正弦函数与余弦函数的图像与性质.doc

2019年全国卷数学文科第一轮复习资料
第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质
A 组
1．已知函数f (x )＝sin(x －π
2
)(x ∈R )，下面结论错误的是．
①函数f (x )的最小正周期为2π②函数f (x )在区间[0，π
2
]上是增函数
③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称④函数f (x )是奇函数
2．函数y ＝2cos 2
(x －π4
)－1是________．
①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数
③最小正周期为π2的奇函数 ④最小正周期为π
2
的偶函数
3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π
2
，则f (x )的最大值为________．
4．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝π
12
，则a 的值为
________．
5．(原创题)设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝π
3
对称，它的最小正
周期是π，则f (x )图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．
6．设函数f (x )＝3cos 2
x ＋sin x cos x －32
.
(1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和．
B 组
1．函数f (x )＝sin(23x ＋π2)＋sin 2
3
x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．
2．给定性质：a 最小正周期为π；b 图象关于直线x ＝
π
3
对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab 的是________．
①y ＝sin(x 2＋π6) ②y ＝sin(2x ＋π6) ③y ＝sin|x | ④y ＝sin(2x －π
6)
3．若π4<x <π2，则函数y ＝tan2x tan 3
x 的最大值为__．
4．函数f (x )＝sin 2
x ＋2cos x 在区间[－23
π，θ]上的最大值为1，则θ的值是________．
5．若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－2π3，2π
3
]上单调递增，则ω的最大值为________．
6．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π
2
，0]，则x 0＝
________.
7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π
2
，直线x ＝
π
3
是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________． ①y ＝4sin(4x ＋π6)②y ＝2sin(2x ＋π3)＋2③y ＝2sin(4x ＋π3)＋2 ④y ＝2sin(4x ＋π
6
)＋2
8．有一种波，其波形为函数y ＝sin π
2
x 的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的
最高点)，则正整数t 的最小值是________． 9．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是________．
10．已知向量a ＝(2sin ωx ，cos 2
ωx )，向量b ＝(cos ωx,23)，其中ω>0，函数f (x )＝a ·b ，若f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π.
(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意实数x ∈[π6，π
3]，恒有|f (x )－m |<2成立，求实数m 的
取值范围
11．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．
(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
(2)当x ∈[0，π
6
]时，f (x )的最大值为4，求m 的值．
12．已知函数f (x )＝3sin ωx －2sin
2
ωx
2
＋m (ω>0)的最小正周期为3π，且当x ∈[0，π]
时，函数 f (x )的最小值为0. (1)求函数f (x )的表达式；
(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2
B ＝cos B ＋cos(A －
C )，求sin A 的值．
第四节 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像
A 组
1．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是________．
2．年高考湖南卷改编)将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数
y ＝sin(x －π
6
)的图象，则φ等于________．
3．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．
4．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)，x ∈R 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．
①函数f (x )的最小正周期为π
2
；
②函数f (x )的振幅为23；
③函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝7
12π；
④函数f (x )的单调递增区间为[π12，7
12
π]；
⑤函数的解析式为f (x )＝3sin(2x －2
3
π)．
5．(原创题)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 1＋2010)成立，则ω的最小值为________．
6．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2
)＋2cos 2
ωx ，x ∈R (ω>0)，在y 轴
右侧的第一个最高点的横坐标为π
6
.
(1)求ω；
(2)若将函数f (x )的图象向右平移π
6
个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的
4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．
B 组
1．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
2．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.
3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π
4
)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝
cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象________．
4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ) 的图象如图所示，f (π2)＝－2
3
，则f (0)＝________.
5．将函数y ＝sin(2x ＋π
3
)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点
(－π
12，0)中心对称．
6、定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪3 cos x 1 sin x 的图象向左平移m 个
单位(m >0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是________．
7．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π
6
个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx
＋π
6)的图象重合，则ω的最小值为________．
8．给出三个命题：①函数y ＝|sin(2x ＋π3)|的最小正周期是π2；②函数y ＝sin(x －3π
2
)
在区间[π，3π2]上单调递增；③x ＝5π4是函数y ＝sin(2x ＋5π
6
)的图象的一条对称轴．其
中真命题的个数是________．
10．设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2
ωx (ω>0)的最小正周期为2π3
.
(1)求ω的值；
(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π
2
个单位长度得到，求y ＝g (x )的单
调增区间．
11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π
2
)的周期为π，且图象
上一个最低点为M (2π
3
，－2)．
(1)求f (x )的解析式；
(2)当x ∈[0，π
12]时，求f (x )的最值．
12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π
2
.
(1)若cos π4cos φ－sin 3π
4
sin φ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π
3
，求函数
f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．
第六章 三角恒等变形
第一节 同角三角函数的基本关系
A 组 1． 已知sin α＝
55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于_______ 2．已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－3
5
，则cos β的值为________．
3．如果tan α、tan β是方程x 2
－3x －3＝0的两根，则sin(α＋β)cos(α－β)
＝________.
4．(已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π
6
)的值是___．
6．已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝6
2
.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π
2
，π)，求cos β的值．
B 组
1.cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α
的值为________． 2．已知cos(π4＋x )＝35，则sin2x －2sin 2
x
1－tan x
的值为________．
3．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π
3)，则tan α＝________.
4．设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α－π4)＝35，sin(3π4＋β)＝5
13
，则sin(α＋β)
＝________.
5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈(0，π
2
)，则cos(α－β)的值等于________．
6．已知角α在第一象限，且cos α＝3
5，则1＋2cos(2α－π
4)
sin(α＋π
2)
＝________.
7．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝2
5
，则tan(α
＋π
4)的值为________．
8.tan10°tan70°
tan70°－tan10°＋tan120°
的值为______． 9．已知角α的终边经过点A (－1，15)，则sin(α＋π
4
)
sin2α＋cos2α＋1
的值等于________．
10．求值：cos20°
sin20°
·cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°.
11．已知向量m ＝(2cos x 2，1)，n ＝(sin x
2
，1)(x ∈R )，设函数f (x )＝m ·n －1.
(1)求函数f (x )的值域；
(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f (A )＝513，f (B )＝3
5
，求f (C )的值．
12．已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝4
5
.
(1)求sin2β的值；
(2)求cos(α＋π
4
)的值．
第二节 两角和与差及二倍角的三角函数
A 组
1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π
4)＝________.
2．已知π<θ<3
2
π，则
12＋12
12＋1
2
cos θ＝________. 3．计算：cos10°＋3sin10°
1－cos80°＝________.
4．函数y ＝2cos 2
x ＋sin2x 的最小值是__________________．
6．已知角α∈(π4，π
2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.
(1)求tan(α＋π
4)的值；
(2)求cos(π
3
－2α)的值．
1．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π
4
)＝_____.
2．若3sin α＋cos α＝0，则1
cos 2α＋sin2α
的值为________．
5．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π
4
)的值为_________．
6．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2
x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________． 7．2cos5°－sin25°cos25°
的值为________．
8．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.
10．已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2
(π－α)
1＋cos2α
的值．
11．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正
半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，4
5
)，记∠COA ＝α.
(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2
的值．
12．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B
cos A ＋cos B
，sin(B －A )＝cos C .
(1)求角A ，C .
(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c .。