b ,则5b 等于( )
A.17
B.15
C.33
D.63
9. 已知函数)56(log )(2
2
1+-=x x x f 在),(+∞a 上是减函数,则a 的取值范围是( )
A.)1,(-∞
B.),3(+∞
C.)3,(-∞
D.),5[+∞ 10. 在数列}{n a 中,21=a ,当n 为奇数时,21+=+n n a a ;当n 为偶数时, 112-+=n n a a ,则12a 等于( )
A.32
B.34
C.66
D.64 11.函数)01(21
2
<≤-=-x y x
的反函数是( )
A.)121(
log 12≤<+-=x x y B.)121
(log 12≤<+=x x y C.)121(log 12<≤+-=x x y D.)12
1
(log 12≤≤+=x x y
12.设定义在R 上的函数)(x f 满足(1)当R n m ∈,
时,);()()(n f m f n m f ⋅=+(2)0)0(≠f （3）当0<x 时,1)(>x f ,则在下列结论中: ①1)()(=-⋅a f a f ②)(x f 在R 上是递减函数 ③存在0x ,使0)(0<x f ④若2)2(=
f ,则6
1
)61(,41)41(==f f
正确结论的个数是( )
A.1
B. 2
C.3
D.4 二、填空题（2054=⨯分)
13.函数f (x )=1
1x
-+log 2(2x －1)的定义域是 .
14.已知等差数列{a n }中，S n 表示其前n 项和，且S 1=1，S 19=95，则a 19= ， S 10= .
15.已知1tan 2sin )(++=x b x a x f ,且4)2(=-f ,那么_________)2(=+πf 16.已知)1()6
cos(
≤=-a a θπ
,则__________)3
2sin()65cos(
=-++θπ
θπ
三、解答题(共70分) 17. (12分)已知函数x ax
x
x f ln 1)(+-=
（Ⅰ）若函数)(x f 在),1[∞+上为增函数，求正实数a 的取值范围； （Ⅱ）当0>a 时，讨论)(x f 在)2,2
1(的单调性.
18．（本题满分12分）已知函数()f x 的定义域为{}
,0x x R x ∈≠且对定义域内的任意1x 、
2x ，都有1212()()(),1()0,(2) 1.f x x f x f x x f x f ⋅=+>>=且当时
（1）求证：()f x 是偶函数；
（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21) 2.f x -<
19．(本小题满分12分)在∆ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边；若向量(2,0)m =
与(sin ,1cos )n B B =-的夹角为3
π。

（1）求角B 的大小
（2）若3b =，求a+c 的取值范围。

20．（本题10分）已知函数).(ln 2
1)(2
R a x a x x f ∈+=
（1）若],1[)(e x f 在上是增函数，求a 的取值范围； （2）若3
3
2)(:,,1x x f e x a a <
≤≤=证明；
21．（本题满分12分）某宾馆有相同标准的床位100米，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结帐，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）
（1）把y表示成x的函数，并求出其定义域；
（2）试确定该宾馆将床位定价为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？
22. (本小题共12分)数列{a n}[满足a1=－1，且a n=3a n－１－2n+3(n=2，3，…).
(Ⅰ)求a2，a3，并证明数列{a n－n}是等比数列；
(Ⅱ)求a1+a2+a3+…+a n的值.
贵州省清华实验学校18-10学年高三上学期期中考试
数 学 答 案
一、选择题
1-5 ADBCA 6-10 CAADC 11-12 AB 二、填空题
13.112x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
﹤﹤
14. 9，30 15.2- 16.0 三、解答题 17.
（Ⅰ）由已知得)0(1
)(2
>-='a ax
ax x f 依题意：
01
2
≥-ax
ax 对),1[∞+∈x 恒成立 即：01≥-ax 对),1[∞+∈x 恒成立 也即：x
a 1
≥
对),1[∞+∈x 恒成立 ∴1)1(max =≥x
a 即1≥a （Ⅱ）∵2
1
)(ax ax x f -=
' ∴)(x f 在定义域),0(∞+上 满足)(x f 在]1,
0(a 上是减函数，在),1
[+∞a 是增函数 1 当2≥a 时，),1[)2,21(+∞⊂a ，∴)(x f 在)2,21
(上是增函数
2 当210≤<a 时，]1,0()2,21(a ⊂，∴)(x f 在)2,2
1
(上是减函数
3 当221<<a 时，)2,21(1∈a ，∴)(x f 在]1
,21(a 上是减函数
)(x f 在)2,1
[a
上是增函数
18． （1）证明 因对定义域内的任意1x 、2x 都有
121212()()(),,1f x x f x f x x x x ⋅=+==-令，则有
()()(
f x f x f -=+
- ……2分
又令121,2(1)(1)x x f f ==--=得 再令121,(1)0,(1)0,x x f f ===-=得从而 于是有()(),()f x f x f x -=所以是偶函数． （2）设2
1212111
0()()()(.
