八年级数学上册第五章相交线与平行线单元试卷章末训练(Word版 含解析)

八年级数学上册第五章相交线与平行线单元试卷章末训练（Word版含解析）
一、选择题
1．如图，∠1＝20º，AO⊥CO，点B、O、D在同一条直线上，则∠2的度数为
（）
A．70ºB．20ºC．110ºD．160º
2．下列说法中错误的是（）
A．一个锐角的补角一定是钝角；B．同角或等角的余角相等；
C．两点间的距离是连结这两点的线段的长度；D．过直线l上的一点有且只有一条直线垂直于l
3．如图，修建一条公路，从王村沿北偏东75︒方向到李村，从李村沿北偏西25︒方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（）．
A．100︒B．80︒C．75︒D．50︒
4．下列说法：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④两点之间直线最短，其中正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5cm，
BC=3cm，那么平行线a，b之间的距离为（）
A ．5cm
B ．4cm
C ．3cm
D ．不能确定
6．如图，OC 是∠AOB 的平分线，直线l ∥OB ．若∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．65°
D ．80°
7．如下图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5，能判定AB ∥CD 的条件为（ ）
A ．①②③④
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③ 8．下列语句是命题的是（ ） A ．平分一条线段 B ．直角都相等
C ．在直线AB 上取一点
D ．你喜欢数学吗？ 9．下列命题：①两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；②两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等；④面积相等的两个三角形肯定全等；⑤有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，直线12l l //，被直线3l 、4l 所截，并且34l l ⊥，144∠=，则2∠等于（ ）
A ．56°
B ．36°
C ．44°
D ．46°
11．如图，直线a ，b 被直线c 所截，且a//b ，若∠1=55°，则∠2等于（ ）
A．35°B．45°C．55°D．125°
12．如图，下列说法错误的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1＝∠2，则a∥c C．若∠3＝∠2，则b∥c D．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c
二、填空题
13．如图，△ABC的边长AB =3 cm，BC=4 cm，AC=2 cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（a ＜4 cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为_______cm．
14．一个七边形棋盘如图所示，7个顶点顺序从0到6编号，称为七个格子．一枚棋子放在0格，现在依逆时针移动这枚棋子，第一次移动1格，第二次移动2格，…，第n次移动n格．则不停留棋子的格子的编号有_____．
15．如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连结AB．∠ABM 的平分线BC交PQ于点C，连结AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，则∠ACD的度数是_____．
16．如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠COB,若∠EOB=55°,则∠BOD=_________.
17．规律探究：同一平面内有直线1a 、2a 、3a ，⋯，100a ，若12//a a ，23a a ⊥，34//a a ，45a a ⊥，⋯，按此规律，1a 与100a 的位置关系是______．
18．两个角的两边分别平行,一个角是50°,那么另一个角是__________.
19．如图，请你添加一个条件．．．．
使得AD ∥BC ，所添的条件是__________．
20．如图，//AB CD ，GF 与AB 相交于点H ，与CD 于F ，FE 平分HFD ∠，若50EHF ∠=︒，则HFE ∠的度数为______．
三、解答题
21．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m ，n ，l （即始终满足m ∥n ∥l ）和一副直角三角尺ABC ，DEF （∠BAC ＝∠EDF ＝90°，∠FED ＝60°，∠DFE ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝45°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图1，展翅组把三角尺ABC 的边BC 放在l 上，三角尺DEF 的顶点F 与顶点B 重合，边EF 经过AB ，顶点E 恰好落在m 上，顶点D 恰好落在n 上，边ED 与n 相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m 向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A 、D 分别落在m 和l 上，顶点C 恰好落在n 上，边AC 与l 相交所成的一个角记为∠2，边DF 与m 相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；
结论应用
（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N 是直线n 上一点，CN 恰好平分∠ACB 时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．
22．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．问题迁移：
(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，
∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
(2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
23．已知AB∥CD，点C在点D的右侧，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE相交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，
①若∠ABC=50º，∠ADC=70º，求∠BED的度数；
②请直接写出∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，试猜想∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系，并说明理由．
24．如图，直线MN∥GH，直线l1分别交直线MN、GH于A、B两点，直线l2分别交直线MN、GH于C、D两点，且直线l1、l2交于点E，点P是直线l2上不同于C、D、E点的动点．
（1）如图①，当点P在线段CE上时，请直写出∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系：；
（2）如图②，当点P在线段DE上时，（1）中的∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明成立的理由；如果不成立，请写出这三个角之间的数量关系，并说明理由．
（3）如果点P在直线l2上且在C、D两点外侧运动时，其他条件不变，请直接写出
∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系．
25．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
26．已知：∠1＝∠2，EG 平分∠AEC．
