平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案

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平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案
学习目标：
1、利用物理中功的概念了解平面向量数量积的物理背景，理解向量的数量积概念及几何；
2、掌握由定义得到的数量积的5条重要性质，并能运用性质进行相关的判断和运算；
3、掌握向量数量积的运算律,并能熟练运用向量数量积的运算律进行相关的判断和运算； 学习过程 一、课前准备 复习：
1．向量加法和减法运算的两个法则是 和 . 2．向量加法运算满足的运算律是 和 3．化简计算
()134a -⨯ ()()(2)32a b a b a +---
()()()32332a b c a b c +---+ ()()()()()12124c d c d t t t t -+-+-
思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量 能否“相乘”呢？ 二、新课导学
探究1：如下图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功
W = ，其中θ是 .
思考:这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
F （力）是 量；S （位移）是 量； W （功）是 量；
结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？ 新知1：向量的数量积（或内积）的定义 【合作探究】向量夹角的定义，画法，范围
探究2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？ 学生讨论，完成下表：
θ的范围 0°≤θ<90°
θ=90°
0°<θ≤180°
a ·
b 的符号
新知2：向量的数量积（或内积）几何意义 （1）投影的概念： (2)数量积的几何意义：
（3）功的数学本质
新知3：由定义得到的数量积的结论
设a 和b 都是非零向量，为其夹角则
⑴当a 与b 垂直时，即a b a b ⊥⇔⋅= （2）a a ⋅= ，或a = ； （3）
cos
= （4）a b ⋅ a b .
【合作探究】学生证明结论2， 4 证明：
新知4：数量积的运算律
探究3：我们学过了实数乘法的哪些运算律？学习了向量数量积后，这些运算律对向量是否也适用？（学生猜想并给出解释说明，错误的说明理由） 【合作探究】学生证明运算律1,2,3(3参考右图或课本93页) 证明：
三、典型例题
例题1 0
5,4,=120a b a b a b θ==已知与的夹角，求
5,4,a b a b a b == 变式一 已知=-10,求与的夹角 5,4,a b a b a b == 变式二 已知=-10,求在方向上的投影
四、合作探究归纳总结
a b
+。