2015届【导与练】高校信息化课堂(理科数学) 二轮复习 高考压轴题训练(五) Word版含解析]
2015湖北高考压轴卷数学(理)(Word版含详细答案)
2015湖北高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合1{|0}3x P x x -=>+，{|Q x y ==A ．B ．C ．D ．2.设复数z 的共轭复数为，若，则的值为A.1 B ．2 C ．D ．43.的展开式中，二项式系数的最大值为A ．5B ．10C ．15D ．204.已知是周期为2的奇函数，当时，设6()5a f =,35()22b fc f ==（），则( )A.B.C.D.5.已知是半径为5的圆的内接三角形，且若则的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．6.若某个几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．cm 3B ．cm 3C ．cm 3D ．cm 37.A.-2B.32C.1D.328.如图，大正方形的面积是，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则 小花朵落在小正方形内的概率为. . . .9.（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F 的直线（斜率存在）交双曲线于P 、Q两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知函数的图象上关于y 轴对称的点至少有5对，则实数a 的取值范围是A. 05（，B. 5（）C. 7（）D.07（， 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．(一)必考题（11～14题）11.设数列{a n }是公差为d 的等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99．则d= ；a n = ；数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时，n= ．12.已知两个电流瞬时值的函数表达式唯爱，，，它们合成后的电流瞬时值的函数的部分图象如图所示，则，．13.执行如图所示的流程图，则输出的n 为 ．14.设函数的定义域为R ，若存在常数对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”.现给出下列函数：①；②2+2f （x)=x ；③22()25xf x x x =-+；④是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切均有1212|)()4||f x f x x x -≤-（.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.（二）选考题（请考生在第15,16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分）15．如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC=1，CD=3，则PB= ．16.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数和为参数.以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17.（本小题满分10分）已知函数的图象与的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点之间的距离为（1）求的解析式；（2）在中，，且，求的周长的最大值。
江苏省2015届高三理科数学二轮专题整合52份
专题一 函数与导数、不等式 ....................................................................................................... 2 专题二 三角函数与平面向量 ....................................................................................................... 26 专题三 数 列................................................................................................................................. 42 专题四 立体几何........................................................................................................................... 53 专题五 解析几何........................................................................................................................... 59 专题六 概率与统计....................................................................................................................... 79 专题七 附加题（选作部分） ....................................................................................................... 83 专题八 数学思想方法................................................................................................................. 109 补偿练 1 集合与简易逻辑 ........................................................................................................ 125 补偿练 2 函数与导数(一) ......................................................................................................... 128 补偿练 3 函数与导数(二) ......................................................................................................... 132 补偿练 4 不等式................................................................................. 135 补偿练 5 三角函数与三角变换 ................................................................................................ 140 补偿练 6 平面向量与解三角形 ................................................................................................ 145 补偿练 7 数 列........................................................................................................................ 150 补偿练 8 立体几何.................................................................................................................... 153 补偿练 9 解析几何.................................................................................................................... 157 补偿练 10 统计与概率.............................................................................................................. 161 补偿练 11 复数、程序框图 ...................................................................................................... 165 规范练(一) 三角问题 ................................................................................................................ 171 规范练(二) 立体几何问题 ........................................................................................................ 174 规范练(三) 解析几何问题 ........................................................................................................ 178 规范练(四) 实际应用问题 ........................................................................................................ 181 规范练(五) 数列问题 ................................................................................................................ 185 规范练(六) 函数与导数问题 .................................................................................................... 189 突破练(一) .................................................................................................................................... 193 突破练(二) .................................................................................................................................... 200 突破练(三) .................................................................................................................................... 206
2015届山东省高考压轴卷数学(理)Word版含解析
2015山东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数,则对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则()U C A B =（ ）A ．φB ． {1，2，3，4}C ． {2，3，4}D ． {0，11，2，3，4}3.已知全集集合2{|log (1)A x x =-},{|2}xB y y ==,则()U C A B = ( )A ．0-∞（，）B ．0,1]（C ．(,1)-∞D ．(1,2) 4.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是5.曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与轴、轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6.设随机变量服从正态分布,若,则的值为( ) A ． B ．C ．D ．7.取值范围是（）8.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x、m、n的值而定9.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A． B． C． D．10.已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．12.如图，在中，是边上一点，，则的长为13.已知实数x，y满足x>y>0，且x+y2，则的最小值为▲．14.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.15.设函数的定义域分别为，且，若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数．设，为在R上的一个延拓函数，且g(x)是奇函数．给出以下命题：①当时，②函数g(x)有5个零点；③ 的解集为；④函数的极大值为1，极小值为-1;⑤ ，都有.其中正确的命题是________．（填上所有正确的命题序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．17.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，.（1）求证：;（II）求二面角的余弦值.18.(本题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立.(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率;(2) 设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)19.（本小题满分10分）已知是数列的前n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，记是数列的前n项和，证明：。