(1)如图1，∠MAE＝50°，∠FEG＝15°，∠NCE＝80°．试判断EF 与CD 的位置关系，并说明
理由．
(2)如图2，∠MAE＝135°，∠FEG＝30°，当AB∥CD 时，求∠NCE 的度数；
(3)如图2，试写出∠MAE、∠FEG、∠NCE 之间满足什么关系时，AB∥CD．
27． [问题解决]：如图1，已知AB∥CD，E是直线AB，CD内部一点，连接BE，DE，若
∠ABE=40°，∠CDE=60°，求∠BED的度数．
嘉琪想到了如图2所示的方法，但是没有解答完，下面是嘉淇未完成的解答过程：
解：过点E作EF∥AB，
∴∠ABE=∠BEF=40°
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
…
请你补充完成嘉淇的解答过程：
[问题迁移]：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：
如图3，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，设∠BAP=α，∠DCP=β．
（1）当点P在B，D两点之间运动时(P不与B，D重合)，求α，β和∠APC之间满足的数量关系．
（2）当点P在B，D两点外侧运动时(P不与点O重合)，直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
28．如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．
（1）求证：∠ABC+∠ADC=90°；
（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD 的度数；
（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上
一点，且∠NCD=1
2
∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是______．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由AO⊥CO和∠1＝20º求得∠BOC＝70º，再由邻补角的定义求得∠2的度数．
【详解】
∵AO⊥CO和∠1＝20º，
∴∠BOC＝90 º-20 º＝70º，
又∵∠2+∠BOC＝180 º（邻补角互补），
∴∠2＝110º．
故选：C．
【点睛】
考查了邻补角和垂直的定义，解题关键是利用角的度数之间的和差的关系求未知的角的度数．
2．D
解析：D
【详解】
解：D选项中缺少先要条件，就是在同一平面内
故选：D
3．B
解析：B
【分析】
根据平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，即可完成求解．
【详解】
∵王村沿北偏东75︒方向到李村
∴175∠=
∵从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，且从李村沿北偏西25︒方向到张村 ∴()()2180125180752580∠=-∠+=-+=
∴张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为80︒
故选：B ．
【点睛】
本题考查了方位角、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，从而完成求解．
4．A
解析：A
【分析】
据平行线的性质可判断①③错误；根据对顶角相等，可判断②错误；据线段的性质可判断④错误；即可得出结论．
【详解】
解：①在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故①错误； ②对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故②错误；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误；
④两点之间线段最短；故④错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行公理、平行线的性质、相等的性质、对顶角相等的性质；熟记有关性质是解决问题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距
离，并由勾股定理可得出答案．
【详解】
解：∵AC⊥b，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴（cm），
∴平行线a、b之间的距离是：AC=4cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线之间的距离，以及勾股定理，关键是掌握平行线之间距离的定义，以及勾股定理的运用．
6．C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质可求∠AOB，再根据角平分线的定义求得∠BOC，再根据平行线的性质可求∠2．
【详解】
∵l∥OB，
∴∠AOB+∠1=180°
∴∠AOB＝180°﹣∠1＝130°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠BOC＝65°，
∴∠2＝∠BOC＝65°．
故选：C．
【点睛】
考查了角平分线，平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补的知识点．
7．C
解析：C
【详解】
解：①∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1=∠2，
∴AD∥BC；
③∵∠3=∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B=∠5，
∴AB∥CD；
∴能得到AB∥CD的条件是①③④．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，解题关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、内错角、同旁内角. 平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行.
8．B
解析：B
【分析】
根据命题的定义分别进行判断．
【详解】
A.平分一条线段，为描述性语言，不是命题；
B.直角都相等，是命题；
C.在直线AB上取一点，为描述性语言，不是命题；
D.你喜欢数学吗？是疑问句，不是命题．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
9．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判断定理逐项判断即可．
【详解】
解：①两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故该项错误；
②两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，符合AAS定理，故该项正确；
③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，有可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形，故该项错误；
④面积相等的两个三角形不一定全等，因为形状可能不相同，故该项错误；
⑤有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合ASA定理，故该项正确．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查对全等三角形的判定定理的掌握，正确理解判定定理是解题关键．
10．D
解析：D
【分析】
依据l1∥l2，即可得到∠1=∠3=44°，再根据l3⊥l4，可得∠2=90°-44°=46°．
【详解】
解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠1=∠3=44°，
又∵l3⊥l4，
∴∠2=90°-44°=46°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
11．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据图示可得：∠1和∠2是同位角，根据两直线平行，同位角相等可得：
∠2=∠1=55°.
