《高等数学》课件第5章

因为图5-1所示的图形不是规则图形，所以它的面积不能 用学过的规则图形的面积公式直接求解. 该图形的三条边是 直线，其中有两条边垂直于第三条底边，而第四条边是曲线 段，这样的图形我们称为曲边梯形.
观察图5-2所示的图形发现：阴影部分的面积是两个曲 边梯形面积之差. 计算任意曲线所围成的平面图形面积的关 键在于计算曲边梯形的面积. 下面将研究曲边梯形的面积.
的近似值为
n
A f (i )xi
i1
(4) 取极限.当分割无限加细，即小区间的最大长度
max{ x1, x2 ,, xn}
趋近于零(λ→0)时，小矩形的面积之和趋近于曲边梯形面
积，即
n
A lim 0
i 1
f (i )xi
2. 引例5-2 已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间t的连续 函数，且v(t)≥0，计算物体在时间段［T1，T2］内所经过的路 程s. 由于速度v=v(t)连续， 在解题思路上与求曲边梯形的面积 类似：
差一个常数，所以
x
f (t)dt F(x) C (a≤x≤b) a
在上式中，令x=a，解得C=－F(a)， 再代入上式得
x
a f (t)dt F(x) F(a)
再令x=b，并把积分变量t换成x，便得到
b
a f (x)dx F(b) F(a)
为方便表示，通常记 F(b)－F(a) [F(x)]ba
第5章 定积分及其应用
5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本定理 5.3 定积分的计算方法 5.4 广义积分 5.5 定积分的几何应用 5.6 定积分的物理应用 本章小结
5.1 定积分的概念与性质
5.1.1
引例5-1(校园草坪面积问题) 某学校校园草坪平面图形尺 寸如图5-1所示(单位：m)，其中曲线段部分是抛物线型，试 计算草坪的面积.
设
x 1,
f
(x)
1 2
x
2
,
x 1 x 1
，求
2
0 f (x)dx
.
解
2
f (x)dx
0
2 1 x2dx 02
初等函数在定义区间内都是可积的.
5.1.3 定积分的几何意义 (1) 若f(x)在区间［a，b］上有f(x)≥0， 则
曲边梯形的面积，即
b
a f (x)dx
表示
b
a f (x)dx A
图5-4中所示阴影部分的面积为
1 1 x2 dx πa2
1
2
图 5-4
(2) 若f(x)在区间［a，b］上有f(x)≤0，则
x
(x) a f (t)dt
是一个与x有关的量，称为变上限的定积分[HT]或称变上限 (积分)函数.
从几何上看，函数Φ(x)表示区间［a，x］上的曲边梯形 的面积，如图5-10中所示的阴影部分.
图5-10
定理5-1 如果函数f(x)在区间［a，b］上连续，则变上
限积分函数
(x)
x a
f
(t)dt
或
F ( x)
b a
.
于是
式(5-2)可写成
b a
f
(x)dx
[F(x)]ba
F(b)
F(a)
该式表明了定积分与不定积分的密切关系.
定理5-1和定理5-2揭示了微分与积分以及定积分与不定
积分之间的内在联系，因此统称为微积分基本定理.
例5-5
计算
1 x2dx 0
.
解
因为
1 x3 3
是x2的一个原函数， 所以
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
估值定理的几何意义： 由连续曲线f(x)和直线x=a、x=b 及x轴所围成的曲边梯形的面积，介于以b－a为底、 以最小 值m及最大值M为高的两个矩形面积之间，如图5-8所示.
图 5-8
性质5-7(积分中值定理) 如果f(x)在［a，b］上连续，则至 少存在一点ξ∈(a，b)，使得
定理5-2 如果函数F(x)是连续函数f(x)在［a，b］上的 一个原函数，那么
b
a f (x)dx F(b) F(a)
式(5-2)称为牛顿-莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式.
证明
由定理5-1得
，
(x)
x
a
f
(t)dt
是f(x)的一个原函
数；又知F(x)也是f(x)的一个原函数，而两个原函数之间仅相
b
a
f
(
x)dx表示
b
a f (x)dx A
(3) 若在［a，b］上f(x)有正有负，则
b
a f (x)dx
等于
［a，b］上位于x轴上方的图形面积减去x轴下方的图形面
积. 例如对图5-5所示图形有
b
a f (x)dx A1 A2 A3
其中A1、A2、A3分别是图5-5中对应的图形面积.