浙江省2015届高考压轴数学(理)试题word 版 含答案
2015浙江省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．合集{0,1,2,3},{2}U U C M ==，则集合M=（ ）A ．{0，1，3}B ．{1，3}C ．{0，3}D ．{2}2．已知复数z 满足(2)(1)i i i z +-=⋅（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．-1+3iB ．-1-3iC ．1+3iD ．1-3i3．已知向量=（3cos α，2）与向量=（3，4sin α）平行，则锐角α等于（ ） A ．B ．C ．D ．4．三条不重合的直线a ，b ，c 及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）A ． 若a ∥α，a ∥β，则α∥βB ． 若α∩β=a ，α⊥γ，β⊥γ，则a ⊥γC ． 若a ⊂α，b ⊂α，c ⊂β，c ⊥α，c ⊥b ，则α⊥βD ． 若α∩β=a ，c ⊂γ，c ∥α，c ∥β，则a ∥γ5.执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是 （ ） A ．10 B ．17 C ．26 D ．286．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx x f ,则下列说法错误的是 （ ）A ． 函数f(x)的周期为2πB ． 函数f(x)的值域为RC ． 点（6π，0）是函数f(x)的图象一个对称中心D ．23()()55f f ππ< 7.已知5250125(),a x a a x a x a x -=++++若2012580,a a a a a =++++则= （ ）A ．32B ．1C ．-243D ．1或-2438．已知a 、b 都是非零实数，则等式||||||a b a b +=+的成立的充要条件是 （ ）A ．a b ≥B ．a b ≤C ．1ab≥ D ．1a b≤ 开始 S =1，i =1结束i =i +2i >7输出S 是否S =S +i9．已知函数()log (1)a f x x a =>的图象经过区域6020360x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则a 的取值范围是（ ）A ．(31,3⎤⎦B ．(33,2⎤⎦C ．)33,⎡+∞⎣D ．[)2,+∞10．作一个平面M ，使得四面体四个顶点到该平面的距离之比为1:1:1:2，则这样的平面M 共能作出（ ▲ ）个．A ．4 B. 8 C. 16 D.32二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11.已知双曲线：221916x y -=，则它的焦距为__ _；渐近线方程为__ _ 焦点到渐近线的距离为__ _．12.在ABC ∆中，若1,3,AB AC AB AC BC ==+=，则其形状为__ _，BA BC BC=__（①锐角三角形 ②钝角三角形 ③直角三角形，在横线上填上序号）； 13.已知,x y 满足方程210x y --=，当3x >时，则353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为 __ _．14. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.15．若,,A B C 都是正数，且3A B C ++=，则411A B C +++的最小值为 16．已知0a >且1a ≠，则使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解时的k 的取值范围为 ．17．已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，使得3m n a b +=成立，则n a = ．.22221122 1221正视图侧视图俯视图二、填空题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 18．已知函数f （x ）=1﹣2sin （x+）[sin （x+）﹣cos （x+）]（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）当x ∈[﹣，]，求函数f （x+）的值域．19．（本小题满分14分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 等比数列，满足222112233,,.b a b a b a ===（I ）求数列{}n b 公比q 的值；（II ）若2121a a a =-<且，求数列{}n a 公差的值；20.一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。
2015年高考理科数学押题密卷
2015年高考理科数学押题密卷(全国新课标II卷)2015年高考绝密押题，仅限VIP会员学校使用，版权所有，严禁转载或商业传播，违者必究；说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B＝（A）{x|2≤x≤3}（B）{x|2≤x＜3}（C）{x|2＜x≤3}（D）{x|－1＜x＜3}（2）1－i(1＋i)2＋1＋i(1－i)2＝（A）－1 （B）1 （C）－i （D）i（3）若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60?，a ·(a ＋b )等于（A ）4 （B ）6 （C ）2＋ 3 （D ）4＋23（4）等比数列}{n a 的前321,2,4,a a a S n n 且项和为成等差数列，若a 1=1，则S 4为 （A ）7 （B ）8 （C ）16 （D ）15 （5）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）8＋2 5 （B ）6＋2 5 （C ）8＋2 3 （D ）6＋23 （6）(x 2－ 1 x)6的展开式中的常数项为（A ）15 （B ）－15 （C ）20 （D ）－20 （7）执行右边的程序框图，则输出的S 是 （A ）5040 （B ）4850 （C ）2450 （D ）2550（8）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋3，x ≤0，3－x ，x ＞0，则方程f (x )＋1＝0的实根个数为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0（9）若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 14，则双曲线的离心率为（A ）52 （B ）233 （C ） 5 （D ）32（10）偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为奇函数，且f (1)＝1，则f (89)＋f (90) 为（A ）－2 （B ）－1 （C ）0 （D ）1（11）某方便面厂为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋方便面随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该方便面5袋，能获奖的概率为 （A ）3181 （B ）3381 （C ）4881 （D ）5081（12）给出下列命题:○110.230.51log 32()3<<; ○2函数4()log 2sin f x x x =-有5个零点; ○3函数4()612-+-=ln x x f x x 的图像以5(5,)12为对称中心; ○4已知a 、b 、m 、n 、x 、y 均为正数，且a ≠b ，若a 、m 、b 、x 成等差数列，a 、n 、b 、y 成等比数列，则有m > n ，x <y ．其中正确命题的个数是（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． （13）由直线x ＝1，y ＝1－x 及曲线y ＝e x 围成的封闭图形的面积为_________． （14）数列{a n }的通项公式a n ＝n sinn π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 015＝__________.（15）已知x 、y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值等于___________．（16）已知圆O : x 2＋y 2=8，点A (2，0) ，动点M 在圆上，则∠OMA 的最大值为__________．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知f (x )=sin (2x －56π)＋2cos 2x ． （Ⅰ）写出f (x )的对称中心的坐标和单增区间；（Ⅱ）△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若f （A ）=0，b ＋c =2．求a 的最小值．（18）（本小题满分12分）某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人．（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为X ，求X 的分布列和期望E (X )．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )（19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC ＝2 ，AB ＝BB 1＝2，∠BCC 1＝?4，点E 在棱BB 1上. （Ⅰ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若BE ＝λBB 1，试确定λ的值，使得二面角A -C 1E -C 的余弦值为55.（20）（本小题满分12分）设抛物线y 2=4m x （m >0）的准线与x 轴交于F 1，焦点为F 2；以F 1 、F 2为焦点，离心率e = 1 2 的椭圆与抛物线的一个交点为2(3E ；自F 1引直线交抛物线于P 、Q 两个不同的点，点P 关于x 轴的对称点记为M ，设11F P F Q λ=u u u r u u u r． （Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程； （Ⅱ）若1[,1)2λ∈，求|PQ |的取值范围． （21）（本小题满分12分）已知f (x )＝e x (x －a －1)－ x22＋ax ．（Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）若x ≥0时，f (x )＋4a ≥0，求正整数a 的值． 参考值：e 2≈7.389，e 3≈20.086请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，∠C ＝90o ，BC ＝8，AB ＝10，O 为BC 上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边、AB 边分别交于点D 、E ，连结DE ． （Ⅰ）若BD ＝6，求线段DE 的长；（Ⅱ）过点E 作半圆O 的切线，切线与AC 相交于点F ，证明：AF ＝EF ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋3t y ＝23＋t（t 为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|．（Ⅰ）解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；（Ⅱ）若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |f ( ba)．理科数学参考答案2015年高考绝密押题，仅限VIP 会员学校使用，版权所有，严禁转载或商业传播，违者必究； 一、选择题： CABDA ACBBD DC 二、填空题：（13） e － 3 2； （14）1007； （15）－1； （16）4π．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）化简得：f （x ）=cos （2x ＋π3）＋1 ……………………3分对称中心为：ππ∈+()(,1)212k z k 单增区间为：ππππ∈--()2[,]36k z k k ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：23A ππ∴+=于是：3A π=………………………9分根据余弦定理：2222cos3a b c bc π=+-=24343()12b cbc +-≥-=当且仅当1b c ==时，a 取最小值1． ………………………12分（18）（Ⅰ）由题意可得列联表：因为k ＝800(60×500－140×100)2160×640×200×600＝16.667＞10.828． ……………………6分所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关． （Ⅱ）每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率0.375．将频率视为概率，即每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率为 3 8．由题意可知X ?B(3， 38)，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝ 98． ………………………12分（19）解：（Ⅰ）因为BC ＝2 ，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝ ?4，在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B ＝2 ， ……………………2分所以C 1B 2＋BC 2＝CC 21，C 1B ⊥BC ．