考点：平行线的性质
12．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据平行线的判定进行判断即可．
解：A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；
B、若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；
C、∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；
D、若∠3+∠5=180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；
故选C．
考点：平行线的判定．
二、填空题
13．9
【分析】
根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．
【详解】
∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平
解析：9
【分析】
根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．
【详解】
∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平移a cm
∴DE=AB=3cm，BE=a cm
∴EC=BC－BE=(4－a)cm
∴阴影部分周长=2+3+(4－a)+a=9cm
故答案为：9
【点睛】
本题考查平移的特点，解题关键是利用平移的性质，得出EC=BC－BE．
14．2，4，5
【解析】
【分析】
因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝12n（n+1），然后再根据题目中所给的第n次依次移动n个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.
【详解】
解：因棋
解析：2，4，5
【解析】
【分析】
因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝n（n+1），然后再根据题目中所给的第n次依次移动n个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.
【详解】
解：因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝n（n+1），应停在第n（n+1）﹣7p格，
这时p是整数，且使0≤n（n+1）﹣7p≤6，分别取n＝1，2，3，4，5，6，7时，
n（n+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停留棋子，
若7＜n≤10，设n＝7+t（t＝1，2，3）代入可得， n（n+1）﹣7p＝7m+12t（t+1），
由此可知，停棋的情形与n＝t时相同，
故第2，4，5格没有停留棋子．
故答案为：2，4，5．
此题主要考查推理与论证，解题的关键是根据题意分析运动规则，再列出式子来解答. 15．27°．
【解析】
【分析】
延长FA与直线MN交于点K，通过角度的不断转换解得∠BCA=45°.
【详解】
解：延长FA与直线MN交于点K，
由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°
解析：27°．
【解析】
【分析】
延长FA与直线MN交于点K，通过角度的不断转换解得∠BCA=45°.
【详解】
解：延长FA与直线MN交于点K，
由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠FAD=45°-(90°-∠AFD)=∠AFD，
因为MN∥PQ，所以∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°，
所以∠ACD=∠AFD=(∠ABM-90°)=∠BCD-45°，即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°，
所以∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-∠BCA=45°-18°=27°.
故∠ACD的度数是：27°.
【点睛】
本题利用平行线、垂直、角平分线综合考查了角度的求解.
16．70°
【解析】
【分析】
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线,根据，因与互为邻补角，则+=180°，从而求出∠BOD的大小.
∵OE 平
解析：70°
【解析】
【分析】
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线,根据2COB EOB ∠=∠，因AOC ∠与COB ∠互为邻补角，则
AOC ∠+COB ∠=180°，从而求出∠BOD 的大小.
【详解】
∵OE 平分∠COB ，
∴∠COB=2∠EOB （角平分线的定义），
∵∠EOB=55°，
∴∠COB=110°，
∵AOC ∠+COB ∠=180°，
∴∠BOD=180°−110°=70°.
故答案是：70°
【点睛】
此题主要考查了邻补角、角平分线的性质，关键是掌握邻补角互补.
17．互相垂直．
【解析】
【分析】
依据，，，，，可得，即可得到与的位置关系是互相垂直．
【详解】
解：，，，
，
按此规律，，
又，，
，
以此类推，
，
，
故答案为：互相垂直．
【点睛】
本题主要
解析：互相垂直．
【解析】
【分析】
依据12a //a ，23a a ⊥，34a //a ，45a a ⊥，⋯，可得14n a a ⊥，即可得到1a 与100a 的位置关系是互相垂直．
【详解】
解：12a //a ，23a a ⊥，34a //a ，
14a a ∴⊥，
按此规律，58a a ⊥，
又45a a ⊥，⋯，
18a a ∴⊥，
以此类推，14n a a ⊥
100425=⨯，
1100a a ∴⊥，
故答案为：互相垂直．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是根据已知条件得出规律：14n a a ⊥． 18．130°或50°
【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是
解析：130°或50°
【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是130°或50°．
故答案为：130°或50°．
19．∠EAD ＝∠B 或∠DAC ＝∠C
【解析】
当∠EAD ＝∠B 时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC ；
当∠DAC ＝∠C 时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC ；
当∠DAB+∠B
解析：∠EAD ＝∠B 或∠DAC ＝∠C
【解析】
当∠EAD ＝∠B 时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC ；
当∠DAC ＝∠C 时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC ；
当∠DAB+∠B=180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC ，
故答案是：∠EAD ＝∠B 或∠DAC ＝∠C 或∠DAB+∠B=180°（答案不唯一）.
