高考数学总复习 98用向量方法求角与距离课件 理 新人教A版

∴P→C⊥B→F，P→C⊥E→F， ∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF＝F， ∴PC⊥平面 BEF.
(2)由(1)知平面 BEF 的法向量 n1＝P→C＝(2,2 2，－2)， 平面 BAP 的法向量 n2＝A→D＝(0,2 2，0)， ∴n1·n2＝8， 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ，
4．求两平行平面间的距离
→ (1)用公式 d＝|A|Bn·|n|求，n 为两平行平面的一个法向量，A、 B 分别为两平面上的任意两点． (2)转化为点面距或线面距求解．
考点典例讲练
异面直线所成的角 [例 1] (2012·云南省统考)在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平 面 ABC，BC⊥AB，点 D 在棱 PC 上，且 CD＝13CP.
∴PM＝AM＝BM＝CM. ∴点 P、A、B、C 在以棱 PC 的中点 M 为球心，P2C为半 径的球面上．
(2)∵BC⊥AB，PA＝AB＝BC＝2. ∴△ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形．以 AC 为 y 轴，AP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz.则 A(0,0,0)，B( 2， 2，0)，C(0，2 2，0)，P(0,0,2)，A→C＝(0,2 2， 0)，C→P＝(0，－2 2，2)，设 D(xD，yD，zD)，
2．求异面直线间的距离
如上图，若 CD 是异面直线 a、b 的公垂线，A、B 分别为
a、b 上的任意两点，令向量 n⊥a，n⊥b，则 n∥CD.则由A→B＝
A→C＋C→D＋D→B得，A→B·n＝A→C·n＋C→D·n＋D→B·n，
∴A→B·n＝C→D·n， ∴|A→B·n|＝|C→D|·|n|， ∴|C→D|＝|A→|Bn·|n|，
xD＝0， ∵CD＝13CP，∴C→D＝13C→P，∴zyDD＝＝234.3 2，
∴D(0，432，23)，B→D＝(－ 2， 32，23)．
设异面直线 BD 与 AC 的夹角等于 θ，则
→→cosθ＝Fra bibliotekBD·AC →→
＝
3 6.
|BD||AC|
∴异面直线
BD
与
AC
的夹角的余弦值等于
3 6.
点评：设 a、b 是异面直线 l1、l2 的方向向量，l1 与 l2 的夹 角为 θ，则 cosθ＝|a|a|··b|b||.
4．平行直线间的距离——从两条平行线中一条上任意取 一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度．
5．异面直线间的距离——两条异面直线的公垂线夹在这 两条异面直线间的线段的长度．
6．直线与平面间的距离——如果一条直线和一个平面平 行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的 长度．
7．两平行平面间的距离——两个平面的公垂线段的长 度．
(2)∵AO⊥平面 A1B1C1，∴AO⊥B1C1， 又∵A1C1⊥B1C1，且 A1C1∩AO＝O， ∴B1C1⊥平面 A1C1CA，∴A1C⊥B1C1. 又∵AA1＝AC，∴四边形 A1C1CA 为菱形， ∴A1C⊥AC1，且 B1C1∩AC1＝C1，
∴A1C⊥平面 AB1C1，∴AB1⊥A1C， 即异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90°. (3)∵O 是 A1C1 的中点，AO⊥A1C1，∴AC＝AA1＝2，又 A1C1＝AC＝2，∴△AA1C1 为正三角形， ∴AO＝ 3，又∠BCA＝90°，∴A1B1＝AB＝2 2， 设点 C1 到平面 AA1B1 的距离为 d， ∵VA－A1B1C1＝VC1－AA1B1，
→ ∴两异面直线 a、b 间的距离为 d＝|A|Bn·|n|.
3．求直线到平面的距离
设直线 a∥平面 α，A∈a，B∈α，n 是平面 α 的法向量， 过 A 作 AC⊥α，垂足为 C，则A→C∥n，
∵A→B·n＝(A→C＋C→B)·n＝A→C·n， ∴|A→B·n|＝|A→C|·|n|. ∴直线 a 到平面 α 的距离 d＝|A→C|＝|A→|Bn·|n|.