又AB ⊥侧面BCC 1B 1，故AB ⊥BC 1，又CB ∩AB ＝B ，所以C 1B ⊥平面ABC ． …………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC ，BA ，BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B (0，0，0)，A (0，2，0)，C (2 ，0，0)，C 1A →＝(0，2，－2 )，C 1E →＝C 1B →＋λBB 1→＝C 1B →＋λCC 1→＝(－2 λ，0，2 λ－2 )， 设平面AC 1E 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·C 1A →＝0，m ·C 1E →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2 z ＝0，2 λx ＋(2 －2 λ)z ＝0，令z ＝2 ，取m ＝(2 (λ－1)λ，1，2 )，………9分又平面C 1EC 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，所以cos ?m ，n ?＝m ·n |m ||n |＝1___________?__________2(λ－1)2λ2＋3＝5 5，解得λ＝ 1 2．所以当λ＝ 12时，二面角A -C 1E -C 的余弦值为55. ………………………12分 （20）解：（Ⅰ）由题设，得：22424199a b+= ①a 2－b 2a ＝ 12②由①、②解得a 2＝4，b 2＝3，椭圆的方程为22143x y +=易得抛物线的方程是：y 2＝4x ． …………………………4分 （Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2) 、M (x 1，－y 1) ，由11F P F Q λ=u u u r u u u r 得：y 1=λy 2 ○3 设直线PQ 的方程为y ＝k (x ＋1)，与抛物线的方程联立，得：y 1 y 2＝4 ○4 y 1＋y 2＝4k ○5 …………………………7分 由○3○4○5消去y 1，y 2得：224(1)k λλ=+ …………………………8分由方程○*得：||||PQ k = 化简为：4241616||k PQ k -=，代入λ： ∵ 1[,1)2λ∈，∴ 15(2，]2λλ+∈ …………………………11分 于是：2170||4PQ <≤ 那么：||(0,]2PQ ∈ …………………………12分 （21）解：（Ⅰ）f ?(x )＝e x (x －a )－x ＋a ＝(x －a )(e x －1)，由a＞0，得：x∈(－∞，0)时，f?(x)＞0，f(x)单增；x∈(0，a)时，f?(x)＜0，f(x)单减；x∈(a，＋∞)时，f?(x)＞0，f(x)单增．所以，f(x)的增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)；减区间为(0，a)． (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x≥0时，f min(x)＝f(a)＝－e a＋a2 2，所以f(x)＋4a≥0，得e a－a22－4a≤0．…………7分令g(a)＝e a－a22－4a，则g?(a)＝e a－a－4；令h(a)＝e a－a－4，则h?(a)＝e a－1＞0，所以h(a)在(0，＋∞)上是增函数，又h(1)＝e－5＜0，h(2)＝e2－6＞0，所以?a0∈(1，2)使得h(a0)＝0，即a∈(0，a0)时，h(a)＜0，g?(a)＜0；a∈(a0，＋∞)时，h(a)＞0，g?(a)＞0，所以g(a)在(0，a0)上递减，在(a0，＋∞)递增．又因为g(1)＝e－ 12－4＜0，g(2)＝e2－10＜0，g(3)＝e3－92－12＞0，所以：a＝1或2. …………12分（22）解：（Ⅰ）∵BD 是直径，∴∠DEB ＝90o ，∴BE BD ＝BC AB ＝ 4 5，∵BD ＝6，∴BE ＝ 24 5， 在Rt△BDE 中，DE ＝BD 2－BE 2＝ 18 5． …………5分（Ⅱ）连结OE ，∵EF 为切线，∴∠OEF ＝90o ，∴∠AEF ＋∠OEB ＝90o ，又∵∠C ＝90o ，∴∠A ＋∠B ＝90o ，又∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠B ，∴∠AEF ＝∠A ，∴AE ＝EF ． …………10分（23）解：（Ⅰ）C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为参数），l ：x －3y ＋9＝0． ……………4分 （Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92．由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝3 5，cos θ＝－ 4 5． 故P (－ 8 5， 33 5)． ……………10分 （24）解：（Ⅰ）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧－2x －2，x ≤－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ≥1．当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立；当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3． …………4分 所以不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}． …………5分（Ⅱ）f (ab )＞|a |f ( b a)即|ab －1|＞|a －b |． …………6分因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |．故所证不等式成立．…………10分 2020-2-8。
2015年高考冲刺压轴山东卷数学(理卷二)(附答案解析)
2015年高考冲刺压轴卷·山东数学（理卷二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．第Ⅰ卷 选择题（共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．（2015·山东烟台市二模·1)2．（2015·山东日照市高三校际联合检测·1)复数121iz i+=-（i 是虚数单位）的共轭复数z 表示的点在（ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限3. （2015·山东青岛市二模·3)高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,,56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（ ）A ．30B ．31C ．32D ．334．（2015·山东潍坊市二模·3) 已知命题44,0:≥+>∀xx x p ；0x 命题212),,0(:00=+∞∈∃x x q ，则下列判断正确的是（ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题C ．)(q p ⌝∧是真命题D ．q p ∧⌝)(是真命题5．（2015·山东德州市二模·5)已知关于x 的不等式18x x a --+≥的解集不是空集，则a 的取值范围是（ ）A ． 9a ≤-B ． 7a ≥C ． 97a -≤≤D ． 97a a ≤-≥或6．（2015·山东济宁市二模·6)7．（2015·山东烟台市二模·9)8．（2015·山东聊城市二模·7)已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A,B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ）A ．117-或B ． 1-C ． 11-或D ．19. （2015·山东临沂市二模·5)执行右面的程序框图，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为（ ）A.（11，12）B.（12，13）C.（13，14）D.（13，12）10．（2015·山东淄博市二模·10)设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F做与，x 轴垂直的直线交两渐近线于A,B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()4,,25OP OA OB R λμλμλμ=+=∈uu u r uu r uu u r ，则双曲线的离心率e 是（ ）A B ．2C ．52D ．54第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（2015·山东聊城市二模·11)在ABC ∆中，若54sin ,cos 135A B ==，则c o s C =_________．12．（2015·山东德州市二模·11)某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩()2~100,X N a （0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人．13．（2015·山东菏泽市二模·11)已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是 _____ 14．（2015·山东烟台市二模·14)15. （2015·山东青岛市二模·15)若不等式2222()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（2015·山东潍坊市二模·15)（本小题满分12分）已知向量)0)(1,(cos ),cos ,sin 3(2>=-=ωωωωx x x ，把函数21)(+⋅=x f 化简为B tx A x f ++=)sin()(ϕ的形式后，利用“五点法”画)(x f y =在某一个周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表所示：x 12π127π ①ϕω+x0 2π 23π π2)(x f11-（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求ω的值及函数)(x f y =在区间]6,2[ππ-上的值域； （Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1)62(=+πA f ，2=c ，7=a ，求⋅．17．（2015·山东德州市二模·17)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，=1202,BCD AB PC AP BP ∠====，． （1）求证：AB PC ⊥;（II ）求二面角B PC D --的余弦值．18．（2015·山东聊城市二模·17)（本小题满分12分）如图，某快递公司送货员从公司A 处准备开车送货到某单位B 处，有A →C →D →B ，A →E →F →B 两条路线．若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如A →C →D 算作两个路段；路段AC 发生堵车事件的概率为16，路段CD 发生堵车事件的概率为110）． （I ）请你为其选择一条由A 到B 的路线，使得途中发生堵车事件的概率较小； （II ）若记路线A →E →F →B 中遇到堵车路段的个数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ）．19. （2015·山东淄博市二模·18)（本小题满分12分）已知函数()()()log 01,,2m n f x x m m a n =>≠且点在函数()f x 的图象上．（I ）若()3n n n b a f a m =⋅=，当时，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （II ）设lg n nn n na a c m m =⋅，若数列{}n c 是单调递增数列，求实数m 的取值范围．20．（2015·山东青岛市二模·20)（本小题满分13分）已知抛物线1:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 229x y +=上． （Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）已知椭圆2:C 2222 1 (0)x y m n m n+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，若椭圆2C 上存在关于直线:l 1143y x =+对称的两个不同的点，求椭圆2C 的离心率e 的取值范围．21．（2015·山东烟台市二模·20)2015年高考冲刺压轴卷·山东数学（理卷二）参考答案与解析1．B【命题立意】本题旨在考查不等式的求解，集合的运算．【解析】由于A={x||x －1|≤2}={x|－1≤x ≤3}，则A ∩B={x|－1≤x<1}，故C U （A ∩B ）={x|x<－1或x ≥1}． 2．C【命题立意】本题旨在考查复数的除法运算与几何意义． 【解析】分母实数化乘以它的共扼复数1+i,()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222Z +++-+====-+--+,Z ∴的共扼复数为13i 22Z -=--，它表示的点为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限． 3．B【命题立意】本题考查了系统抽样及其应用. 【解析】56144k ==，则样本中4名同学的座号依次构成以4为首项，14为公差的等差数列，故样本中还有一个同学的座号是31. 4．C【命题立意】本题考查命题及符合命题真假的判断。
2015届高校信息化课堂(理科数学) 二轮复习课件 附录 1.核心知识整合
