人教版高中数学必修5：第三章 不等式(课堂同步教学课

课时跟踪检测(十八) 简单的线性规划问题
一、选择题
1．目标函数z ＝3x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线的纵截距的相反数
D ．该直线的横截距
2．现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x 辆载重6吨汽车和y 辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A ．z ＝6x ＋4y
B ．z ＝5x ＋4y
C ．z ＝x ＋y
D ．z ＝4x ＋5y
3．在△ABC 中，三个顶点分别为A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为( )
A ．[1,3]
B ．[－3,1]
C ．[－1,3]
D ．[－3，－1]
4．实数x ，y 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝
y －1
x ＋1
的取值范围是( ) A.⎣
⎡⎦⎤－1，13 B.⎣⎡⎦⎤－12，13 C.⎣⎡⎭
⎫－1
2，＋∞ D.⎣⎡⎭
⎫－1
2，1 5．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )
A ．12 万元
B ．20 万元
C ．25 万元
D ．27 万元
二、填空题
6．如图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤5，
2x ＋y ≤6，
x ≥0，
y ≥0.在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y 取得
最大值的点的坐标是________．
7．(2012·浙江高考)设z ＝x ＋2y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，
x ≥0，
y ≥0，
则z 的取值范围是________．
8．若目标函数z ＝x ＋y ＋1在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －2≤0
x －y ＋2≤0
y ≤n
x ≥－3下取得最大值的最优解有无穷多个，则
n 的取值范围是________．
三、选择题
9．已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤4，x －y ≤1，
x ＋2≥0.
(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．
10．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a 的钢条2根，长度为b 的钢条1根；或截成长度为a 的钢条1根，长度为b 的钢条3根．现长度为a 的钢条至少需要15根，长度为b 的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？
答 案
课时跟踪检测(十八)
1．选C 由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，在该方程中－z 表示直线的纵截距，因此z 表示该直线的纵
截距的相反数．
2．选A 由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z ＝6x ＋4y . 3.选C 先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z ＝y －x 的取值范围．由图求出其取值范围是[－1,3]．
4.选D 利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P (x ，y )与定点A (－1,1)连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1
x ＋1
表示阴影部分的点与定点A (－1,1)的连线的斜率，由图可知点A (－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－1
2
≤W
＜1.
5．选D 设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：
则有⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞0，y
＞0，3x ＋y ≤13，
2x ＋3y ≤18，
目标函数z ＝5x ＋3y .
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元，故选D.
6．解析：首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z 最大．
答案：(0,5)
7．解析：画出可行域如图，
由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z
2
，
则z 2的几何意义是直线y ＝－12x ＋z
2在y 轴上的截距，当直线过点O 及直线x －y ＋1＝0和x ＋y －2＝0的交点A ⎝⎛⎭⎫12，32时，z 分别取得最小值0和最大值7
2
，故z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，72. 答案：⎣⎡⎦
⎤0，72 8．解析：先根据⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0x －y ＋2≤0，
x ≥－3
作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z ＝x ＋y ＋1
取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x ＋y －2＝0，且只有当n ＞2时，可行域才包含x ＋y －2＝0这条直线上的线段BC 或其部分．
答案：n ＞2
9．解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤4，x －y ≤1，
x ＋2≥0，
表示的平面区域，如图所示．
由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线， 由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小．
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝4，
x ＋2＝0，
得C (－2,3)，
∴u 最小值＝3×(－2)－3＝－9.
当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝4，
x －y ＝1，得B (2,1)，
∴u 最大值＝3×2－1＝5.
∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9. ⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0
表示的平面区域，
(2)作出二元一次不等式组
如图所示．
由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为1
2z －1，且随z 变化的
一组平行线．由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距1
2
z －1最小，即z 最小，
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2＝0，
x －y ＝1，得A (－2，－3)，
∴z 最小值＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.
当直线y ＝－12x ＋12z －1与直线Xx ＋2y ＝4重合时，截距1
2z －1最大，即z 最大，
∴z 最大值＝x ＋2y ＋2＝4＋2＝6.
∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.
10．解：设按第一种切割方式切割的钢条x 根，按第二种切割方式切割的钢条y 根，
根据题意得约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ≥15，
x ＋3y ≥27，
x >0，x ∈N *，
y >0，y ∈N *
，
目标函数是z ＝x ＋y ，
画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分．
由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝15，x ＋3y ＝27，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝3.6，y ＝7.8.
此时z ＝11.4，但x ，y ，z 都应当为正整数， 所以点(3.6,7.8)不是最优解．
经过可行域内的整点且使z 最小的直线是x ＋y ＝12， 即z ＝12，满足该约束条件的(x ，y )有两个：
(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，均可满足要求．。