20．65°
【分析】
由AB//CD 可得∠HFD=130︒，再由FE 平分∠HFD 可求出∠HFE．
【详解】
∵
∴∠EHF+∠HFD=180°
∵
∴∠HFD=130°
∵平分，
∴∠HFE=∠HFD=
解析：65°
【分析】
由AB//CD 可得∠HFD=130︒，再由FE 平分∠HFD 可求出∠HFE ．
【详解】
∵//AB CD
∴∠EHF+∠HFD=180°
∵50EHF ∠=︒
∴∠HFD=130°
∵FE 平分HFD ∠，
∴∠HFE=12∠HFD=1130652
⨯︒=︒ 故答案为：65°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键．
三、解答题
21．（1）75°；（2）见解析；（3）∠2＝3∠3
【分析】
（1）利用三角板的度数，求出∠DBC 的度数，再利用平行线的性质得到∠BDN 的度数，由此得到∠1的度数；
（2）过B 点作BG ∥直线m ，利用平行线的性质可得到∠3＝DBG 和∠LAB ＝∠ABG ，再利用等量代换得到∠3+∠LAB ＝75°，利用余角性质得到∠LAB ＝90°-∠2，由此证明结论；
（3）结论：∠2＝3∠3．利用（2）中结论，结合平行线的性质得到∠2和∠3的度数由此证明结论．
【详解】
（1）∵直线n∥直线l，
∴∠DBC＝∠BDN，
又∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BDN＝15°，
∴∠1＝90°﹣15°＝75°．
（2）如图所示，过B点作BG∥直线m，
∵BG∥m，l∥m，
∴BG∥l（平行于同一直线的两直线互相平行），
∵BG∥m，
∴∠3＝DBG，
又∵BG∥l，
∴∠LAB＝∠ABG，
∴∠3+∠LAB＝∠DBA＝30°+45°＝75°，
又∵∠2和∠LAB互为余角，
∴∠LAB＝90°﹣∠2，
∴∠3+90°﹣∠2＝75°，
∴∠2﹣∠3＝15°．
（3）结论：∠2＝3∠3．
理由：在（2）的条件下，∠2﹣∠3＝15°，
又∵CN平分∠BCA，
∴∠BCN＝∠CAN＝22.5°，
又∵直线n∥直线l，
∴∠2＝22.5°，
∴∠3＝7.5°，
∴∠2＝3∠3．
【点睛】
考查平行线的性质并结合了三角板中的特殊角度，学生需要作辅助线利用平行线的传递性将特殊的角的关系联系起来，熟悉掌握平行线之间角的关系是解题的关键．
∠=∠+∠，理由见解析；
22．（1）CPDαβ
∠=∠-∠；
（2）当点P在B、O两点之间时，CPDαβ
∠=∠-∠.
当点P在射线AM上时，CPDβα
【分析】
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出
∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出结论．
【详解】
解：(1)∠CPD＝∠α＋∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E.
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝∠α＋∠β.
(2)当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β－∠α.
理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE－∠DPE＝∠β－∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α－∠β.
理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE－∠CPE＝∠α－∠β.
