初一数学专题四：线段动态问题(含详解答案)

线段的动态问题为各个学校期末考试的重难点，主要包括动点问题和动线段问题．模块一：线段的动点问题
1．主要分析步骤：
（1）数形结合，画图；
（2）设元，看清楚动点的速度和方向，表示线段长度；
（3）根据题中的等量关系列方程，并解方程．
2．动点问题求解的几个辅助工具：
（1）数轴上两点的距离
①两点间的距离=这两点分别所表示的数的差的绝对值；
②两点间的距离=右端点表示的数-左端点表示的数．例如：
a ，
b 两点的距离可表示为b a -，也可表示为||a b -或者||b a -．
特别地，||a 可以看成a 和0两点的距离，||b 可以看成b 和0两点的距离，如果||||a b =，那么有a b =或a b =-．
（2）点在数轴上运动时，满足左减右加
一个点表示的数为a ，若向左运动b 个单位后表示的数为a b -；
一个点表示的数为a ，若向右运动b 个单位后所表示的数为a b +．
（3）数轴上线段中点公式：
如图，线段ab 的中点所表示的数是a b +2
．模块二：动线段问题
模块一
线段的动点问题
已知数轴上A 、B 两点对应数分别为-2和4，P 为数轴上一动点，对应数为x.
（1）若P 为线段AB 的三等分点，求P 对应的数；
（2）数轴上是否存在点P ，使P 点到A 点、B 点距离和为10？若存在，求出x 值，若不存在，请说明理由．
（3）若A 、B 点和P 点（P 点在原点）同时向左运动，它们的运动速度分别为1、2、1个单位长度/分，则第几分钟时，P 为线段AB 的中点？第几分钟的时候P 到A 和B 的距离相等？
学习是件很有意思的事
（1）∵点P 为线段AB 的三等分点，∴AP AB 1=3或BP AB 1=3①当AP AB 1=3
时，得到2=2x+，得x =0②当BP AB 1=3
时，得到x 4-=2，得x =2∴P 对应的数为0或2．
（2）假设存在点P ，则PA =+2x ，PB x =-4，
∴||||x x +2+-4=10
解得，x =-4或x =6．
（3）①设经过t 分钟后，P 为AB 的中点
则A 表示的数为t -2-，B 表示的数为t 4-2，P 表示的数为t -，则由题意得，t t t -2-+4-2=-2
，得到t =2.②设经过x 分钟后，P 到A 和B 的距离相等.
则A 表示的数为x -2-，B 表示的数为x 4-2，P 表示的数为x -，∴PA x x =-2-+=2，PB x x x
=4-2+=4-∴||x 4-=2
解得x =2或x =6
．
已知数轴上顺次有A 、B 、C 三点，分别表示数a 、b 、c ，并且满足()2a +|b +|=+1250，b 与c 互为相反数．两只电子小蜗牛甲、乙分别从A ，C 两点同时相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为3个单位/秒．
（1）求A 、B 、C 三点分别表示的数，并在数轴上表示A 、B 、C 三点
（2）运动多少秒时，甲、乙到点B 的距离相等？
（3）当点B 以每分钟一个单位长度的速度向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点C 以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后B 点到点A 、点C
的距离相等？（1）∵()2a +|b +|=+1250，
∴a +12=0，b +5=0，
解得a =-12，b =-5.
又∵b 与c 互为相反数，∴c =5，
∴A 、B 、C 三点分别表示的数是-12，-5，5．
表示在数轴上是：
学习是件很有意思的事
（2）设运动x 秒时，甲、乙到点B 的距离相等．
则甲所表示的数为x -12+2，乙所表示的数为x
5-3则依题意，得x x 72=10-3-，解得x =3或x 17=5
．答：运动3s 或者s 175
时，甲、乙到点B 的距离相等．（3）设t 分钟后点B 到点A 和点C 的距离相等．
则点A 所表示的数为t -12-5，点B 所表示的数为t -5-，
点C 所表示的数为t 5-20．则由题意得，t t t t
5-20+5+=-5-+12+5解得：t 3=23或者t 17=15
．如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，O 为原点，点C 表示的数为6，BC =4，AB =12.
（1）写出数轴上点A 、B 表示的数；
（2）动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴左匀速运动，M 为AP 的中点，点
N 在线段CQ 上，且CN CQ 1=3
，设运动时间为()t t >0秒.t 为何值时，OM=2BN
．（1）C Q 表示的数为6，4BC =，OB ∴=6-4=2，∴B 点表示2.