(1)证明：PC⊥平面 BEF； (2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小．
解析：
解法 1：(1)如图，以 A 为坐标原点 AB，AD，AP 所在直 线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2 2，四边形 ABCD 是矩形． ∴A，B，C，D，P 的坐标为 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2 2， 0)，D(0,2 2，0)，P(0,0，，2)， 又 E，F 分别是 AD，PC 的中点， ∴E(0， 2，0)，F(1， 2，1)， ∴P→C＝(2,2 2，－2)，B→F＝(－1， 2，1)，E→F＝(1,0,1)， ∴P→C·B→F＝－2＋4－2＝0，P→C·E→F＝2＋0－2＝0，
(2011·武汉黄陂中学期末)在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中， AB＝AA1，则 AC1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为( )
2 A. 2
15 B. 5
6 C. 4
6 D. 3
解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB＝2，则 C1( 3，
1,0)、A(0,0,2)，A→C1＝( 3，1，－2)，平面 BB1C1C 的一个法
向量为 n＝(1,0,0)，所以 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦
→
值为
|AC1·n| →
＝
|AC1||n|
3＝ 8
46，故选
C.
答案：C
二面角 [例 3] 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩 形，PA⊥平面 ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2 2，E，F 分别是 AD，PC 的中点．
如图建立空间直角坐标系 O－xyz，则 A(0,0， 3)，A1(0， －1,0)，E(0，－12， 23)，C1(0,1,0)，B1(2,1,0)，C(0,2， 3)．
(1)∵O→E＝(0，－12， 23)，A→C1＝(0,1，－ 3)，
∴O→E＝－12A→C1，即 OE∥AC1，
又∵EO⊄平面 AB1C1，AC1⊂平面 AB1C1，
(1)求证：点 P、A、B、C 在同一个球面上； (2)设 PA＝AB＝BC＝2，求异面直线 BD 与 AC 所成角的 余弦值．
解析：(1)证明：设 M 是棱 PC 的中点． ∵PA⊥平面 ABC，AC⊂平面 ABC.
BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥AC，PA⊥BC. 又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面 PAB， ∴BC⊥PB. ∴BM＝PM＝CM. ∵PA⊥AC， ∴AM＝PM＝CM，
思想方法技巧
一、用向量法求空间的角 1．求异面直线所成的角 设 l1 与 l2 是两异面直线，a、b 分别为 l1、l2 的方向向量， l1、l2 所成的角为 θ，则〈a，b〉与 θ 相等或互补， ∴cosθ＝|a|a|··b|b||.
2．求直线与平面所成的角 如图，设 l 为平面 α 的斜线，l∩α＝A，a 为 l 的方向向量， n 为平面 α 的法向量，φ 为 l 与 α 所成的角，则 sinφ＝|cos〈a， n〉|＝||aa|·|nn||.
如图所示，已知点 B(x0，y0，z0)，平面 α 内一点 A(x1，y1， z1)，平面 α 的一个法向量 n，直线 AB 与平面 α 所成的角为 φ， θ＝〈n，A→B〉，则 sinφ＝|cos〈n，A→B〉|＝|cosθ|.由数量积的定 义知，n·A→B＝|n||A→B|cosθ，∴点 B 到平面 α 的距离 d＝|A→B|·sinφ ＝|A→B|·|cosθ|＝|n|·nA→|B|.
在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值等于
()
3 A. 2
10 B. 10
3
2
C.5
D.5
解析：以 D 点为原点，分别以D→A、D→C、D→D1方向为 x 轴、 y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，M(1，12，1)，C(0,1,0)，N(1,1，12)．
则 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝||nn11|··n|n22||＝4×82
＝ 2
22，
∴θ＝45°，∴平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45°.
