四川省泸州市泸县第五中学2020学年高二上学期期末模拟考试数学文试题含Word版含解析

四川省泸县五中高2016级第三学期末模拟考试
数学（文科）
一选择题（每小题5分，12小题，共60分，每小题的四个选项只有一项符合题目要求，请将答案填在后面答题卡中，否则不予给分）
1. 已知命题：，则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
因为全称命题的否定是特称命题，全称命题命题“”的否定为特称命题
“”，故选C.
2. “”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，有，但是时，或，故“”是
“”的充分不必要条件.选A.
3. 有50件产品，编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为7，则第三个样本编号是
A. 37
B. 27
C. 17
D. 12
【答案】B
【解析】用系统抽样时，每个组中抽取的样本编号通常是一个等差数列，且公差为组数，故第三个样本编号为.故选B.
4. 泸州市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是
A. 19
B. 20
C. 21.5
D. 23
【答案】B
【解析】样本数据共有12个，中位数为.故选B.
5. 已知椭圆()的左焦点为F1(－4,0)，则m等于
A. 9
B. 4
C. 3
D. 2
【答案】C
【解析】由题设知焦点在轴上，所以且，故，故选C.
6. 直线与圆相交于两点，若，则的值是：
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆心到直线的距离为，则，又，解得，故选B.
7. 设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是
A. y与x具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心
C. 若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D. 若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
【答案】D
【解析】根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．
故选：D．
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8. 已知直线：与圆:交于、两点且，则
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】由圆的方程知，圆心为，半径为2 ，又半弦长为，圆心到直线的距离，
在直角三角形中，解得，故选B.
点睛：直线与圆相交问题中，经常用到半径，半弦长，弦心距所构成的直角三角形，适当应用可大大简化运算，提高运算效率.
9. 已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点.若点到该抛物线焦点的距离为,则
A. B. C. D.
【答案】B
.....................
故答案为B
点睛：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．
10. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】解：该几何体是棱长分别为的长方体中的三棱锥：，
其中：，
该几何体的表面积为： .
本题选择B选项.
点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.
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11. 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，
则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可知，则．渐近线方程为，则．又可得，．所以双曲线的方程为；故本题答案选．
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12. 直线与椭圆交于、两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形，直线的倾斜角为，所以矩形宽为，长为，由椭圆定义知矩形的长宽之和等于，即，所以.
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 抛物线的准线方程为_________.
【答案】
14. 已知圆上到直线（是实数）的距离为的点有
且仅有个，则直线斜率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意，圆心到直线的距离大于2，则需，解得，故填.
15. 某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校，且每人在该时间段任何的时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为
___________.
【答案】
【解析】假设小张是后的分钟到校，小王是后的分钟到校，则两人到校应满足，它是一个平面区域，对应的面积为.设随机事件为“小张比小王至少早5分钟到校”，则两人到校时间应满足，对应的平面区域如图下图阴影部分所示，其面积为，故所求概率为，故填.
点睛：本题为几何概型中的会面问题，其处理方法是找出基本事件对应的平面区域的面积.
16. 已知椭圆：的右焦点为，为直线上一点，线段交于点，若，则__________．
【答案】
【解析】
由条件椭圆：∴
椭圆的右焦点为F,可知F(1,0)，
设点A的坐标为（2，m），则=（1，m），
∴，
∴点B的坐标为，
∵点B在椭圆C上，
∴，解得：m=1，
∴点A的坐标为（2，1），.
答案为：.
三．解答题：解答应说明必要的文字说明，证明过程和演算步骤.
17. 已知命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线．
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：
先由命题解得；命题得，
（1）当，得命题，再由为真，得真且真，即可求解的取值范围．
（2）由是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，根据则，即可求解实数的取值范围．
试题解析：
命题：由题得，又，解得；
命题：，解得．
（1）若，命题为真时，，
当为真，则真且真，
∴解得的取值范围是．
（2）是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，
设，，则；
∴∴实数的取值范围是．
18. 某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？
【答案】（1）0.0075；（2）224；（3）5
【解析】试题分析：
(1)利用频率分布直方图小长方形的面积之和为1可得x＝0.0075；
(2)结合所给的数据可得：月平均用电量的众数和中位数为,224;
(3)结合频率分布直方图和分层抽样的概念可得月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取5户.
试题解析：
（Ⅰ）由直方图的性质，可得
（0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025）×20＝1
得：x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．
（Ⅱ）月平均用电量的众数是．
因为（0.002＋0.0095＋0.011）×20＝0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002＋0.0095＋0.011）×20＋0.0125×（a－220）＝0.5，
解得：a＝224，
所以月平均用电量的中位数是224．
（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100＝25（户），月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100＝15（户），月平均用电量为[260，280）的用户有：
0.005×20×100＝10（户），
抽取比例，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取（户）．点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；
二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
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19. 已知点及圆.
（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；
（2）设过点P的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；【答案】（1）和；（2）
【解析】试题分析：（1）利用点到直线的距离构建关于斜率的方程，解出斜率即可.注意检验
斜率不存在的情形.（2）因为，所以到直线的距离为，但是，因此为的中点，故可直接写出以为直径的圆的方程.
解析：（1）若直线的斜率存在，则方程为. 即.又圆的圆心为，半径，由，解得.所以直线方程为，即. 若的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件.
（2）由于，而弦心距，所以，所以恰为的中点，故以为直径的圆的方程为.
点睛：注意利用几何量的相互关系简化计算.
20. 某百货公司1～6月份的销售量x与利润y的统计数据如下表：
月份 1 2 3 4 5 6
销售量x(万件) 10 11 13 12 8 6
利润y(万元) 22 25 29 26 16 12 （1）根据2～5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？
【答案】（1）；（2）回归直线方程是理想的
【解析】试题分析：（1）直接根据线性回归方程的公式进行计算.（2）利用求出的线性回归方程检验预测值与实际值的差是否不超过2万元.
解析：（1）根据表中2～5月份的数据，计算得，
，，所以
，.故关于的回归直线方程为：.
(2)当时，，此时；当时，，此时
.故所得的回归直线方程是理想的．
21. 如图，四棱锥中，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，且；为的中点．
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得，，，四点共面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由；
(3)求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：（1）当点为棱的中点时，，，，四点共面，利用中位线，有，即可得四点共面；（2）取中点,连结，，，易证平面，利用等体积法，根据，有，计算得，即点到平面的距离为．
试题解析：
（1）当点为棱的中点时，，，，四点共面．证明如下：
取棱的中点，连结，，又为的中点，所以，
在菱形中，所以，
所以，，，四点共面．
（2）点到平面的距离即点到平面的距离，取中点,连结，，，
依题意可知△，△均为正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，即为三棱锥的高．
在中，，，
在△中，，，边上的高，
所以△的面积．
设点到平面的距离为，由，得，
又，
∴，
解得，所以点到平面的距离为．
考点：立体几何证明垂直与求体积、求距离.
22. 已知椭圆的左焦点为，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，.当四边形是平行四边形时，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而
，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.
再结合韦达定理即可得的值.
试题解析：（1）由已知得：，，所以
又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.
（2）椭圆方程化为.
设T点的坐标为，则直线TF的斜率.
当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是
当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.
将代入椭圆方程得：.
其判别式.
设，
则.
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因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以，即.
所以，解得.
此时四边形OPTQ的面积
.
【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.
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