AB =12Q ，AO ∴=12-2=10，A ∴点表示-10；
（2）由题意得，点P 表示的数为t -10+6，点Q 表示的数为t 6-3，
则点M 表示的数为t t -10-10+6=-10+32
，又∵CN CQ 1=3
，∴点N 表示的数为t 6-，由题意可得t t -10+3=24-，即t t -10+3=8-2，解得t 18=5
或t =2
．如图，A 是数轴上表示-30的点，B 是数轴上表示10的点，C 是数轴上表示18的点，点A 、B 、C 在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A 运动的速度是6个单位长度每秒，点B 和C 运动的速度是3个单位长度每秒.设三个点运动的时间为t （秒）．
（1）当t 为何值时，线段AC =6（单位长度）？
（2）t ≠5时，设线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，求PM PN 2-=2时t
的值．
学习是件很有意思的事
（1）A 表示的数为t -30+6，B 表示的数为t 10+3，C 表示的数为t
18+3||AC t =48-3=6，解得t =18或t =14
（2）P 表示的数为t -15+3，M 表示的数为t 35+2，N 表示的数为t 39+2则PM t 3=-202，PN t 3=-242
由题意得，PM PN 2-||t t 3=3-40-
-24=22解得，t 28=3或443
．如图5-1，已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1、3，点P 为数轴上的一动点，其对应的数为x ．
（1）如果点P 是AB 的中点，则x =________；
（2）如图5-2，点P 以1个单位长度/s 的速度从点O 向右运动，同时点A 以5个单位/s 的速度向左运动，点B 以20个单位/s 的速度向右运动，在运动过程中，M 、N 分别是AP 、OB 的中点，问：AB OP MN
-的值是否发生变化？请说明理由
.图5-1图
5-2
（1）x =1；
（2）AB OP MN
-的值不发生变化.由题意，O 为原点，设运动时间为t 分钟.
则P 表示的数为t ，A 表示的数为t -1-5，B 表示的数为t 20+3，
则M 表示的数为t -1-42，N 表示的数为t 20+32
．则AB t =25+4，OP t =，MN t =12+2，则AB OP MN
-=2为定值
．如图，在射线OM 上有三点A 、B 、C ，满足20cm OA =，60cm AB =，10cm BC =（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，两点同时出发.
学习是件很有意思的事
（1）当2PA PB =时，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，求点Q 的速度；
（2）若点Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P 、Q 两点相距70cm ？
（3）当点P 运动到线段AB 上时，取OP 和AB 的中点E ，F ，求OB AP EF -的值．
（1）设O 为原点，则A 表示的数为20，B 表示的数为80，C 表示的数为90，
设经过的时间t 秒后，PA =2PB.
则P 表示的数为t ，PA t =20-，PB t =-80，
∴t t 20-=2-80，可得t =60或t =140
当t =60秒时，可得Q 的速度为550÷60=
6（cm/s ）或者130÷60=2
（cm/s ）当t =140秒时，可得Q 的速度为550÷140=14（cm/s ）或者330÷140=14
（cm/s ）（2）设经过t 秒，P 、Q 两点相距70cm ，
则P 表示的数为t ，Q 表示的数为903t -，
∴PQ t =90-4=70，解得t =5或t =40∴t =5或t =40时，满足P 、Q 两点相距70cm
（3）P 表示的数为t ，E 表示的数为t 2
，F 表示的数为50，EF 的长度为()t t 50-20<<802
OB =80，AP t =-20，所以OB AP EF
-=2．模块二动线段问题
如图，数轴上线段2AB =（单位长度），4CD =（单位长度），点A 在数轴上表示的数是-10，点C 在数轴上表示的数是16.若线段AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动.
（1）问运动多少时8BC =（单位长度）；
（2）当运动到8BC =（单位长度）时，点B 在数轴上表示的数是_________；
（3）P 是线段AB 上一点，当B 点运动到线段CD 上时，是否存在关系式BD AP PC
-=3，若存在，求线段PC 的长；若不存在，请说明理由．
（1）A 表示的数为t -10+6，B 表示的数为t -8+6，
C表示的数为t
16-2，D表示的数为t
20-2由BC=8得到t t t
-8+6-16+2=8⇒=4或t=2.（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；
当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16.
（3）存在关系式BD AP PC
-
=3.
设运动时间为t秒，设P原来表示的数为x，A表示的数为t6-10，B表示的数为t6-8，C表示的数为t
16-2，D表示的数为t
20-2，P表示的数为x t
+6
BD t
=28-8，AP x=+10，PC t x
=8+-16
代入BD AP
PC
-
=3，解得x t
=15-8或者x t
33
=-8
2
，
所以PC t x
=8+-16=1或1
2
．
模块一线段的动点问题
已知A 、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为-20，B 点对应的数为100.