易忘提醒 (1)求解与函数有关的问题,如值域、单调区间、判断奇偶性,求极值、求最值等等,都必 须注意定义域优先的原则.实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还要使实际 问题有意义. (2)分段函数的求值(解不等式)问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解. (3)求函数单调区间时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”,它们之 间只能用“,”隔开或者用“和”字连接;单调区间不能用集合或不等式表示,必须用区间 表示. (4)判断函数的奇偶性时,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数解析式化简 处理,但必须使定义域不受影响.
附录 核心知识整合
一、集合与常用逻辑用语
知识必备
1.集合的子集的个数 (1)对于含有n个元素的集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2n,2n-1,2n-1,2n-2.
(2)空集( )是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
2.集合中的两个重要结论 (1)A∩B=A⇔A⊆B. (2)A∪B=A⇔B⊆A.
(5)利用指数函数、对数函数的单调性时,易忽视对底数的讨论. (6)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,但f(a)f(b)>0时,不能否定函数y=f(x)在(a,b)内有零点.函数的 零点有“变号零点”和“不变号零点”,对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能 为力”的,在解决函数零点问题时要注意这个问题.
3.四种命题及其相互关系 (1)
(2)互为逆否命题的两命题同真同假.
4.充分条件和必要条件 (1)若 p⇒ q 且 q p,则称 p 是 q 的充分不必要条件; (2)若 p q 且 q⇒ p,则称 p 是 q 的必要不充分条件; (3)若p⇔q,则称p是q的充要条件; (4)若 p q 且 q p,则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
2015新课标1高考压轴卷 数学(理) Word版
2015新课标1高考压轴卷理科数学一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的.1．已知随机变量ξ服从正态分布2N(0,)σ，(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤= A ．0.954 B ．0.977 C ．0.488 D ．0.4772．对任意复数),(R y x yi x z ∈+=，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） .A y z z 2=- .B 222y x z += .C x z z 2≥- .D y x z +≤ 3.已知映射B A f →:,其中R B A ==，对应法则21||:x y x f =→，若对实数B k ∈，在集合A 中不存在元素x 使得k x f →:，则k 的取值范围是（ ） A ．0≤k B ．0>k C ．0≥k D ． 0<k4.已知函数()()ϕ+=x sin x f 2错误！未找到引用源。
，其中错误！未找到引用源。
为实数，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤6πf x f 错误！未找到引用源。
对错误！未找到引用源。
恒成立， 且 ()ππf f >⎪⎭⎫⎝⎛2错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的单调递增区间是 A．()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-63ππππ错误！未找到引用源。
B ．()Z k k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，2πππ错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++326ππππ D ．()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ2错误！未找到引用源。
5．如图，已知圆22:(3)(3)4M x y -+-=，四边形 ABCD 为圆M 的内接正方形，E F 、分别为边AB AD 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范围是 （ ）A．[-B ．[6,6]- C．[-D ．[4,4]-6.在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为,a b .则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为B A .12B .1532C .1732D .31327、一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为（ ）A ．3B ．25 C ．2 D ．278、阅读程序框图，若输入m =4，n =6，，则输出a ，i 分别是（ ） A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i == D ．8,4a i ==9、设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为654321,,,,,a a a a a a ， 若对任意的)6,5,4,3,2(=ia i 总有)5,4,3,2,1(=<k i k a k ，满足,1||=-k i a a 则这样的排列共有（ ）A ．36B ．32C ．28D ．2010. 过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长1FM 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中13C C 、有一个共同的焦点，若1MF MN=，则曲线1C 的离心率为11D.1211、若实数a ，b ，c ，d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（B ） AB ．９C ．８D ．212．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 ,00 ,1)(x x xx x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同实数解的充要条件是 （ ）A ．2-<b 且0>cB ．2->b 且0<cC ．2-<b 且0=cD ．2-≥b 且0=c 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13已知nxi x)(2-的展开式中第三项与第五项的系数之比为143-，其中12-=i ，则展开式中常数项是______________.14.当x ，y 满足时，则t=x ﹣2y 的最小值是15.已知12,l l 是曲线1:C y x=的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的距离的最大值为_____. 16．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP ，则λ＋μ的最小值为___.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.18.如图，在三棱柱错误！未找到引用源。
函数与导数2015年高考数学压轴题真题训练
函数与导数2015年高考数学压轴题真题训练7.[2015高考新课标2,理21]〔此题总分为12分〕 设函数2()mxf x ex mx =+-．<Ⅰ>证明：()f x 在(,0)-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增；〔Ⅱ〕假如对于任意12,[1,1]x x ∈-,都有12()()1f x f x e -≤-,求m 的取值围． [解析]<Ⅰ>'()(1)2mxf x m ex =-+．假如0m ≥,如此当(,0)x ∈-∞时,10mx e -≤,'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时,10mx e -≥,'()0f x >．假如0m <,如此当(,0)x ∈-∞时,10mx e ->,'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时,10mx e -<,'()0f x >．所以,()f x 在(,0)-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增．〔Ⅱ〕由<Ⅰ>知,对任意的m ,()f x 在[1,0]-单调递减,在[0,1]单调递增,故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-,12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,m me m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①,设函数()1t g t e t e =--+,如此'()1t g t e =-．当0t <时,'()0g t <；当0t >时,'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =,1(1)20g e e --=+-<,故当[1,1]t ∈-时,()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时,()0g m ≤,()0g m -≤,即①式成立．当1m >时,由()g t 的单调性,()0g m >,即1m e m e ->-；当1m <-时,()0g m ->,即1m e m e -+>-．综上,m 的取值围是[1,1]-．[考点定位]导数的综合应用．8.[2015高考,19]〔本小题总分为16分〕 函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=.〔1〕试讨论)(x f 的单调性；〔2〕假如a c b -=〔实数c 是a 与无关的常数〕,当函数)(x f 有三个不同的零点时,a 的取值围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ,求c 的值. 当0a <时,()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '<, 所以函数()f x 在(),0-∞,2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．〔2〕由〔1〕知,函数()f x 的两个极值为()0f b =,324327a f a b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,如此函数()f x 有三个零点等价于()32400327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而304027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩． 又b c a =-,所以当0a >时,34027a a c -+>或当0a <时,34027a a c -+<． 设()3427g a a a c =-+,因为函数()f x 有三个零点时,a 的取值围恰好是 ()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,如此在(),3-∞-上()0g a <,且在331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0g a >均恒成立,从而()310g c -=-≤,且3102g c ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭,因此1c =． 此时,()()()3221111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦,因函数有三个零点,如此()2110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根,所以()()22141230a a a a ∆=---=+->,且()()21110a a ---+-≠,解得()33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 综上1c =．[考点定位]利用导数求函数单调性、极值、函数零点11.[2015高考,理21]设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-,其中a R ∈. 〔Ⅰ〕讨论函数()f x 极值点的个数,并说明理由； 〔Ⅱ〕假如()0,0x f x ∀>≥成立,求a 的取值围. 〔2〕当0a > 时, ()()28198a a a a a ∆=--=-①当809a <≤时,0∆≤ ,()0g x ≥ 所以,()0f x '≥,函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； ②当89a >时,0∆> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x < 因为1212x x +=- 所以,1211,44x x <->- 由()110g -=>可得：111,4x -<<-所以,当()11,x x ∈-时,()()0,0g x f x '>> ,函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时,()()0,0g x f x '<< ,函数()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时,()()0,0g x f x '>> ,函数()f x 单调递增； 因此函数()f x 有两个极值点． 〔3〕当0a < 时,0∆> 由()110g -=>可得：11,x <-当()21,x x ∈-时,()()0,0g x f x '>> ,函数()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时,()()0,0g x f x '<< ,函数()f x 单调递减；因此函数()f x 有一个极值点． 