图 5-5
d
(x)
f (t)dt f [(x)](x)
dx a
例5-4
计算 1 et2dt
lim cosx
.
x0
x2
解 这是一个“ 0 ”型的未定式，利用洛必达法则，得
0
1 et2dt
lim cosx
x0
x2
cosx et2 dt
lim 1
x0
x2
sin xecos2 x 1
lim
x0
2x
2e
5.2.2 牛顿-
［a，b］中任意插入分点a=x0<x1<…<xn－1<xn=b，把区间［a，
b］分成一些小区间［x0，x1］、 ［x1，x2］、 …、
［xn－1，xn］，记Δxi=xi－xi－1(i=1，2，…，n)，λ=max {Δx1，
Δx2，…，Δxn}，在每个小区间上任取ξi∈［xi－1，xi］，作乘
积的和式
b
a f (x)dx f ()(b a)
积分中值定理的几何意义： 由连续曲线f(x)和直线x=a、
x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积，等于以b－a为底、 以某
一点ξ∈(a，b)处的函数值f(ξ)为高的矩形的面积，如图5-9所
示. 通常我们把 均值.
f
(
)
b
1
a
b
a
f
(x)dx
称为f(x)在［a，b］上的平
，n如f (果i )xi i 1
n
lim存0 i1在f (，i )则xi称f(x)在区
间［a，b］上可积，其极限值称为f(x)在区间［a，b］上的定
积分，记为
b
n
a
f (x)dx lim 0
i 1
f (i )xi
(5-1)
其中，f(x)称为被积函数；f(x) dx称为被积表达式；x称
为积分变量；a称为积分下限；b称为积分上限；［a，b］称
b
b
b
a[ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx
这个性质可推广到有限个函数的代数和的定积分.
性质5-3(积分区间的可分性) 对任意的a≤c≤b，有
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
注： c [a，b] 时，该结论仍成立，如图5-6和图5-7所示.
(2)
sin x
(x) ln(1 1
t )dt 可以看作是
u
ln(1
t )dt
和u=sinx ,
1
形成的复合函数,根据复合函数求导法则,得
(x) d
sin x
ln(1 t )dt
dx 1
du
dsinx
du
1
l n (1
t )dt
dx
一般地，有
ln(1 sin x ) cos x
图 5-1
图 5-2
1. 曲边梯形的面积 设函数f(x)在区间［a，b］上非负、连续，由直线x=a、 x=b、y=0及曲线f(x)所围成的图形称为曲边梯形，如图5-3 所示. 联系到函数f(x)在区间［a，b］上连续，如果［a，b］ 长度很小时，f(x)的改变量很小，那么曲边梯形的面积可用 矩形面积近似. 由此启发我们把区间［a，b］划分为若干 小区间，在每个小区间用小矩形的面积近似代替对应的小 曲边梯形面积，如图5-3所示. 显然，小矩形越多，矩形的 总面积越接近曲边梯形的面积. 为此我们采用以下步骤：
为积分区间.
如果
n
lim
0 i1
f (i )xi
不存在，
那么称f(x)在区间［a，b］
上不可积.
由定积分的定义，前面讨论的两个引例可分别用定积 分表示如下：
曲边梯形的面积为
b
A a f (x)dx
变速直线运动的路程为
S T2 v(t)dt T1
根据定积分的定义，可得: (1) 定积分的结果是一个数，它只与被积函数f(x)和积分 区间[a,b]有关，与区间[a,b]的分法、点 的取法及积分变量 的记号均无关，即
x0 Δx x
即 Φ′(x)=f(x)
由定理5-1可知函数Φ(x)是f(x)的一个原函数.从而有以下 推论.
推论5-2 连续函数的原函数一定存在.
例5-3 求下列函数的导数.
(1)
(x)
x
t
2e
t dt
0
sin x
(2)
(x) ln(1 t )dt
1
解 (1) 根据定理5-1得: (x) x2e x .
