高三数学第一轮复习第3讲 函数的定义域和值域

高三第一轮复习第3讲 函数的定义域和值域
一．定义域（使解析式有意义的自变量的取值构成的集合，实际问题还要考虑实际意义）
1．明确凡研究函数问题必须树立“优先考虑函数定义域”的良好习惯。

2．归纳初高中阶段所有基本初等函数的定义域。

3．求法：
（1）分式函数中分母不为0；
（2）开偶次方时，被开方数大于等于0；
（3）对数函数的真数大于0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）；
（4）0次幂的底数不为0。

例1．求下列函数的定义域 ①02
)45()
34lg(-++=x x x y ②x x x x f -+--=4lg 32)( 4．复合函数的定义域
求解复合函数定义域时只要把握如下两点就能迎刃而解。

（1） 定义域是指x 的区值范围。

（2） A,B 代表两个式子，对于相同对应法则f ，f(A)与f(B)中A 和B 有相同的范围。

例1．①已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求y=f(x+2)+f(x-2)定义域.
②已知函数f(x+3)的定义域是[-4，5]，求f(2x-3) 的定义域.
二．值域
1．归纳初高中阶段所有基本初等函数的值域
2．值域求法
（1）直接法
例1．函数1
2-=x y 的定义域是)5,2[)1,( -∞，求值域。

（2）二次函数法（含二次函数的值域）
例2．①已知2)(2--=x x x f ，定义域为 [1，3]，求其值域。

②求函数1cos sin 22+-=x x y 的值域。

③求函数R a a a x x x y ∈+∈++=],1,[,122的值域。

④设)(3,112
R a ax x y x ∈++=≤≤-求的值域。

（3） 换元法 例3．①求函数1234-∙+=x x y 的值域。

②求函数x x y 41312---=的值域。

（4） 基本不等式法
例4．求下列函数的值域 ①11++=x
x y ②1
432+++=x x x y ③)1(,4312->+++=x x x x y （5） 判别式法
例5．求下列函数的值域 ①1
432+++=x x x y ②4312+++=x x x y （6） 单调性法
例6．求下列函数的值域 ①x x y 41312---= ②],1[,1ln 2e x x
x y ∈-
= （7） 分离变量法
例7．求下列函数的值域 ①2
211x x y +-= ②14-+=x x y ③133+=x x
y ④x x y sin 2sin 2+-= （8） 求导法
利用导数求值域的与用导数求最值的步骤相同，对于各种类型的函数均适用，在次不再举例。

（9） 图象法
例8．求函数)3,2
1[),1(log 21-∈+=x x y 的值域。

（10） 数形结合
例9．①求函数4)2(122+-++=x x y 的值域。

②求函数|2||3|-++=x x y 的值域。

三．定义域与值域综合
例1． 设⎩⎨⎧<≥=1
||,1||,)(2x x x x x f ，g(x)是二次函数，若f[g(x)]的值域是),0[+∞，求g(x)的值
域.(答案),0[+∞)
例2． 设a>1，若对于任意的]2,[a a x ∈都有],[2
a a y ∈满足方程3log log =+y x
b a ，求
a 的取值范围。

例3． 若函数y=f(x)的值域是]3,21
[，求函数)
(1)()(x f x f x F +=的值域. 例4． 已知函数)2lg(2)(),1lg()(t x x g x x f +=+=(t 为参数).
（1） 当x ]1,0[∈时，函数g(x)有意义，求t 的取值范围.
（2） 当x ]1,0[∈时，恒有f(x)≤g(x)，求t 的取值范围. 例5． 设)2lg()(2a x ax x f +-=
（1） 若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

（2） 若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围。

例6．已知]3,1[12)(,13
12∈+-=≤≤x x ax x f a 在若函数上的最小值为),(a N 最大值为)(a M ．设)()()(a N a M a g -=．
（１）求)(a g 的函数解析式；
（２）求)(a g 的最大值和最小值．。