综上：当0a < 时,函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当809a ≤≤时,函数()f x 在()1,-+∞上无极值点；当89a >时,函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； 〔II 〕由〔I 〕知, 〔1〕当809a ≤≤时,函数()f x 在()0,+∞上单调递增, 因为()00f =所以,()0,x ∈+∞时,()0f x > ,符合题意； 〔2〕当819a <≤ 时,由()00g ≥ ,得20x ≤ 所以,函数()f x 在()0,+∞上单调递增,又()00f =,所以,()0,x ∈+∞时,()0f x > ,符合题意； 〔3〕当1a > 时,由()00g < ,可得20x > 所以()20,x x ∈ 时,函数()f x 单调递减； 又()00f =所以,当()20,x x ∈时,()0f x < 不符合题意； 〔4〕当0a <时,设()()ln 1h x x x =-+ 因为()0,x ∈+∞时,()11011x h x x x '=-=>++ 当11x a>-时,()210ax a x +-< 此时,()0,f x < 不合题意. 综上所述,a 的取值围是[]0,1[考点定位]1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想. 12.[2015高考,理21]设函数2()f x x ax b =-+.〔Ⅰ〕讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值； 〔Ⅱ〕记2000()f x x a x b =-+,求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ； 〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕中,取000a b ==,求24a zb =-满足D 1≤时的最大值.[解析]〔Ⅰ〕2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+,22x ππ-<<.[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-,22x ππ-<<.因为22x ππ-<<,所以cos 0,22sin 2x x >-<<.①当2,a b R ≤-∈时,函数(sin )f x 单调递增,无极值. ②当2,a b R ≥∈时,函数(sin )f x 单调递减,无极值. ③当22a -<<,在(,)22ππ-存在唯一的0x ,使得02sin x a =. 02x x π-<≤时,函数(sin )f x 单调递减；02x x π<<时,函数(sin )f x 单调递增.因此,22a -<<,b R ∈时,函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-.〔Ⅱ〕22x ππ-≤≤时,00000|(sin )(sin )||()sin |||||f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-, 当00()()0a a b b --≥时,取2x π=,等号成立,当00()()0a a b b --<时,取2x π=-,等号成立,由此可知,函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值为00||||D a a b b =-+-.〔Ⅲ〕D 1≤,即||||1a b +≤,此时201,11a b ≤≤-≤≤,从而214a z b =-≤. 取0,1a b ==,如此||||1a b +≤,并且214a zb =-=.由此可知,24a zb =-满足条件D 1≤的最大值为1.[考点定位]1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.13.[2015高考,理20〔本小题总分为14分〕函数()n ,nf x x x x R =-∈,其中*n ,n 2N ∈≥. <I>讨论()f x 的单调性； <II>设曲线()yf x 与x 轴正半轴的交点为P,曲线在点P 处的切线方程为()yg x ,求证：对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ≤；<III>假如关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，,求证： 21|-|21a x x n<2>当n 为偶数时,当()0f x '>,即1x <时,函数()f x 单调递增； 当()0f x '<,即1x >时,函数()f x 单调递减.所以,()f x 在(,1)-∞-上单调递增,()f x 在(1,)+∞上单调递减. <II>证明：设点P 的坐标为0(,0)x ,如此110n x n-=,20()f x n n '=-,曲线()y f x =在点P处的切线方程为()00()y f x x x '=-,即()00()()g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =-,即()00()()()F x f x f x x x '=--,如此0()()()F x f x f x '''=- 由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减,故()F x '在()0,+∞上单调递减,又因为0()0F x '=,所以当0(0,)x x ∈时,0()0F x '>,当0(,)x x ∈+∞时,0()0F x '<,所以()F x 在0(0,)x 单调递增,在0(,)x +∞单调递减,所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=,即对任意的正实数x ,都有()()f x g x ≤.<III>证明：不妨设12x x ≤,由<II>知()()20()g x n n x x =--,设方程()g x a =的根为2x ',可得202.ax x n n '=+-,当2n ≥时,()g x 在(),-∞+∞上单调递减,又由<II>知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的,设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =,可得()h x nx =,当(0,)x ∈+∞,()()0n f x h x x -=-<,即对任意(0,)x ∈+∞,()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x ',可得1ax n'=,因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增,且111()()()h x a f x h x '==<,因此11x x '<.由此可得212101ax x x x x n''-<-=+-. 因为2n ≥,所以11112(11)111n n n Cn n ---=+≥+=+-=,故1102n nx -≥=,所以2121ax x n-<+-. [考点定位]1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.14.[2015高考,理20] 设函数()()23xx axf x a R e+=∈ 〔1〕假如()f x 在0x =处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；〔2〕假如()f x 在[)3,+∞上为减函数,求a 的取值围.当1x x 时,g()0x ,故()f x 为减函数； 当12x xx 时,g()0x ,故()f x 为增函数；当2xx 时,g()0x ,故()f x 为减函数；由()f x 在[3,)+∞上为减函数,知23x =≤,解得92a ≥- 故a 的取值围为9[,)2-+∞. [考点定位]复合函数的导数,函数的极值,切线,单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．15.[2015高考,理21]函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+,其中0a >.〔1〕设()g x 是()f x 的导函数,评论()g x 的单调性；〔2〕证明：存在(0,1)a ∈,使得()0f x ≥在区间∞(1,+)恒成立,且()0f x =在∞(1,+)有唯一解.[解析]〔1〕由,函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()()222ln 2(1)ag x f x x a x x '==---+,所以222112()2()2224()2x a a g x x x x-+-'=-+=. 当104a <<时,()g x在区间)+∞上单调递增,在区间上单调递减；当14a ≥时,()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.〔2〕由()222ln 2(1)0a f x x a x x '=---+=,解得11ln 1x xa x ---=+.令2211111ln 1ln 1ln 1ln ()2()ln 2()2()1111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------=-++--+++++.如此211(2)2(1)10,())2()011e e e e e e ϕϕ----=>=--<++,. 故存在0(1,)x e ∈,使得0()0x ϕ=.令00011ln ,()1ln (1)1x x a u x x x x x ---==--≥+,. 由1()10u x x'=-≥知,函数()u x 在区间(1,)+∞上单调递增. 所以001110()(1)()20111111u x u u e e a x e e----=<=<=<++++. 即0(0,1)a ∈.[考点定位]此题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等根底知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合,化归与转化等数学思想.17.[2015高考新课标1,理21]函数f 〔x 〕=31,()ln 4x ax g x x ++=-. <Ⅰ>当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线；〔Ⅱ〕用min {},m n 表示m,n 中的最小值,设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ,讨论h 〔x 〕零点的个数. [答案]〔Ⅰ〕34a =；〔Ⅱ〕当34a >-或54a <-时,()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时,()h x 有两个零点；当5344a -<<-时,()h x 有三个零点. 假如54a <-,如此5(1)04f a =+<,(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =->,所以只需考虑()f x 在〔0,1〕的零点个数.<ⅰ>假如3a ≤-或0a ≥,如此2()3f x x a '=+在〔0,1〕无零点,故()f x 在〔0,1〕单调,而1(0)4f =,5(1)4f a =+,所以当3a ≤-时,()f x 在〔0,1〕有一个零点；当a ≥0时,()f x 在〔0,1〕无零点.<ⅱ>假如30a -<<,如此()f x 在〔3a -,3a-〕单调递增,故当x 3a -,()f x 取的最小值,最小值为3a f -21334aa -+. ①假如3af -＞0,即34-＜a ＜0,()f x 在〔0,1〕无零点. ②假如3af -=0,即34a =-,如此()f x 在〔0,1〕有唯一零点；③假如()3af -＜0,即334a -<<-,由于1(0)4f =,5(1)4f a =+,所以当5344a -<<-时,()f x 在〔0,1〕有两个零点；当534a -<≤-时,()f x 在〔0,1〕有一个零点.…10分 综上,当34a >-或54a <-时,()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时,()h x 有两个零点；当5344a -<<-时,()h x 有三个零点. ……12分 [考点定位]利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想 18.[2015高考,理18]函数()1ln 1xf x x+=-．〔Ⅰ〕求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； 〔Ⅱ〕求证：当()01x ∈，时,()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； 〔Ⅲ〕设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立,求k 的最大值． (0,1)x ∀∈,3()2()3x f x x >+成立；〔Ⅲ〕使()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立,()01x ∈，,等价于31()ln ()013x x F x k x x +=-+>-,()01x ∈，； 422222()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--, 当[0,2]k ∈时,()0F x '≥,函数在〔0,1〕上位增函数,()(0)0F x F >=,符合题意；当2k >时,令402()0,(0,1)k F x x k-'==∈,()(0)F x F <,显然不成立,综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性,证明不等式；3.含参问题讨论.19.