创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解

2017届高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 第2讲三
角恒等变换与解三角形训练 文
专題训练丨対接髙考
、选择题
…cos
答案 A
ABC 的面积是 2, AB= 1, BC = 2,则 AC =(
定理得AC = 1,A A ABC 为直角三角形，不符合题意，因此
=AB + BC — 2AB- BC Cos B = 1 + 2-2X 1 x .2X —# = 5,A AC=
5.故选 B.
答案 B
2
2
n
3.在厶ABC 中,内角A , B, C 所对的边分别是 a , b , c.若c = (a — b ) + 6, C =-,则厶ABC
3
的面积是（） D.3 3
解析 c 2 = (a — b )2 + 6, 即即 c 2= a 2 + b 2— 2ab + 6①.
A.5
B. 5
C.2
D.
1
解析 &
ABC
= 1A B- B (sin B = g x 1X 2sin B = 1, A sin
B =# ,若B = 45°,则由余弦
1.已知a € n
n , sin
=5，则
cos a
等于
（
A. —
10
C.—二或〜
10 10
B~
10
D.—-丄 10
解析
n
a+
7 €
5 n ，4n
■/ sin
…COs a =cos +4-
=COS a
4 —-X -
5 2
+
4
cos
4
+
sin
迈+3 x 也一也
a+f sin
4 7
10 2.钝角三角形 B = 135°，由余弦定理得 AC
A.3
■/ C= n3，由余弦定理得c2= a2+ b2—ab②，由①和②得
ab = 6, •- S\ABC = ^ab sin C = ^x 6x
-=—厂,故选 C.
sin A )，则 A =(
偏北30°的方向上，行驶 600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角
答案 C
4.（2016 •山东卷）△ ABC 中，角 A , B, C 的对边分别是 a , b , c ,已知b = c , a 2=2b 2(1 —
3n A. 2 n C.7 n
D.石 解析在厶ABC 中,
由余弦定理得 a 2= b 2 + c 2— 2bc cos A, •/ b = c , • a 2 = 2b 2
(1 — cos A ),
2 2
又••• a = 2b (1 — …cos n A = sin A , • tan A = 1, ■/ A € (0 , n ), • A = -4 ,故选 C. 答案
5.(2016 •全国川卷）在厶ABC 中, B =nh BC 边上的高等于£
B C 贝U sin A =（ ）
4 3
B £
解析 n
1 2
设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D,由题意 B = =, BD= -BC DC= ^BC tan / BAD= 1 ,
4 3 3
rv —
.八 ■
10
1 + 2
tan
/
CAD=
2
, tan A
= 1—X2 =
—
3
，所以
sin
答案 D 二、填空题
6.(2016 -四川卷)sin 750 解析 •/sin 0 = sin( k • 360°+ 0 ), (k € Z),
••• sin 750 ° = sin(2 x 360°+ 30° )=
sin 30 1
2
.
答案
7.如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西
为30°,则此山的高度 CD=
m.
ab= 6, •- S\ABC= ^ab sin C= ^x6x -=—厂,故选C.
解析在厶ABC 中，AB= 600 , / BAC= 30°, / ACB= 75°—30°= 45°,由正弦定理得
=30°, CD= BC an / CBD= 300 2 • tan 30 ° = 100 6.
答案 100 6
(1)求AB 的长;
宀 AC AB 定理，得 =- sin B
sin -
AB
BC
o
BC
一〜 即 sin / BAC sin / ACB sin 30
晶磐一，所以 BC = 300 2.在 Rt
△ BCD 中, / CBD
8.在厶ABC 中，内角 代B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知△ ABC 的面积为3,15,
b — c
1
=2,
cos A
=—
4,
则a 的值为
解析 ■/ cos 1
A = —
4, 0v A v n , • sin A =^4
15
,
1
S MBC = 2"bc sin 1
A =2bc x
4
3 15,「. bc = 24,
又 b — c = 2,
••• b 2 — 2bc + c 2 = 4, b 2 + c 2= 52,由余弦定理得,
2 2 2
a =
b +
c — 2bc cos A = 52 — 2x 24x
4 = 64,「. a = 8. 4
答案 8 三、解答题
9.(2016 •江苏卷)在厶 ABC 中, AC= 6, cos
o 4^
n B = 5 C =N .
A -自的值.
4
解(1)由 cos B =，且 0<B < n ，则
5
(2)cos
sin
B = 1 — cos 2
B= 3，又T 。

=寸，AC 6, 由正弦
丽
.2-2
=
6-3-5
(2)由(1)得：sin
3 4 B =~, cos B =;, sin
5 5
C = cos C =
10. (2016 •广西南宁测试)在厶ABC 中，角 A B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知cos 2 A —3cos( B + C ) = 1. (1)求角A 的大小；
(2)若厶ABC 勺面积S = 5 3, b = 5,求sin B sin C 的值.
2
解 ⑴ 由 cos 2 A — 3cos( B + C ) = 1，得 2cos A + 3cos A — 2 = 0,即(2cos A — 1)(cos A + 1 n
2) = 0,解得 cos A =㊁或 cos A =— 2(舍去)，因为 0< A v n ，所以 A^ -3. (2)由 S = f bc sin A = f bc • f=-4%= 5 3，
2 2 2
得 bc = 20,又 b = 5,知 c = 4,由余弦定理得 a = b + c — 2bc cos A = 25+ 16— 20 = 21 ,
故 a = 21.
b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sin B sin C = sin A •-sin A = 2sin 兔=乙^二=二.
a
a
a
21 4 7
11. (2016 •南昌调研)△ ABC 中内角A , B, C 的对边分别为 a , b , c ,已知a = b cos O c sin
B
(1) 求 B ；
(2) 若b = 2,求厶ABC 面积的最大值• 解(1)由已知及正弦定理得 sin A = sin B cos C+ sin C sin B,① 又 A = n — (B + C ),
故 sin A = sin( B + C = sin B cos C + cos B sin C.② 由①，②和 C € (0 , n )得 sin B = cos B.
n
又 B € (0 , n )，所以 B = 丁.
4 1 yJ 2
⑵△ ABC 的面积 S = ?ac sin B=〒ac .
2
2
jn
由已知及余弦定理得 4= a + c — 2ac cos —.
则 sin A = sin( B + C = sin B cos C + cos B sin
C=
座
10
cos A = — cos( B+ C ) =— (cos
B cos
C — sin B sin C )=—
7t
A cos —
6
+ sin ^in n
=
6
7(2 —、.. 6 20 需，则cos
cos
2 2
又a + c >2 ac, 故ac<
当且仅当a= c时，等号成立
因此△ ABC面积的最大值为2+ 1.。