【点睛】
本题考查了平行线的性质的运用，主要考核了学生的推理能力，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用平行线的性质进行推导．解题时注意：问题（2）也可以运用三角形外角性质来解决．
23．（1）①∠BED=60º；②∠BED=1
2
∠ABC+
1
2
∠ADC；（2）∠BED=180º-
1 2∠ABC+
1
2
∠ADC，理由见解析．
【分析】
（1）①过点E作EF∥AB，然后说明AB∥CD∥EF，再运用平行线的性质、角平分线的性质和角的和差即可解答；
②利用平行线的性质和角平分线的性质即可确定它们的关系．
（2）过点E作EF∥AB，再运用平行线的性质、角平分线的定义和角的和差即可确定它们的关系．
【详解】
（1）①如图1，过点E作EF∥AB．
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF，∠EDC=∠DEF．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABC=50º，∠ADC=70º
∴∠ABE=1
2∠ABC=15025
2
⨯=
°°，
∠EDC=1
2∠ADC=17035
2
⨯︒=︒，
∴∠BEF=25º，∠DEF=35º，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=25º+35º=60º；
②∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF=1
2∠ABC，∠EDC=∠DEF=1
2
∠ADC；．
∴∠BED=∠BEF +∠DEF =1
2∠ABC+1
2
∠ADC
∴∠BED=1
2∠ABC+1
2
∠ADC
（2）如图2，过点E作EF∥AB．
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠EDC=∠DEF，
∵∠ABE+∠BEF=180º，
∴∠BEF=180º-∠ABE．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=1
2∠ABC，∠DEF=1
2
∠ADC，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180º-1
2∠ABC+1
2
∠ADC．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线构造平行线并灵活利用平行线的性质是解答本题的关键．
24．（1）∠APB＝∠NAP+∠HBP；（2）见解析；（3）∠HBP＝∠NAP+∠APB
【分析】
（1）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求解；
（2）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求解；
（3）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解.
【详解】
解：（1）如图①，过P点作PQ∥GH，
∵MN∥GH，
∴MN∥PQ∥GH，
∴∠APQ＝∠NAP，∠BPQ＝∠HBP，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB＝∠NAP+∠HBP，
故答案为：∠APB＝∠NAP+∠HBP；
（2）如图②，过P点作PQ∥GH，
∵MN∥GH，
∴MN∥PQ∥GH，
∴∠APQ+∠NAP＝180°，∠BPQ+∠HBP＝180°，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB＝（180°﹣∠NAP）+（180°﹣∠HBP）＝360°﹣（∠NAP+∠HBP）；
（3）如备用图，
∵MN∥GH，
∴∠PEN＝∠HBP，
∵∠PEN＝∠NAP+∠APB，
∴∠HBP＝∠NAP+∠APB.
故答案为：∠HBP＝∠NAP+∠APB.
【点睛】
此题考查了平行公理的推论：平行于同一条直线的两直线平行，以及平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟记定理是解题的关键.
25．（1）a＝3，b＝1；（2）当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC 与∠BCD的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC＝2:3．
【分析】
(1)利用绝对值和完全平方式的非负性即可解决问题.
(2)分三种情况，利用平行线的性质列出方程即可解决.
(3)将∠BAC和∠BCD分别用t的代数式表示，然后在进行运算即可.
【详解】
（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．
又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）2≥0．
∴a＝3，b＝1；
故答案为a=3，b=1.
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（30+t）×1，
解得t＝15；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，
解得t＝82.5；
③当120＜t＜150时，
3t﹣360＝t+30，
解得t＝195＞150（不合题意）
综上所述，当t ＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.
故答案为：t=15秒或t=82.5秒.
（3）设A 灯转动时间为t 秒，
∵∠CAN ＝180°﹣3t ，
∴∠BAC ＝45°﹣（180°﹣3t ）＝3t ﹣135°，
又∵PQ ∥MN ，
∴∠BCA ＝∠CBD+∠CAN ＝t+180°﹣3t ＝180°﹣2t ，
∵∠ACD ＝90°，
∴∠BCD ＝90°﹣∠BCA ＝90°﹣（180°﹣2t ）＝2t ﹣90°，
∴∠BCD ：∠BAC ＝2：3．
故答案为：∠BAC 与∠BCD 的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC ＝2:3.
【点睛】
本题考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、解方程等知识，读懂题目的意思，掌握好平行线的性质是解题的关键.
