人教A版选修1.6《微积分基本定理》作业及答案

数学·选修2－2(人教A 版)
1．6 微积分基本定理
一、选择题
1. ⎰10(e x ＋2x )d x ＝( )
A ．1
B ．e －1
C ．e
D ．e ＋1
答案：C
2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2，－1≤x ≤0，1，0＜x ≤1，则⎰1－1f (x )d x 的值为( ) A.32 B.43 C.23 D ．－23
答案：B
3．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )
A. ⎰20(x 2－1)d x
B. |⎰20(x 2－1)d x |
C. ⎰20|x 2－1|d x
D. ⎰20(x 2－1)d x ＋⎰21(x 2－1)d x
答案：C
4．下列定积分计算正确的是( )
A. ⎰π－πsin x d x ＝4
B. ⎰102x d x ＝1
C. ⎰21⎝
⎛⎭⎪⎫1－1x d x ＝ln e 2 D. ⎰1－13x 2d x ＝3
解析：
＝0；＝log 2e ； ⎰21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x d x ＝
⎪⎪(x －ln x )21＝1－ln 2＝ln e 2； ⎰1－1＝2.故选C.
答案：C
⎰a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则正数a 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
解析：⎰a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝
⎪⎪(x 2＋ln x )a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a 2－1＝3，所以a ＝－2(舍去)，a ＝2.故选B.
答案：B
二、填空题
6．定积分⎰21x d x ＝__________.
答案：23
(22－1)
7．(2013·湖南卷)若⎰T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．
解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33′＝x 2，所以＝9，所以T ＝3.
答案：3
8．计算定积分⎰1－1(x 2＋sin x )d x ＝________.
答案：23
三、解答题
9．计算下列定积分：
(1) ⎰30|2－x |d x ；
解析： ⎰30|2－x |d x
＝⎰20(2－x )d x ＋⎰32(x －2)d x
＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 220＋ ⎪⎪⎪
⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x 3
2
＝2＋1
2＝5
2.
(2)⎰π
2－π
2cos 2x d x .
解析：
10．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且⎰10f (x )d x ＝1，求证：
⎰10
[f (x )]2d x >1.
证明：由于⎰10f (x )d x ＝⎰10(ax ＋b )d x
＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx 10＝12a ＋b ， 所以12
a ＋
b ＝1， 所以⎰10[f (x )]2d x ＝⎰10(ax ＋b )2d x ＝⎰10(a 2x 2＋2abx ＋b 2)d x ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2x 3＋abx 2＋b 2x 10＝13a 2＋ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b 2＋112a 2＝1＋112a 2>1(a ≠0)，故原不等式成立．。