2019届高考数学一轮复习 第五篇 数列 第4节 数列求和及综合应用训练 理 新人教版

第4节数列求和及综合应用
(C)420- (1-) (D)440- (1-)
解析:设数列{a n}的前n项和为S n,则S20=a1+a2+…+a20=2(1+2+…+20)-3(++…
+)=2×-3×=420- (1-).
故选C.
2.数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100等于( B )
(A)200 (B)-200 (C)400 (D)-400
解析:S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)
=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]+[-3-(-3)-3+…-(-3)]
=4×(-50)=-200.
故选B.
3.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为( A )
(A)-24 (B)-3 (C)3 (D)8
解析:由a2,a3,a6成等比数列且a1=1得
(1+2d)2=(1+d)(1+5d).
因为d≠0,所以d=-2,
所以S6=6×1+×(-2)=-24.
故选A.
4.(2017·安阳一模)已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则数列{log2 a n}的前10项和等于
( C )
(A)1 023 (B)55 (C)45 (D)35
解析:数列{a n}的前n项和S n=2n-1,可得a1=S1=2-1=1;
当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,对n=1也成立.所以a n=2n-1(n∈N*)
log2a n=log22n-1=n-1,
则数列{log2a n}的前10项和等于0+1+2+…+9=×(1+9)×9=45.
故选C.
5.(2017·湖南模拟)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2(n∈N*),记数列{}的前n 项和为T n,则T2 017等于( B )
(A)(B)(C)(D)
解析:当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2- (n-1)2=2n-1,
当n=1时适合上式,所以a n=2n-1.(n∈N*).
所以== (-),
数列{}的前n项和为T n= (1-+-+…+-)= (1-).
则T2 017= (1-)=.
故选B.
6.(2016·湖北三校联考)已知等比数列{a n}的各项都为正数,且当n≥3时,a4=1,则
数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg a n,…的前n项和S n等于( C )
(A)n·2n (B)(n-1)·2n-1-1
(C)(n-1)·2n+1 (D)2n+1
解析:因为等比数列{a n}的各项都为正数,且当n≥3时,a4a2n-4=102n,
所以=102n,即a n=10n,
所以2n-1lg a n=2n-1lg 10n=n·2n-1,
所以S n=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①
2S n=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,②
所以①-②得-S n=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=(1-n)·2n-1,
所以S n=(n-1)·2n+1.选C.
7.(2017·郴州二模)已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n-a,则++…+等于( D )
(A)(2n-1)2(B) (2n-1)
(C)4n-1 (D) (4n-1)
解析:因为S n=2n-a,所以a1=2-a,a1+a2=4-a,a1+a2+a3=8-a,
解得a1=2-a,a2=2,a3=4,
因为数列{a n}是等比数列,所以22=4(2-a),解得a=1.
所以公比q=2,a n=2n-1,=22n-2=4n-1.
则++…+== (4n-1).故选D.
8.(2016·广东汕尾调研)已知数列{a n}为等比数列,a1=3,a4=81,若数列{b n}满足
b n=(n+1)log3a n,则{}的前n项和S n= .
解析:由题知a n=3n,
所以b n=n(n+1),= -,
所以S n=(1-)+(-)+…+(-)
=1-
=.
答案:
9.(2017·合肥二模)等比数列{a n}满足a n>0,且a2a8=4,则log2 a1+log2 a2+log2 a3+…+log2 a9= .
解析:根据题意,等比数列{a n}的各项都是正数,a1·a9=a2·a8=a3·a7=a4·a6==4,
则a5=2,则log2 a1+log2 a2+…+log2 a9=log2(a1·a2·…·a9)=log2(29)=9,
答案:9
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10.已知数列{a n}满足a n+1-a n=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+…+|a6|等于( C )
(A)9 (B)15 (C)18 (D)30
解析:因为a n+1-a n=2,a1=-5,所以数列{a n}是公差为2的等差数列.
所以a n=-5+2(n-1)=2n-7.
数列{a n}的前n项和S n==n2-6n.
令a n=2n-7≥0,解得n≥.
所以n≤3时,|a n|=-a n.
n≥4时,|a n|=a n.
则|a1|+|a2|+…+|a6|=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=62-6×6-2(32-6×3)=18.
故选C.
11.(2017·安徽宿州一模)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a2=2,a n+2+(-1)n-1a n=1,则S40等于( C )
(A)260 (B)250 (C)240 (D)230
解析:由a n+2+(-1)n-1a n=1,
当n为奇数时,有a n+2+a n=1,
当n为偶数时,a n+2-a n=1,
所以数列{a n}的偶数项构成以2为首项,以1为公差的等差数列,
则S40=(a1+a3+a5+a7+…+a39)+(a2+a4+…+a40)
=10×1+20×2+×1=240.
故选C.
12.(2017·淮北二模)已知数列{b n}是等比数列,b n=,a1=1, a3=3,c n=(a n+1)·b n,那么数列{c n}的前n项和S n= .
解析:设等比数列{b n}的公比为q,由题意得===q,即a n+1-a n=log2 q.
所以{a n}为等差数列,又d==1,a1=1.
所以a n=1+n-1=n,b n=2n-1.
所以c n=(a n+1)·b n=(n+1)·2n-1.
所以数列{c n}的前n项和S n=2×1+3×2+4×22+…+(n+1)·2n-1.①
2S n=2×2+3×22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,②
①-②得
-S n=2+2+22+23+…+2n-1-(n+1)·2n=1+-(n+1)·2n=-n·2n,
所以S n=n·2n.
答案:n·2n
13.已知等差数列{a n}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{a n}的通项公式;
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|a n|}的前n项和.
解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,
则a2=a1+d,a3=a1+2d,
由题意得
解得或
所以由等差数列通项公式可得
a n=2-3(n-1)=-3n+5,或a n=-4+3(n-1)=3n-7.
故a n=-3n+5,或a n=3n-7.
(2)当a n=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;
当a n=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
故|a n|=|3n-7|=
记数列{|a n|}的前n项和为S n.
当n=1时,S1=|a1|=4;
当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;
当n≥3时,S n=S2+|a3|+|a4|+…+|a n|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)
=5+=n2-n+10.
当n=2时,满足此式.
综上,S n=
14.(2017·衡水一模)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且满足a n+1=S n+2n+1(n∈N*).
(1)证明数列{}为等差数列;
(2)求S1+S2+…+S n.
(1)证明:由S n+1-S n=a n+1得S n+1-S n=S n+2n+1,即S n+1-2S n=2n+1,
整理得-=1,
因为n=1时,==1,
所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2)解:由(1)可知,=1+n-1=n,即S n=n·2n,
令T n=S1+S2+…+S n,T n=1·2+2·22+…+n·2n,①
2T n=1·22+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②
①-②,得-T n=2+22+…+2n-n·2n+1,
整理得T n=2+(n-1)·2n+1.
15.(2017·江西鹰潭二模)已知数列{a n}与{b n},若a1=3且对任意正整数n满足a n+1-a n=2,数列{b n}的前n项和S n=n2+a n.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和T n.
解:(1)由题意知数列{a n}是公差为2的等差数列,
又因为a1=3,所以a n=3+2(n-1)=2n+1.
数列{b n}的前n项和S n=n2+a n=n2+2n+1=(n+1)2,
当n=1时,b1=S1=4;
当n≥2时,b n=S n-S n-1=(n2+2n+1)-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1.
上式对b1=4不成立.
所以数列{b n}的通项公式为b n=
(2)n=1时,T1==,
n≥2时,== (-),
所以T n=+ (-+-+…+-)=+=. n=1仍然适合上式.
综上,T n=.。