解法 2：
(1)连接 PE，EC， 在 Rt△PAE 和 Rt△CDE 中，
PA＝AB＝CD，AE＝DE， ∴PE＝CE， 即△PEC 是等腰三角形， 又 F 是 PC 的中点，∴EF⊥PC， 又 BP＝ AP2＋AB2＝2 2＝BC，F 是 PC 的中点， ∴BF⊥PC， 又 BF∩EF＝F，∴PC⊥平面 BEF.
∴OE∥平面 AB1C1.
(2)∵A→B1＝(2,1，－ 3)，A→1C＝(0,3， 3)， ∴A→B1·A→1C＝0，即∴AB1⊥A1C， ∴异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90°. (3)设 A1C1 与平面 AA1B1 所成角为 θ， ∵A→1C1＝(0,2,0)，A→1B1＝(2,2,0)，A→1A＝(0,1， 3)， 设平面 AA1B1 的一个法向量是 n＝(x，y，z)，
第九章 立体几何
第九章
第八节 用向量方法求角与距离(理)
基础梳理导学
3 考点典例讲练
思想方法技巧
4 课堂巩固训练
5 课后强化作业
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：用向量方法求角与距离． 难点：将空间的角与距离用向量表示．
夯实基础 稳固根基 一、空间的距离 1．两点间的距离——连结两点的线段的长度． 2．点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂直相交 的直线，点到垂足之间线段的长度． 3．点到平面的距离——从平面外一点向平面引垂线，点 到垂足间线段的长度． 连接平面 α 外一点与平面 α 内任一点的线段中，垂线段 最短．
则AA→→11BA1·n·n＝＝00，，
即2y＋x＋23yz＝＝00，.
不妨令 x＝1，可得 n＝(1，－1， 33)，
∴sinθ＝cos〈A→1C1，n〉＝
2
＝ 7
721，
2· 3
∴A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值为
21 7.
点评：注意直线的方向向量和平面的法向量所成角的余 弦值的绝对值是线面角的正弦值，而不是余弦值．
二、求距离的方法 1．几何方法 ①找出或作出有关距离的图形； ②证明它符合定义； ③在平面图形内计算． 空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特 殊情况也可以利用等积法． 2．向量法
疑难误区 点拨警示 平面的法向量与直线的方向向量在求空间的角中起着关 键作用，要注意向量的夹角与各种角的联系与区别．
3．求二面角 平面 α 与 β 相交于直线 l，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，<n1，n2>＝θ，则二面角 α－l－β 为 θ 或 π－θ. 设二面角大小为 φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝|n|n11|··n|n22||.
※二、用向量法求空间距离 1．求点到平面的距离
即13·(12·A1C1·B1C1)·AO＝13·S△AA1B·d.
又∵在△AA1B1 中，A1B1＝AB1＝2 2，
∴S△AA1B1＝ 7，∴d＝2 721，
∴A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值为
21 7.
解法 2：∵O 是 A1C1 的中点，AO⊥A1C1，∴AC1＝AA1＝ 2，又 A1C1＝AC＝2，∴△AA1C1 为正三角形，∴AO＝ 3，又 ∠BCA＝90°，∴A1B1＝AB＝2 2，
(1)证明：OE∥平面 AB1C1；
(2)求异面直线 AB1 与 A1C 所成的角； (3)求 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值．
解析：解法 1：(1)证明：∵点 O、E 分别是 A1C1、AA1 的
中点，∴OE∥AC1，
又∵EO⊄平面 AB1C1，AC1⊂平面 AB1C1，
∴OE∥平面 AB1C1.
∴A→M＝(0，12，1)，C→N＝(1,0，12)．
故A→M·C→N＝0×1＋12×0＋1×12＝12，
|A→M|＝ 02＋122＋12＝ 25，
|C→N|＝
12＋02＋122＝
5 2.
∴cos〈A→M，C→N〉＝
→→ AM·CN →→
＝25.
|AM||CN|
答案：D
线面角
[例 2] (2012·辽宁大连市、沈阳市二模)如图，在斜三棱 柱 ABC－A1B1C1 中，点 O、E 分别是 A1C1、AA1 的中点，AO ⊥平面 A1B1C1.已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2.