[2015高考,理19]设1a >,函数a e x x f x-+=)1()(2． <1> 求)(x f 的单调区间 ；<2> 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点； <3> 假如曲线()yf x 在点P 处的切线与x 轴平行,且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行〔O 是坐标原点〕,证明：123--≤ea m ． [解析]〔1〕依题()()()()()222'1'1'10x xx f x x e x e x e =+++=+≥,∴()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数； 〔2〕∵1a >,∴()010f a =-<且()()22110a f a a e a a a =+->+->,∴()f x 在()0,a 上有零点,又由〔1〕知()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数,()f x 在(),-∞+∞上仅有一个零点；〔3〕由〔1〕知令()'0f x =得1x =-,又()21f a e -=-,即21,P a e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, ∴2210OPa e k a e--==---,又()()2'1m f m m e =+,[考点定位]导数与函数单调性、零点、不等式,导数的几何意义等知识．[2015高考,理21].0a >,函数()sin ([0,))axf x e x x =∈+∞,记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点,证明：〔1〕数列{()}n f x 是等比数列 〔2〕假如a ≥如此对一切*n N ∈,|()|n n x f x <恒成立.〔1〕'()sin cos ax ax f x ae x e x =+(sin cos )axe a x x =+sin()ax x ρ=+其中a 1tan =ρ,20πρ<<,令'()0f x =,由0x ≥得πρm x =+,即ρπ-=m x ,m ∈*N ,对N k ∈,假如πρπ)12(2+<+<k x k ,即ρπρπ-+<<-)12(2k x k ,如此'()0f x >, 假如πρπ)22()12(+<+<+k x k ,即ρπρπ-+<<-+)22()12(k x k ,如此'()0f x <, 因此,在区间),)1((ρππ--m m 与),(πρπm m -上,'()f x 的符号总相反,于是 当)(*N m m x ∈-=ρπ时,()f x 取得极值,∴*() n x n n N πρ∈=-, 此时,()()1sin()(1)sin ()a n a n n n x e n e f πρπρπρρ--+=-=-,易知()0n f x ≠,而()()1121()(1)()(1 s n in )i s a n ax n n n a n n f e f x e x e πρπρρρ+-⎡⎤⎣-+⎦++-==--是非零常数,故数列{}()n f x 是首项为1()f x =() sin a n e πρρ-,公比为ax e -的等比数列；〔2〕由〔1〕知,sinρ=,于是对一切*n N ∈,|()|n n x f x <|恒成立,即() a n n πρπρ--<恒成立,等价于()()a n e a n πρπρ-<-〔•〕恒成立〔∵0>a 〕, 设()(0)t e g t t t =>,如此2('()1)t g e t tt -=,令'()0g t =,得1=t , 当10<<t 时,'()0g t <,∴)(t g 在区间)1,0(上单调递减； 当1>t 时,'()0g t >,∴)(t g 在区间)1,0(上单调递增,从而当1=t 时,函数)(t g 取得最小值e g =)1(,因此,要是〔•〕式恒成立,只需()1g e <=,即只需a >,而当a =时,311tan 2>-==e a ρ,且02πρ<<,于是23ππρ-<<,且当2n ≥时,232n ππρπρ-≥-≥>,因此对一切*n N ∈,1n ax =≠,∴()n g ax (1)g e >==,故〔•〕式亦恒成立.综上所述,假如a ≥,如此对一切*n N ∈,()||n n x x f <恒成立.[考点定位]1.三角函数的性质；2.导数的运用；3.恒成立问题.。
广西2015届高考压轴数学(理)试题word 版 含答案
2015广西高考压轴卷理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则AB =A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4) 2. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -3. 已知点()1,1A -,()1,2B ,()2,1C --,()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）.2A.2B.2C -.2D - 4. 在△ABC 中, ,3,AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠= ()A BC D 5. 两位工人加工同一种零件共100个,甲加工了40个,其中35个是合格品,乙加工了60个,其中有50个合格,令A 事件为“从100个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B 事件为“从100个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则P(A|B)等于( )A.25B.35100C.78D.576. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( ) A ．4B ．143C ．163D ．6 7. 将6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．248.已知函数2()2(2)88,f x f x x x =--+- 则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+9.已知,x y满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by ab =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ）A ．5 B ．4 CD ．2俯视图 侧视图10..在直三棱柱111ABC A B C -中，A 1,2,B AC BC ===分别是1AC 和1BB 的中点，则直线DE 与平面11BBC C 所成角为（ ） A ．6π B ． 4π C ．3π D ．2π11.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49 D.3 12.已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A.121()0,()2f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C.121()0,()2f x f x ><-D. 121()0,()2f x f x <>-二.填空题:(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2015届高考信息卷数学(理)试题_Word版含答案
2015届高考信息卷（理数）时量：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）．1. 已知全集U =R ，集合{|2,R}x A y y x ==∈，{}|2B x x =≥，则下图中阴影部分所表示的集合为（ C ）A ．Æ B. {0,1}C. (0,2)D. (,2)-∞2. 若复数z 满足()12i z i +=-，则z i +=( B ) A.12C.23. 用辗转相除法求294和84的最大公约数，则所求 最大公约数为 ( B )A. 21B. 42C.84D.1684. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ A ）5. 已知等比数列{}n a（ B ）A BC D （第4题图）A B CD6. D ）A．B．C．D7.p为假命题的一个充分不必要条件是（B ）A. a≥1B. a>1C. a≤1D. a<28.已知定义在的函数满足：①；则（C ）A B．函数C D．函数19.知双曲左、右焦点分别（ C ）A B C．D10.满足A ）C.2D.4二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）（一）选做题（11～11.如图，已知是⊙的一条弦，是12.已知在直角坐标系xOy以Ox为极轴建立极坐标系，.13.14～16题）14.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有180 种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．15.16.已知（1的最小值为 1 ；（2三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，向量0.【解析】………………………5分①②①2＋②2③………………………12分18．（本小题满分12分）有A，B，C三个盒子，每个盒子中放有红，黄，蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S为“取得红色的三个球”，事件“取得颜色互不相同的三个球”，求P（S）和P（T）；（Ⅱ）先从A盒中任取一球放入B盒，再从B盒中任取一球放入C盒，最后从C盒中任取一球放入A盒，设此时A列与数学期望【解析】…………………………4分①考虑情形，首盒中必须取一个红球放入2红2非红；2红21红3非红，从盒中只能取一个非红球放入，相应概率为②考情形，首中必须取一个非红球放入1红3非红；2红21红3…………………………12分所成角的大小．（第19题图），⊥平面向量为，∵，成角为线与所成角的大小为……………………………12分20. (本小题满分13分)某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这．为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．利润率为（Ⅱ）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．【解析】………………………3分……………………8分当且仅当，即时，有最大值为最大值为即该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，其当月利润率为分21. (本小题满分13分)的焦点为，点，线段物线上. 设动直抛物线相切于点（Ⅲ）在坐标平面上是否存在定使得过明理由．【解析】标为，代入方程得，解得……………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的方程从而抛物线的准线方程为，，.(或法二：，:. ………………8分（Ⅲ）假设平面内存在定点足条件，由抛物线对称性知点∴.∴平面上存在定点，使得圆恒过点……………………13分由（Ⅱ），，，∴平面上存在定点，使得圆恒过点……………………13分22. (的取值范围；（Ⅲ）设函数，. 过点作函数.【解析】…4分（Ⅱ）令，要使总成立，只时.……………………8分它们交点的横坐标也关称成对出现，方1007因此数列的所有项的和.……………………13分。
高考数学二轮复习 高校信息化课堂 高考压轴题训练(五)文
高考压轴题训练(五)1.(本小题满分14分)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点Q(4,m)到其焦点的距离为5.(1)求p与m的值;(2)斜率为1的直线不过点P(2,2),且与抛物线交于点A,B,直线AP,BP分别交抛物线于点C,D.求证:直线AD,BC交于一个定点.(1)解:由抛物线方程得其准线方程为x=-,根据抛物线定义,点Q(4,m)到焦点的距离等于它到准线的距离, 即4+=5,解得p=2,2分所以抛物线方程为y2=4x,将Q(4,m)代入抛物线方程,解得m=±4.4分(2)证明:设点A,B,C,D的坐标分别为(,y1),(,y2),(,y3),(,y4),则直线AB的斜率k AB==,于是得y1+y2=4.同理知直线AC,BD,AD,BC的斜率分别为,,,,6分由A,P,C三点共线得=,即y1y3-2(y1+y3)+8=0,以4-y2代入y1得y2y3-2(y2+y3)=0, ①同理由B,D,P共线得y1y4-2(y1+y4)=0, ② 8分设AD,BC交点为M(m,n),由A,D,M共线知=,即y1y4-n(y1+y4)+4m=0, ③同理由B,C,M共线得y2y3-n(y2+y3)+4m=0,④ 10分将①②代入③④得(2-n)(y1+y4)+4m=0,(2-n)(y2+y3)+4m=0.12分易知y1+y4≠y2+y3,∴m=0,n=2,即直线AD,BC交于一个定点M(0,2). 14分2.(2013高考安徽卷改编)已知函数f n(x)=-1+x+++…+(x∈R,n∈N*),在(0,+∞)上单调递增.证明:(1)对每个n∈N*,存在唯一的x n∈[,1],满足f n(x n)=0;(2)对任意p∈N*,由(1)中x n构成的数列{x n}满足0<x n-x n+p<. 证明:(1)由于f1(1)=0,当n≥2时,f n(1)=++…+>0,故f n(1)≥0.又f n()=-1++≤-+()k=-+·=-·()n-1<0,且函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以存在唯一的x n∈[,1],满足f n(x n)=0.(2)当x>0时,f n+1(x)=f n(x)+>f n(x),故f n+1(x n)>f n(x n)=f n+1(x n+1)=0.由f n+1(x)在(0,+∞)内单调递增,知x n+1<x n.故{x n}为单调递减数列,从而对任意n,p∈N*,x n+p<x n.对任意p∈N*,由于f n(x n)=-1+x n++…+=0,①f n+p(x n+p)=-1+x n+p++…+++…+=0,②①式减去②式并移项,利用0<x n+p<x n≤1,得x n-x n+p=+≤≤<=-<.因此,对任意p∈N*,都有0<x n-x n+p<.。
【导与练】2015届高考数学高校信息化课堂常用的核心知识整合函数的图象与性质理