26．（1）//EF CD ，证明见解析 （2）75° （3）2FEG NCE MAE +=∠∠∠，证明见解析
【分析】
（1）根据12∠=∠可得//MB EF ，根据角的和差关系和角平分线的性质可得
80CEF NCE ==︒∠∠，从而得证//EF CD ；
（2）根据12∠=∠可得//MB EF ，根据平行线的性质以及角平分线的性质可得18075NCE GEC FEG =︒--=︒∠∠∠；
（3）根据12∠=∠可得//MB EF ，根据平行线的性质可得
180AEG FEA FEG MAE FEG =+=︒-+∠∠∠∠∠，再根据角平分线的性质可得1802FEC MAE FEG =︒-+∠∠∠，再根据平行线的性质即可得
2FEG NCE MAE +=∠∠∠．
【详解】
（1）//EF CD
∵12∠=∠
∴//MB EF
∴50AEF MAE ==︒∠∠
∴501565AEG AEF FEG =+=︒+︒=︒∠∠∠
∵EG 平分∠AEC
∴65CEG AEG ==︒∠∠
∴651580CEF CEG FEG =+=︒+︒=︒∠∠∠
∴80CEF NCE ==︒∠∠
∴//EF CD ；
（2）∵12∠=∠
∴//MB EF
∵∠MAE ＝135°
∴18045AEF MAE =︒-=︒∠∠
∵∠FEG ＝30°
∴75AEG AEF FEG =+=︒∠∠∠
∵EG 平分∠AEC
∴75GEC =︒∠
∵//AB CD
∴18075NCE GEC FEG =︒--=︒∠∠∠；
（3）2FEG NCE MAE +=∠∠∠
∵12∠=∠
∴//MB EF
∴180MAE FEA +=︒∠∠
∴180FEA MAE =︒-∠∠
∴180AEG FEA FEG MAE FEG =+=︒-+∠∠∠∠∠
∵EG 平分∠AEC
∴GEC AEG =∠∠
∴FEC GEC FEG =+∠∠∠
∴180FEC MAE FEG FEG =︒-++∠∠∠∠
∴1802FEC MAE FEG =︒-+∠∠∠
∵//,//AB CD AB EF
∴//EF CD
∴180FEC NCE +=︒∠∠
∴1802180MAE FEG NCE ︒-++=︒∠∠∠
∴2FEG NCE MAE +=∠∠∠．
【点睛】
本题考查了平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的性质、角的和差关系是解题的关键．
27．[问题解决]见解析；[问题迁移]（1） ∠APC=α+β；（2） 当点P 在BN 上时，∠APC=β-α；当点P 在OD 上时，∠APC=α-β．
【分析】
问题解决：过点E 作EF ∥AB ，依据平行线的性质，即可得到∠BED 的度数；
问题迁移：（1）过P 作PQ ∥AB ，依据平行线的性质，即可得出α，β和∠APC 之间满足的数量关系．
（2）分两种情况讨论：过P 作PQ ∥AB ，易得当点P 在BN 上时，∠APC=β-α；当点P 在OD 上时，∠APC=α-β．
【详解】
问题解决：
如图2，过点E 作EF ∥AB ，
∴∠ABE=∠BEF=40°
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠BED=∠B+∠D=40°+60°=100°；
问题迁移：
（1）如图3，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BAP=∠APQ，∠DCP=∠CPQ，
∴∠APC=∠BAP+∠DCP，即∠APC=α+β；
（2）如图4，当点P在BN上时，∠APC=β-α；
如图5，当点P在OD上时，∠APC=α-β．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等，并利用角的和差关系进行推算．
28．（1）见解析；（2）225°；（3）3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【分析】
(1)如图1中，过E作EF∥a，利用平行线的性质即可解决问题；
(2)如图2中，作FM∥a，GN∥b，设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，可得x+y=45°，证明∠AFB=180°-（2y+x），∠CGD=180°-（2x+y），推出∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y）即可解决问题；
(3)分两种情形：①当点N在∠DCB内部时，②当点N′在直线CD的下方时，分别画出图形求解即可．
【详解】
(1)证明：如图1中，过E作EF∥a．
∵a∥b，
∴a∥b∥EF，
∵AD⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵EF∥a，
∴∠ABE=∠BEF，
∵EF∥b，
∴∠ADC=∠DEF，
∴∠ABC+∠ADC=∠BED=90°．
(2)解：如图2中，作FM∥a，GN∥b，
设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，
由（1）知：2x+2y=90°，x+y=45°，
∵FM∥a∥b，
∴∠BFD=2y+x，
∴∠AFB=180°-（2y+x），
同理：∠CGD=180°-（2x+y），
∴∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y），
=360°-3×45°=225°．
(3)解：如图，设PN交CD于E．
当点N在∠DCB内部时，∵∠CIP=∠PBC+∠IPB，∴∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE，
∵PN平分∠EPB，
∴∠EPB=∠EPI，
∵AB∥CD，
∴∠NPE=∠CEN，∠ABC=∠BCE，
∵∠NCE=1
2
∠BCN，
∴∠CIP+∠IPN=3∠PEC+3∠NCE=3（∠NCE+∠NEC）=3∠CNP．
当点N′在直线CD的下方时，同理可知：∠CIP+∠CNP=3∠IPN，
综上所述：3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【点睛】
本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。