【测试】《常数与幂函数的导数》练习2

《3.2.1常数与幂函数的导数》同步练习 1．抛物线y ＝14x 2在点(2，1)处的切线方程是( )
A ．x －y －1＝0
B ．x ＋y －3＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x ＋y －1＝0
[答案] A
2.lim Δx→0
(1＋Δx )2
－1Δx 表示( ) A ．曲线y ＝x 2的斜率
B ．曲线y ＝x 2在点(1，1)处的斜率
C ．曲线y ＝－x 2的斜率
D ．曲线y ＝－x 2在(1，－1)处的斜率
[答案] B
3．已知f (x )＝x 3，则f (x )的斜率为1的切线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．不能确定
[答案] B
4．函数f (x )＝5x 3，则f ′(x )＝________.
[答案] 35x －25
5．曲线y ＝2x 4＋3x 的斜率等于－5的切线的方程为____________．
[答案] 5x ＋y ＋6＝0
6．求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．
[解析] ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74不在抛物线y ＝14x 2上，
∴设切点为(x 0，y 0)，
由题意，得切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝1
2x 0，
切线方程为y －74＝1
2x 0(x －4)，
又点(x 0，y 0)在切线上，
∴y 0－74＝1
2x 0(x 0－4)，
又点(x 0，y 0)又在抛物线y ＝14x 2上，∴y 0＝1
4x 2
0，
∴14x 20－74＝1
2x 2
0－2x 0，解得x 0＝1或7，
∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1
4或⎝ ⎛⎭⎪⎫7，49
4，
所求的切线方程为：2x －4y －1＝0或14x －4y －49＝0.
7．设点P 是y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最短距离．
[解析] 根据题意得，平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切的切点为P ，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，即求在曲线y ＝e x 上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．
令P (x 0，y 0)，∵y ′＝(e x )′＝e x ，
∴由题意得e x 0＝1，得x 0＝0，
代入y ＝e x ，y 0＝1，即P (0，1)．
利用点到直线的距离公式得最短距离为2
2.。