备战高三数学高考怎样分类讨论解答集合问题(例题解析

数学：怎样分类讨论解答集合问题
解答某些集合问题，需要分类讨论，但同学们却不知道怎样去分类讨论。

有时是不知道为什么要分类讨论；有时是不知道以什么为标准去分类讨论；有时又不知道分哪几类去讨论。

本文就这些问题举例加以说明，期望能给同学们以启迪。

一、按集合中对应的元素进行分类讨论
例1A=B
分析：根据集合相等的定义，A与B中除公共元素a外，另两个元素应分别对应相等，即
解
否则B中三元素相同，矛盾)
此时B中三元素相同，矛盾。

，消，
而， 。

将代入
34b a =-。

从而可得,,,,,4224a a a a A a B a ⎧⎫⎧⎫=-=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩
⎭，满足A=B 。

二、从反面入手分类讨论
例2 已知知集合{}1,2,A a =，{}
22,3,B a =，{}1,2,3,4C =，a R ∈，则集合()A B C 不可能是( )
A.{}2
B.{}1,2
C.{}2,3
D.{}3
分析：我们暂时难以知道()A
B C 不可能是哪种情况，但我们可以从反面考虑这个问题，即从题意可以考虑()A
B C 有可能取哪几种情况，于是从选择支提供的信息，可以分类进行讨论。

解：如果()A
B C ={}2，则可取0a =(当然，其它的值也可以，如5a =、3a =-等)；如果()A B C ={}1,2，则1a =-；如果()A B C ={}2,3，则3a =。

故选D 。

三、按集合中元素的特征分类讨论
例3
分析：根据题意，集合A 中的元素的特征是：方程2
210ax x ++=中有一个解，而这个方程可以是一元二次方程，也可以是一元一次方程(后一种情况同学们容易忽视)，究竟是哪种方程，则由a 的取值来决定。

因此，应对a 的取值情况分类讨论 解
A 中只
有一个元素。

A
四、利用数轴表示集合分类讨论
例4 已知集合{}23A x x =-≤≤，{}12B x a x a =-≤≤+，若A
B =∅，求a 的取值范围。

分析：把集合A 、B 在数轴上表示出来，
如图，因为B ≠∅，而集合A 在数轴上是确
定的，集合B 在数轴上随a 的变化而变化，
所以，要使A B =∅，只要B 位于A 的左或
右侧即可，故按B 的位置分两种情况分类讨论。

解：如图，把集合A 、B 在数轴上表示出
来。

因为两数1a -与2a +在数轴上对应的两点
之间的距离为3，所以B ≠∅，故要使A B =∅，
只要22a +<-或13a ->，即4a <-或4a >。

故所求a 的取值范围是4a <-或4a >。

五、按子集逐个分类讨论
例5 {}222(1)10B x x a x a =+++-=，A B B =，求实数
分析：因为A B B =，所以B A ⊆A 的子集有4个，故需要对这4个子集逐个分类讨论。

解 又因为A B B =，所以B A ⊆。

(1)则222(1)100x a x a +++-=∆<的，即22
4[(1)(1)]0a a +--<，
得
(2)若，把代入方程22
2(1)10x a x a +++-=得
又由方程222(1)10x a x a +++-=仅有一解得22
4[(1)(1)]0a a ∆=+--=，
解得1a =-
1a =-。

(3)
若时，
把代入方程222(1)10x a x a +++-=
得
{}{}12,44B =--≠-
(4)
则()()222202(1)01042(1)410a a a a ⎧+++-=⎪⎨-++-+-=⎪⎩，
当
点评：本题第(3)问可以用与第(2)问一样的解法去求角，但这里用了另一种解法，目的是为了开拓同学们的解题思路；第(4)问也可用另一种更简单的解法，即根与系数的关系求解，由()()0421a +-=-+得到1a =。

六、按集合中的元素逐个分类讨论
例6A=B
A与B。

分析A=B
xy=这集合A中的三个元素均有可能为00
三种情况进行讨论。

解A=B
xy=。

(Ⅰ)B中有两个元素0，与集合中的元素互异性矛盾；
(Ⅱ)
xy=。

这时，又分以下两种情况：
(Ⅲ)若0
① 或 ②
A 、
B 中的三个元素均为0，应舍去；
A 、
B 中都有两个0元素，也应舍去。

点评：本题综合性较强,要用分层讨论。

0xy =这三种种情况。

对0xy =时，又分①、②这两种情况进行第二层讨论。

分层讨论是个难点，希望同学们要有信心突破这个难点。

七、按集合中元素的个数分类讨论
例7 设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，求满足{}{}1,3,5,7,91,3,5,7A =的所有集合
A 的个数有多少?
分析：因为{}{}1,3,5,7,91,3,5,7A =，所以集合A 一定含有1、3、5、7这四个元素，一定不含9这个元素。

即集合A 至少有四个元素(1、3、5、7)，最多可含八个元素(1、3、5、7、2、4、6、8)，故可按集合A 中的元素个数的多少分类讨论来解答这道题。

解：因为{}{}1,3,5,7,91,3,5,7A =，所以集合A 一定含有1、3、5、7这四个元素，一定不含9这个元素。

即集合A 至少有四个元素，最多可含八个元素。

若集合A 仅有四个元素，则{}1,3,5,7A =；
若集合A 有五个元素，则{}1,3,5,7,2A =，或{}1,3,5,7,4A =，或{}1,3,5,7,6A =，若{}1,3,5,7,8A =；
若集合A 有六个元素，则{}1,3,5,7,2,4A =，或{}1,3,5,7,2,6A =，或{}1,3,5,7,2,8A =，或
{}1,3,5,7,4,6A =，或{}1,3,5,7,4,8A =，或{}1,3,5,7,6,8A =； 若集合A 有七个元素，则{}1,3,5,7,2,4,6A =，或{}1,3,5,7,2,4,8A =，或{}1,3,5,7,2,6,8A =，或
{}1,3,5,7,4,6,8A =； 若集合A 有八个元素，则{}1,3,5,7,2,4,6,8A =。

综上所述，满足条件的所有集合A 的个数有1464115++++=个。

八、利用Venn 图分类讨论
例8 已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合A 与B 都是全集U 的子集。

并满足条件{}1,2A B =且{}1,2,3,4A B =。

试写所有满足条件的集合A 与B 。

分析：画出右图所示的Venn 图，只要确定3与
4放在哪个区域内，就能写出相应的集合A 与B 。

于
是，可根据这个Venn 图，按3与4所在的区域进行
讨论。

解：根据题意，画出右图所示的Venn 图。

当3与4都在A B 左侧的半圆内时，{}{}1,2,3,4,1,2A B ==；
当3与4中有一个A B 左侧的半圆内时，{}{}1,2,3,1,2,4A B ==或{}{}1,2,4,1,2,3A B ==；
当3与4都在A B 右侧的半圆内时，{}{}1,2,1,2,3,4A B ==。

综上所述，满足条件的集合A 与B 是：{}{}1,2,3,4,1,2A B ==，或
A B 215
{}{}1,2,3,1,2,4A B ==，或{}{}1,2,4,1,2,3A B ==，或{}{}1,2,1,2,3,4A B ==。

点评：这种分类讨论的方法可以用于A B 及A B 中有更多元素的情形。