对换改变排列的奇偶性

9
（1） 1，3，·，2n－1，2，4，·，2n · · · ·
（2） 1，3，·，2n－1，2n，2n－2，·，4，2 · · · ·
第二章 行列式 §2 排列
考虑，在 1，2，3 的全排列中 有 3 个偶排列： 123，231，312 132，213，321
有 3 个奇排列：
一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半 定义3： 把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。 将相邻的两个数对换，称为相邻对换。
考虑：n个数的不同排列有n! 个。 自然排列： 按数的大小次序，由小到大排列。 考虑：n元排列中，自然排列只有一种 除此之外，任一n元排列都一定出现较大数码排在较小
第二章 行列式 §2 排列
定义2： 在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的 数前面，就称这两个数构成一个逆序。 一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数,
若 jn n ，先对 j1 j2 jn 作 jn , n 的对换，它就
' ' ' 变成 j1 j2 jn-1n ，则归结成前一情形，因此总成立.
本定理的后一结论显然成立(自然排列为偶排列).
第二章 行列式 §2 排列
思考题
如果排列 x1 x2 xn-1 xn 的逆序数为 k ，则排列

a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a c c 1 l b 1 m a 1 n
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
xn xn-1 x2 x1 的逆序数是多少？
第二章 行列式 §2 排列
mn 0 ;
则此排列的逆序数为
m1 m2 mn
第二章 行列式 §2 排列
例1： 求排列 32514 的逆序数。 解：
m1 3,
m2 1,
m 3 0,
m4 1,
m5 0
( 32514) 3 1 1 5
例2： 求排列 453162 的逆序数。 课堂练习：
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
第二章 行列式 §2 排列
推论
n! 所有 n 级排列中，奇、偶排列各半， 均为 个. 2
证明 设在全部 n 阶排列中，有 s 个奇排列， t 个
s 偶排列，下证． t 将 s 个奇排列的前两个数对换，则这 s 个奇排列 全变成偶排列，并且它们彼此不同， s t .
1级排列只有1 个，结论自然成立。
假设结论对n-1 级排列成立，现证n级排列情形：
第二章 行列式 §2 排列
设 j1 j2 jn 是一n级排列，若 jn n ,由归纳, 则n-1级排列 j1 j2 jn 可经一系列对换变成排列
12n - 1 ，则此对换将 j1 j2 jn 变成 12n - 1
通常记为 ( i1 , i2 ,, in )
奇排列： 逆序数为奇数的排列。 偶排列： 逆序数为偶数的排列。
第二章 行列式 §2 排列
计算排列的逆序数的方法： n个数的任一n元排列，先看数1，看有多少个比1大的数 排在1前面，记为 m1 ; 再看有多少个比2大的数排在2前面，记为 m 2 ; 继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，记为
定理1 对换改变排列的奇偶性． 定理2 任意一个排列与标准排列 123n 都可
经过一系列对换互换，并且所作对换的次数与 这个排列的奇偶性相同．
定义1：由自然数1,2 , ·· , n 组成的一个有序数组称为 ·· ·· 一个n 级排列。
12345 例如： 51234 都是数1,2, 3 , 4 , 5的一个排列。 53214
同理，将 t 个偶排列的前两个数对换，则这 t 个 偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同， t s. n! 故 st . 2
第二章 行列式 §2 排列
定理2
任意一个排列与标准排列 123n 都可经过 一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个
排列的奇偶性相同．
证明： 对排列的级数n作归纳，证明前一结论成立。
第二章 行列式 §2 排列
定理1
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 证明 1) 特殊情形：作相邻对换 设排列为
a a1 al ab b1 bm 对换 与 b a1 al ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素所成逆序不改变.
第二章 行列式 §2 排列
当 a b时， 经对换后 a 的逆序增加1个 , 当 a b时，
b 所成逆序不变;
b 经对换后 a 所成逆序不变 ， 的逆序减少1个.
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 2) 一般情形
设排列为 a1 a l ab1 bm bc1 c n 现来对换 a 与 b .
第二章 行列式 §2 排列