.
在区间［0，1］上，f′(x)≥0，即f(x)在［0，1］上单调增加，
1 f (0) f (x) f (1) e π 4
5-6，得
1
1
1π
0 dx 0 f (x)dx 0 (e 4 )dx即源自1 1(e
x
arctan
x)dx
e
π
0
4
5.2 微积分基本定理
5.2.1
定义5-2 设函数f(x)在区间［a，b］上连续，设x∈［a， b］，则定积分
(1) 分割. T1=t0<t1<…<tn－1<tn=T2，［ti－1，ti］(i=1，2，…， n)，记Δti=ti－ti－1；
(2) 近似. 物体在时间［ti－1，ti］内所经过的路程近似为 v(τi) Δti，τi∈［ti－1，ti］(i=1，2，…，n)；
(3) 求和. 物体在时间段［T1，T2］内所经过的路程近似
π
π
例5-1 比较定积分 2 sin10 xdx 与 2 sin2 xdx 的大小.
0
0
解 因为|sinx|≤1，所以sin10x≤sin2x， 故
π
π
2 sin10 xdx 2 sin2 xdx
0
0
例5-2
估计定积分
1
(e
x
arctan
x)dx
0
的取值范围.
解 令f(x)=ex－arctanx，则
n
S v( i )t
；
i 1
(4) 取极限. 记λ=max {Δx1，Δx2，…，Δxn}，
物体所经过的路程为
n
S
lim
0
i 1
v( i )t
5.1.2
以上两个问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路
和数学模型的形式相同，抓住它们的共性本质与特性等，加
以概括， 可抽象出如下的定义：
定义5-1 设函数f(x)在区间［a，b］上有定义，在区间
综上所述：ab f (x)dx
x=a、x=b、y=0及曲线f(x)
所围成的图形面积的代数和，这就是定积分的几何意义.
5.1.4
假设函数在所讨论的区间内可积，根据定积分的定义可
得(证明略)：
性质5-1 被积函数的非零常量因子可提到积分号之前.
即
b
b
kf
a
(x)dx
k a
f
(x)dx
性质5-2 函数的代数和可逐项积分. 即
1x2dx 1 x3 1 1 13 1 03 1
0
3 03
3
3
例5-6
计算
3 dx
1 1 x2 .
解 因为 (arctanx) 1
1 x2
，所以
3 dx arctanx 3
1 1 x 2
1
arct an
3 arctan(1)
π ( π ) 7 π 3 4 12
例5-7
图 5-6
图 5-7
性质5-4
如果f(x)在区间[a，b]上恒等于1，那么
b
a dx b a
；
性质5-5(积分值的比较) 若在区间[a，b]上f(x)≤g(x)，则
b
b
a f (x)dx a g(x)dx
b
b
推论5-1
a
f
(x)dx
a
f
(x) dx
.
性质5-6(估值定理) 若f(x)在［a，b］上连续，其最小值、 最大值分别记为m和M
Φ′(x)=f(x) (a≤x≤b)
在［a，b
证明 对x∈(a，b)，当x→x+Δx时
xΔx
x
Δ f (t)dt f (t)dt
xΔx
f (t)dt
a
a
x
由积分中值定理得: ΔΦ=f(ξ) Δx(ξ在x与Δx之间)， 当Δx→0时，ξ→x，而f(x)在［a，b］上连续，得
(x) lim Δ lim f ( ) f (x)
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
(2) 定义中要求，为方便起见，允许b≤a ，并规定 ：
b f (x)dx
a f (x)dx，
a
b
a
f (x)dx 0
a
(3) 可积的条件：若函数f(x)在[a,b]上连续或仅有有限个 第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积.（证明略）
(1) 分割. 在区间［a，b］内插入若干个分点
a=x0<x1<…<xn－1<xn=b 把区间［a，b］分成n个小区间［xi－1，xi Δxi=xi－xi－1(i=1，2，…，n).
图 5-3
(2) 近似. 在每个小区间［xi－1，xi］上任取一点ξi，第i
Ai≈f(ξi) Δxi(i=1，2，…，n) (3) 求和. 将n个小矩形的面积相加，得到曲边梯形面积