)x x x f x f x f x f x x <<-=-，则 221111
()()(
)(),x x
f x f x f f x x ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦ 由于21210,1,x x x x ><>所以
从而21
()0x
f x >， 故1212()()0()(),()(0,)f x f x f x f x f x -<<+∞，即所以在上是增函数． （3）由于(2)1,211(2)(2)(4),f f f f ==+=+=所以 于是待解不等式可化为2(21)(4)f x f -<， 结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于
2
214x -<
解得1010,022x x x ⎧⎫⎪⎪
-<<≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭
且． 19．（1）由题意得：222sin 1
cos
3
2||||2sin (1cos )m n B m n B B π
∙=
==∙+-，即
s i n 12
22c o s B B =- 222sin 1cos 2cos cos 10B B B B ∴=-∴--=1
cos cos 1()2
B B ∴=-=或舍去
0<B<π2
3
B π∴=
(2)由(1)知A+C=
3π而322sin sin sin sin 3
a c
b A C B π====2sin 2sin a
c A C ∴+=+
312[sin sin()]2(sin cos sin )2sin()3223
A A A A A A ππ
=+-=+-=+
0<A<
3π，∴3π<A+3π<23
π，(
()3,2a c ⎤∴+∈⎦
20．（1）],1[,)(e x a
x x f 且在+
=' 上是增函数， ],1[,0)(2e x a x
a
x x f 在即恒成立-≥≥+='∴上恒成立，
1-≥∴a
（2）证明：当],1[,ln 2
1)(,12
e x x x x
f a ∈+==时
.
03
2
21)1()(,],1[)(0)21)(1(21)(3
2
ln 2132)()(2
23
23<-=≤∴∴≤++-=-+='∴-+=-=F x F e x F x
x x x x x x x F x x x x x f x F 上是减函数在令 3
3
2)(,],1[x x f e x <∈∴时
21．（1）依题意有[]100575100(10)3575x y x x -⎧⎪=⎨--⨯-⎪⎩(10)(10)
x x ≤>，且*
x N ∈，
因为*0,y x N >∈， 由*1005750
,610,.10
x x x N x ->⎧≤≤∈⎨
≤⎩得
由[]10
,100(10)35750
x x >⎧⎪⎨
--⨯->⎪⎩得*1038,,x x N <≤∈ 所以函数为2
1005753130575x y x x -⎧=⎨-+-⎩
(,610
(,1038)x N a n d x x N a n d x ∈≤≤∈<≤， 定义域为{}
638,;x x x N ≤≤∈
（2）当10x =时，*
100575(610,)y x x x N =-≤≤∈取得最大值425元， 当10x >时，23130575y x x =-+-，仅当13065
2(3)3
x =-
=⨯-时，y 取最大值，
但*2
*
223130575(1038,)x N x y x x x x N ∈==-+-<≤∈，所以当时，取得最大值833元，
比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多． 22.
(Ⅰ)∵a 1=－1，且a n =3a n －l －2n +3，(n =2，3，…) ∴a 2=3a l －4+3=－4， a 3=3a 2－6+3=－15
当n≥2时，有
a n－n=3a n－1－2n+3－n＝3(a n－1－n＋1)
且a1－1=－2≠0，
所以数列{a n－n}(n＝1，2，…)是一个以－2为首项，3为公比的等比数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得a n－n＝－2·3n－１，
∴a n＝n－2·3n－1
∴a1+a2+a3+…+a n＝(1－2×1)＋(2－2×3)＋(3－2×32)＋…＋(n－2×3n－1)
＝(1＋2＋3＋…＋n)－(2×1+2×3+2×32+…+2×3n－1)
＝
2
(1)2(13)
31 2132
n
n
n n n n
+-+
-=-+
-
.。