【导与练】2015届高考数学高校信息化课堂常用的核心知识整合函数的图象与性质理函数的图象与性质性重要结论互相联系质对 于 函 数 y=f(x) 定义域内某一区间 D上的随意单 x 1,x 2,(x 1-x 2) · [f(x1)-f(x2)]>0(<0) ? f(x) 在 D 上是增 1. 奇 ( 偶 ) 函数在其定义域内 ( 减 ) 函数 ; 对于函数 y=f(x) 定义域内某一区间 D 上的任调 对于原点对称的两个区间上f x 1 fx 2>0(<0) ?性意 x 1,x 2 ,f(x) 在 D 上是增 (减)函单一性相反 .x 1 x 22.f(x) 是奇函数 ? f(x) 的图数.象对于原点对称 ;f(x)是偶奇 对于定义域 ( 对于原点对称 ) 内的随意 x,f(x)+f(-x)=0函数 ? f(x) 的图象对于y 轴偶 ? f(x) 是奇函数 ; 对于定义域 ( 对于原点对称 ) 内的随意对称 .性x,f(x)-f(-x)=0 ? f(x) 是偶函数 .3. 若函数 y=f(x) 的图象有两设函数 y=f(x),x ∈ D.条对称轴 x=a 和 x=b(a ≠b),1. 若 T 为 f(x) 的一个周期 , 则 nT(n ≠ 0,n ∈ Z) 也是 f(x)则 f(x) 是以 2|b-a| 为周期的的周期 .函数 . 特别地 , 若函数 f(x) 是2. 若对随意 x ∈ D 都有 f(x+a)=-f(x)(a ≠ 0), 则 f(x) 是周 偶函数 , 其图象又对于直线 以 2|a| 为周期的函数 .期x=a 对称 , 则 f(x) 是以 2|a|3. 若对随意 x ∈ D 都有 f(x+a)=1 (a ≠ 0), 则 f(x)性± 为周期的函数 .xf4. 若函数 y=f(x) 的图象有一 是以 2|a|为周期的函数 .条对称轴 x=a 和一个对称中 4. 若对随意 x ∈ D都有 f(x+a)=f(x+b)(a≠b), 则 f(x) 是心 (b,0)(a ≠b), 则 f(x) 是以以|b-a| 为周期的函数 .4|b-a| 为周期的函数. 特别对 于 函 数 y=f(x) 定 义 域 内 任 意 一 个 x 的 值 , 若地 , 若函数 f(x) 是奇函数 , 其x=a b对f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x) 的图象对于直线图象又对于直线 x=a 对称 , 则2f(x) 是以 4|a| 为周期的函称. 特别地 , 若 f(a+x)=f(a-x), 则函数 f(x) 的图象对于对 数 .直线 x=a 对称 .称5. 若函数 y=f(x) 的图象有两对 于 函 数 y=f(x) 定 义 域 内 任 意 一 个 x 的 值 , 若 性个对称中心(a,0) 和 (b,0)(aab,0f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x) 的图象对于点 中 ≠ b) 则 f(x) 是以 2|b-a| 为周2期的函数 .心对称 . 特别地 , 若 f(a+x)=-f(a-x), 则函数 f(x)的图象对于点 (a,0) 中心对称 .。
【导与练】2015届高考数学 高校信息化课堂 选择、填空题训练(十)理
选择、填空题训练(十)【选题明细表】知识点、方法题号常用逻辑用语3、4平面向量15、17不等式13、14函数1、16三角函数与解三角形2、6数列5、10立体几何9、11解析几何7、8、12一、选择题1.(2013高考卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( C )(A)y=(B)y=e-x(C)y=-x2+1 (D)y=lg |x|解析:y=是奇函数,选项A错;y=e-x是非奇非偶函数,选项B错;y=lg|x|是偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,选项D错;只有选项C是偶函数且在(0,+∞)上单调递减.故选C.2.△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则角A的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:由sin C=2sin B得c=2b,代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2,所以a2=7b2,所以cos A==,所以A=.故选A.3.下列说法中错误的是( D )(A)命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠0”(B)命题p:∃x0∈R,使得+x0+1<0,则 p:∀x∈R,x2+x+1≥0(C)∃x0,y0∈R,sin x0·sin y0≥1(D)如果平面α⊥平面β,过α内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于β解析:根据四种命题的概念知,选项A正确.根据特称命题的否定是全称命题知选项B正确.当x0=y0=时,sin x0·sin y0≥1成立,选项C正确.过α内任意一点作两平面交线的垂线,垂线不一定在平面α内.选项D错误.故选D.4.(2014某某二中)α为平面,m,n是两条不同直线,则m∥n的一个充分条件是( C )(A)m∥α且n∥α(B)m,n与平面α所成的角相等(C)m⊥α且n⊥α(D)m,n与平面α的距离相等解析:选项A、B、D中的直线m,n可能平行,也可能相交或异面,选项C中m⊥α,n⊥α,则m ∥n.故选C.5.(2014某某一模)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知1≤S2≤2,3≤S4≤5,则S6的取值X围是( A )(A)[3,12] (B)[4,12](C)[5,11] (D)[5,8]解析:设{a n}的公差为d,由题意得1≤2a1+d≤2,3≤4a1+6d≤5,设S6=6a1+15d=m(2a1+d)+n(4a1+6d),则解得∴S6=-3(2a1+d)+3(4a1+6d),∴3≤S6≤12.故选A.6.(2013某某模拟)如图所示,点P是函数y=2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)的图象的最高点,M、N是图象与x轴的交点,若·=0,则ω等于( C )(A)8 (B)(C)(D)解析:∵·=0,∴⊥.∴△MPN是等腰直角三角形,又点P到MN的距离为2,∴|MN|=2×2=4,则周期T=2×4=8,ω==.故选C.7.(2014某某十校期末)已知点F (-,0)是双曲线-=1的左焦点,过F且平行于双曲线的渐近线的直线与抛物线y=+相切,则该双曲线的离心率为( C )(A)2 (B)(C)2或(D)无法确定解析:设过F与双曲线的渐近线平行的直线为y=k(x+),由得-kx+-k=0.由题意知Δ=k2-4×(-k)=0,即k2+k-1=0,解得k=-或,即=或,则=e2-1,e2-1=3或e2-1=,∴e=2或e=.8.(2013高考某某卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF=100+64-2×10×8×=36,则|AF|=6,∠AFB=90°,半焦距c=|FO|=|AB|=5,设椭圆右焦点F2,连接AF2,由对称性知|AF2|=|FB|=8,2a=|AF2|+|AF|=6+8=14,即a=7,则e==.故选B.9.(2013某某某某模拟)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C,则以下四个结论中错误的是( C )(A)AC⊥BD(B)△ACD是等边三角形;(C)AB与平面BCD所成的角为60°(D)AB与CD所成的角为60°解析:如图所示,取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,从而BD⊥平面AOC,BD⊥AC,即选项A正确;由AO=CO=BD,且∠AOC是直二面角A BD C的平面角,即∠AOC=90°,得AC=BD=AD=CD,即选项B正确;由以上证明知AO⊥平面BCD,则∠ABO是AB与平面BCD所成的角,但∠ABO=45°,即选项C错误;取AC、BC的中点分别为E、F,连接OE,OF,EF,则OF=CD,EF=AB,OE=AC,由CD=AB=AC可得△OEF为等边三角形,∠OFE=60°,由EF∥AB,OF∥CD得∠OFE是AB与CD所成的角,即选项D正确,故选C.10.(2014某某十校联考)对于项数都为m的数列{a n}和{b n},记b k为a1,a2,…,a k(k=1,2,…,m)中的最小值,给出下列命题.①若数列{b n}的前5项依次为5,5,3,3,1,则a4=3;②若数列{b n}是递减数列,则数列{a n}也是递减数列;③数列{b n}可能是先递减后递增的数列;④若数列{a n}是递增数列,则数列{b n}是常数列.其中,是真命题的为( D )(A)①④ (B)①③ (C)②③ (D)②④解析:对于①若{b n}的前5项依次为5,5,3,3,1,则{a n}的前5项可以是5,5,3,4,1,所以a4不一定等于3,由b k为a1,a2,…,a k的最小值知数列{b n}是递减数列或常数列或形如①中的总体形式递减的数列,故③错,②、④正确.故选D.二、填空题11.(2014某某外国语学校)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.解析:该几何体为四棱锥,底面为平行四边形,面积S=×2×1×1=1,高为1,体积V=.答案:12.(2014某某高三十校联考)若直线3x+4y+m=0与圆C:(x-1)2+(y+2)2=1有公共点,则实数m 的取值X围是.解析:由题得≤1,即|m-5|≤5,则0≤m≤10.答案:[0,10]13.(2014某某二模)设z=2x+5y,其中实数x,y满足6≤x+y≤8且-2≤x-y≤0,则z的取值X 围是.解析:线性约束条件表示的平面区域如图阴影部分,当直线z=2x+5y分别经过A(3,3),B(3,5)时z取到最小值和最大值,z最小=2×3+3×5=21,z最大=2×3+5×5=31.答案:[21,31]14.(2014某某省“六市六校”联考)已知正数x,y满足x+y++=10,则x+y的最大值为. 解析:由题意10-(x+y)=+,即10(x+y)-(x+y)2=(x+y)(+),得10(x+y)-(x+y)2=1+++9≥10+6,当且仅当y=3x时取“=”,即(x+y)2-10(x+y)+16≤0,得2≤x+y≤8.答案:815.若等边△ABC的边长为2,平面内一点M满足=+,则·等于.解析:如图所示,过M作MN∥BC交AC于N,作MP∥AC交BC于P,因为=+,所以==,==,所以·=(+)·(+)=(-+)·(-+)=·--=×12×-×12-×12=-2.答案:-2.16.(2013泰顺模拟)设函数f(x)=x-,对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0(m≠0)恒成立,则实数m的取值X围是.解析:函数f(x)定义域是{x|x∈R,且x≠0},显然函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,当m>0时,f(mx)+mf(x)在[1,+∞)上是增函数,且当时,f(mx)+mf(x)>0,即f(mx)+mf(x)<0不可能恒成立;当m<0时,f(mx)+mf(x)在[1,+∞)上是减函数,最大值是,由<0解得m<-1,即m 的取值X围为(-∞,-1).答案:(-∞,-1)17.(2013高考某某卷)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||=·=2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是.解析:利用向量的分解结合面积公式求解.由||=||=·=2,得<,>=.当λ≥0,μ≥0,λ+μ=1时,在△OAB中,取=λ,过点C作CD∥OB交AB于点D,作DE∥OA交OB于点E,显然=λ+.∵=,=,∴=(1-λ),∴=λ+(1-λ)=λ+μ=,∴λ+μ=1时,点P在线段AB上,∴λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1时,点P必在△OAB内(包括边界).考虑|λ|+|μ|≤1的其他情形,点P构成的集合恰好是以AB为一边,以OA,OB为对角线一半的矩形,其面积为S=4S△OAB=4××2×2sin =4.答案:4。
高考数学二轮复习高校信息化课堂高考中档题训练(五)文
高考数学二轮复习高校信息化讲堂高考取档题训练（五）文1.(2014嘉兴一模)已知函数f(x)=2sin(x+)cos x.(1) 若 x∈ [0, ], 求 f(x)的取值范围;(2) 设△ ABC的内角 A、 B、 C所对的边分别为a、b、 c, 已知 A 为锐角 ,f(A)=,b=2,c=3,求cos (A-B)的值.解:(1)f(x)=(sin x+cos x)cos x=sin xcos x+cos2x= sin 2x+cos 2x+=sin(2x+ )+,∵x∈ [0, ], ∴ 2x+ ∈ [ ,],-≤ sin(2x+) ≤ 1.∴f(x)∈ [0,1+].(2) 由 f(A)=sin(2A+)+= , 得 sin(2A+)=0,又A为锐角,因此 A= ,又 b=2,c=3, 因此 a2=4+9-2 × 2×3× cos =7,a=.由=, 得 sin B=,又 b<a, 进而 B<A,cos B=.因此 ,cos (A-B)=cos Acos B+sin Asin B=×+×=.2.如图 , 长方体物体 E 在雨中沿面 P( 面积为 S) 的垂直方向做匀速挪动 , 速度为 v(v>0), 雨速沿 E 挪动方向的分速度为c(c ∈ R).E 挪动时单位时间内的淋雨量包含两部分: ① P 或 P 的平行面 ( 只有一个面淋雨) 的淋雨量 , 假定其值与 |v-c|× S成正比,比率系数为; ②其余面的淋雨量之和 , 其值为. 记 y 为 E 挪动过程中的总淋雨量. 当挪动距离d=100, 面积 S= 时 ,(1)写出 y 的表达式 ;(2)设 0<v≤ 10,0<c ≤ 5, 试依据 c 的不一样取值范围 , 确立挪动速度 v, 使总淋雨量 y 最少 . 解:(1) 由题意知 ,E 挪动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+ ,故 y=(|v-c|+)= (3|v-c|+10).(2) 由 (1) 知,当 0<v≤ c 时 ,y= (3c-3v+10)=-15;当 c<v≤ 10 时 ,y= (3v-3c+10)=+15.故 y=①当 0<c≤时,y是对于v的减函数,故当 v=10 时 ,y min=20-.②当<c≤ 5 时 , 在 (0,c]上,y是对于v的减函数;在(c,10]上,y是对于v的增函数.故当 v=c 时,y min =.3. 如图 (1), 在平面四边形ABCD中 , 已知∠ A=45°, ∠ C=90° , ∠ ADC=105° ,AB=BD,现将四边形 ABCD沿 BD折起 , 使平面 ABD⊥平面 BDC,设点 F 为棱 AD的中点 , 如图 (2).(1)求证 :DC⊥平面 ABC;(2)求直线 BF 与平面 ACD所成角的余弦值 .(1)证明 : 在图 (1) 中 , ∵ AB=BD且∠ A=45° ,∴∠ ADB=45° , ∠ ABD=90° . 即 AB⊥ BD.在图 (2) 中 , ∵平面 ABD⊥平面 BDC,且平面 ABD∩平面 BDC=BD,∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥ CD.又∠ C=90°, ∴ DC⊥ BC,且 AB∩BC=B,∴DC⊥平面 ABC.(2) 解 : 在图 (2) 中作 BE⊥ AC,垂足为 E. 连结 EF,由(1) 知平面 ABC⊥平面 ACD,又平面 ABC∩平面 ACD=AC,∴BE⊥平面 ADC,∴∠ BFE即为直线BF与平面 ACD所成的角 .设 CD=a,由题意可得 AB=BD=2a,BC= a,AC= a, ∴BE=a,BF=a,FE= a.∴cos ∠ BFE==.∴直线 BF与平面 ACD所成角的余弦值为.。
【导与练】高考数学二轮复习 高校信息化课堂 高考压轴题训练(一)文
高考压轴题训练(一)1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元.(1)用d表示a1,a2,并写出a n+1与a n的关系式;(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d 的值(用m表示).解:(1)由题意得a1=2000(1+50%)-d=3000-d,a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4500-d.a n+1=a n(1+50%)-d=a n-d.(2)由(1)得a n=a n-1-d=(a n-2-d)-d=()2a n-2-d-d=…=()n-1a1-d[1++()2+…+()n-2].整理得a n=()n-1(3000-d)-2d[()n-1-1]=()n-1(3000-3d)+2d.由题意,知a m=4000,即()m-1(3000-3d)+2d=4000,解得d==.故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.2.(2014宁波二模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一个纵坐标为2的点到焦点F的距离为3.(1)求抛物线C的方程;(2) 设点P(0,2),过P作直线l1,l2分别交抛物线于点A,B和点M,N,直线l1,l2的斜率分别为k1和k2,且k1k2=-.写出线段AB的长|AB|关于k1的函数表达式,并求四边形AMBN面积S的最小值.解:(1) 2-(-)=3,∴p=2,∴x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),l1:y=k1x+2,与抛物线x2=4y联立可得x2-4k1x-8=0, ∴|AB|=|x1-x2|=4,k1∈R且k1≠0.由于点M、N位于直线l1的两侧,所以k1x3-y3+2与k1x4-y4+2异号.因此设点M,N到直线l1的距离分别为h1和h2,则h1+h2=+==.∵y3=k2x3+2,y4=k2x4+2,∴y3-y4=k2(x3-x4),∴h1+h2==.∵x2-4k2x-8=0,∴|x3-x4|==4,∴h1+h2=,∴S=|AB|(h1+h2)=8·|k1-k2|=8∵k1k2=-,∴S=8令t=+≥2|k1k2|=,则S=8在[,+∞)上单调递增. 因此S≥8=22,当且仅当t=,即或时取等号, 因此四边形AMBN面积S的最小值为22.。
【创新设计】(江苏专用)2015高考数学二轮复习 专题整合 1-5 导数的综合应用 理(含最新原创题,含解析)
第5讲 导数的综合应用一、填空题1．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析 由条件y ′＝－4x 2＋b ，∴Δ＝0＋16b ＞0，得b ＞0. 答案 (0，＋∞)2．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )>0，得x >4或x <0.∴f (x )在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m ≥179.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫179，＋∞ 3．(2014·扬州模拟)已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 解析 函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，即方程e x－2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x，易知函数g (x )＝2x －e x在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．答案 (－∞，2ln 2－2]4．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x＋1的解集为______．解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0. 答案 (0，＋∞)5．(2013·温州模拟)关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＞0，－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0.答案 (－4,0)6．若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是______．解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －x －x.由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.答案 (0,1)∪(2,3)7．(2014·邯郸质检)已知函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋43，直线l ：9x ＋2y ＋c ＝0，若当x ∈[－2,2]时，函数y ＝f (x )的图象恒在直线l 下方，则c 的取值范围是________． 解析 根据题意知13x 3－x 2－3x ＋43＜－92x －c 2在x ∈[－2,2]上恒成立，则－c 2＞13x 3－x2＋32x ＋43， 设g (x )＝13x 3－x 2＋32x ＋43，则g ′(x )＝x 2－2x ＋32，则g ′(x )＞0恒成立，所以g (x )在[－2,2]上单调递增， 所以g (x )max ＝g (2)＝3，则c ＜－6. 答案 (－∞，－6) 8．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是______．解析 由于f ′(x )＝1＋1x ＋2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x在x ∈[1,2]上单调递减(可利用导数判断)，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞二、解答题 9.(2014·徐州质检)现有一张长为80 cm ，宽为60cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x (cm)，高为y (cm)，体积为V (cm 3)．(1) 求出x 与 y 的关系式； (2) 求该铁皮盒体积V 的最大值． 解 (1)由题意得x 2＋4xy ＝4 800， 即y ＝4 800－x24x，0＜x ＜60.(2)铁皮盒体积V (x )＝x 2y ＝x 2×4 800－x 24x ＝－14x 3＋1 200x ，V ′(x )＝－34x 2＋1200，令V ′(x )＝0，得x ＝40，因为x ∈(0,40)，V ′(x )＞0，V (x )是增函数；x ∈(40,60)，V ′(x )＜0，V (x )是减函数，所以V (x )＝－14x 3＋1 200x ，在x ＝40时取得极大值，也是最大值，其值为32 000 cm 3.所以该铁皮盒体积V 的最大值是32 000 cm 3.10．(2013·东北三校联考)已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围． 解 f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(1)f ′(x )＝a 1＋x ＋2x －10，又f ′(3)＝a4＋6－10＝0，∴a ＝16.经检验此时x ＝3为f (x )的极值点，故a ＝16.(2)由(1)知f ′(x )＝x －x －x ＋1.当－1<x <1或x >3时，f ′(x )>0； 当1<x <3时，f ′(x )<0.∴f (x )的单调增区间为(－1,1)，(3，＋∞)， 单调减区间为(1,3)．(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0.所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9，极小值为f (3)＝32ln 2－21.因为f (16)>162－10×16>16ln 2－9＝f (1)，f (e －2－1)<－32＋11＝－21<f (3)，所以根据函数f (x )的大致图象可判断，在f (x )的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)内，直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象各有一个交点，当且仅当f (3)<b <f (1)． 因此b 的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)． 11．(2014·陕西卷节选)设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)若对任意b ＞a ＞0，f b －f ab －a＜1恒成立，求m 的取值范围．解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex， 则f ′(x )＝x －ex 2， ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2. (2)对任意的b ＞a ＞0，f b －f ab －a＜1恒成立，等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x (x ＞0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 由h ′(x )＝1x －mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14(x ＞0)恒成立，∴m ≥14(对m ＝14，h ′(x )＝0仅在x ＝12时成立)，∴m 的取值范围是[14，＋∞)．。
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高考压轴题训练(五)
1.在平面直角坐标系xOy上取两个定点A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动
点N1(0,m),N2(0,n),且mn=3.
(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程;
(2)已知点A(1,t)(t>0)是轨迹M上的定点,E,F是轨迹M上的两个动点,
如果直线AE的斜率k AE与直线AF的斜率k AF满足k AE+k AF=0,试探究直线
EF的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.
解:(1)依题意知直线A
的方程为y=(x+2),
①
的方程为y=-(x-2),
直线A
②
设Q(x,y)是直线A1N1与A2N2的交点,
①×②得y2=-(x2-4).
由mn=3,整理得+=1.
∵N1,N2不与原点重合,
∴点A1(-2,0),A2(2,0)不在轨迹M上,
∴轨迹M的方程为+=1(x≠±2).
(2)直线EF的斜率是定值,理由:
∵点A(1,t)(t>0)在轨迹M上,
∴+=1,
解得t=.
即点A的坐标为(1,).
设k AE=k,
则直线AE的方程为y=k(x-1)+,
代入+=1并整理得
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(-k)2-12=0.
设E(x E,y E),F(x F,y F),
∵点A(1,)在轨迹M上,
∴x E=, ③y E=kx E+-k. ④又k AE+k AF=0得k AF=-k,将③、④式中的k代换成-k,可得
x F=,y F=-kx F++k,
∴直线EF的斜率
k EF==.
∵x E+x F=,
x F-x E=,
∴k EF=
=
=,
即直线EF的斜率为定值,其值为.
2.(2013高考安徽卷改编)已知函数f n(x)=-1+x+++…+(x∈R,n∈N*),在(0,+∞)上单调递增.
证明:(1)对每个n∈N*,存在唯一的x n∈[,1],满足f n(x n)=0;
(2)对任意p∈N*,由(1)中x n构成的数列{x n}满足0<x n-x n+p<.
证明:(1)由于f1(1)=0,
当n≥2时,f n(1)=++…+>0,
故f n(1)≥0.
又f n()=-1++
≤-+()k
=-+·
=-·()n-1<0,
且函数f(x)在(0,+∞)内单调递增.
所以存在唯一的x n∈[,1],满足f n(x n)=0.
(2)当x>0时,f n+1(x)=f n(x)+>f n(x),
故f n+1(x n)>f n(x n)=f n+1(x n+1)=0.
由f n+1(x)在(0,+∞)内单调递增,知x n+1<x n.
故{x n}为单调递减数列,
从而对任意n,p∈N*,x n+p<x n.
对任意p∈N*,
由于f n(x n)=-1+x n++…+=0, ①
f n+p(x n+p)=-1+x n+p++…+++…+=0, ②
①式减去②式并移项,利用0<x n+p<x n≤1,
得x n-x n+p=+
≤≤<
=-<.
因此,对任意p∈N*,都有0<x n-x n+p<.。