（1）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数；
（2）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求
D 点对应的数．
（1）设运动的时间为t ，∴P 表示的数为t 100-6，Q 表示的数为t -20+4，
由题得，t t 100-6=-20+4，可得t =12，此时C 对应的数为28
（2）设运动的时间为t ，∴P 表示的数为t 100-6，Q 表示的数为t -20-4，
由题得，t t 100-6=-20-4，可得t =60s ，此时D
表示的数为-260．
如图2-1，点A 、B 分别在数轴原点O 的左右两侧，且OA OB 1+50=3
，点B 对应数是90．
（1）求A 点对应的数；
（2）如图2-2，动点M 、N 、P 分别从原点O 、A 、B 同时出发，其中M 、N 均向右运动，速度分别为2个单位长度/秒，7个单位长度/秒，点P 向左运动，速度为8个单位长度/秒，设它们运动时间为t 秒，问当t 为何值时，点M 、N 之间的距离等于P 、M 之间的距离；
（3）如图2-3，将（2）中的三动点M 、N 、P 的运动方向改为与原来相反的方向，其余条件不变，设Q 为线段MN 的中点，R 为线段OP 的中点，求RQ RO PN 22-28
-
5
．
图2-1图2-2
图2-3
（1）A 对应的数为-120．
（2）M 表示的数为2t ，N 表示的数为t -120+7，P 表示的数为t
90-8||MN t =-120+5||PM t t s =10-90⇒=14．
（3）N 表示的数为t -120-7，M 表示的数为t -2，
P 表示的数为t 90+8，Q 表示的数为t 9-60-2
，R 表示的数为t 45+4(.)()()RQ RO PN t t t 22-28-5=105+85⨯22-2845+4-5210+15=0．
如图3-1，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB AC 1=2
，点C 对应的数是200．（1）若300BC =，求点A 对应的数；
（2）如图3-2，在（1）的条件下，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发向左运动，同时动点R 从A 点出发向右运动，点P 、Q 、R 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M 为线段PR 的中点，点N 为线段RQ 的中点，多少秒时恰好满足4MR RN =（不考虑点R 与点Q 相遇之后的情形）；
（3）如图3-3，在（1）的条件下，若点E 、D 对应的数分别为-800、0，动点P 、Q 分别从E 、D 两点同时出发向左运动，点P 、Q 的速度分别为10单位长度每秒、5单
位长度每秒，点M 为线段PQ 的中点，点Q 在从是点D 运动到点A 的过程中，32
QC AM -的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
图3-1图3-2图3-3
（1）∵BC AC 1=300=
2
∴AC =600∵C 对应的数是200，则A 对应的数为200-600=-400
（2）设t 秒时，MR RN =4则P 表示的数为t -400-10，
R 表示的数为t -400+2，Q 表示的数为t 200-5，
∵M 为PR 的中点，∴M 表示的数为t
-400-4∵N 为RQ 的中点，∴N 表示的数为t 3-100-2
()MR t t t =-400+2--400-4=6（M 在左，R 在右）
()RN t t t 37=-100---400+2=300-22
（N 在右，R 在左）MR RN t t t s 7⎛⎫=4⇒6=4⨯300-⇒=60 ⎪2⎝
⎭.∴经过s 60时满足MR RN =4（3）设运动时间为t 秒，则P 表示的数为t -800-10，Q 表示的数为t -5.
M 为PQ 的中点，则M 表示的数为t t t -800-10-515=-400-22
.()QC t t =200--5=200+5，t AM 1515⎛⎫=-400--400-= ⎪22⎝
⎭∴()QC AM t 3315-=200+5⨯-=300222为定值.
模块二动线段问题
如图，P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点同时从P 、B 出发分别以1cm/s 和2cm/s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上）．已知C 、D 运动到任一时刻时，总有PD AC =2．
（1）线段AP 与线段AB 的数量关系是______________；
（2）若Q 是线段AB 上一点，且AQ BQ PQ -=，求证：AP PQ =；
（3）若C 、D 运动5秒后，恰好有CD AB 1=2
，此时C 点停止运动，D 点在线段PB 上继续运动，M 、N 分别是CD 、PD 的中点，问MN AB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出MN
AB 的值．（1）根据C 、D 的运动速度知：2BD PC =，
PD AC =2Q ，∴()BD PD PC AC +=2+，即2PB AP =，
∴点P 在线段AB 上的13
处，即AB AP =3.故答案为：AB AP =3；
（2）证明：如图1，由题意得AQ BQ >，AQ AP PQ ∴=+，又AQ BQ PQ -=Q ，
AQ BQ PQ ∴=+，AP BQ ∴=.由（1）得，AP AB 1=3，PQ AB AP BQ AB 1∴=--=3
.（3）运动5秒时，cm PC =5，cm BD =10.由（1）可知AP AB 1=3
设AP x =，则AC AP PC x =-=-5，PB x =2，PD PB BD x =-=2-10.
CD AB 1=2Q ，()x x x x 1∴+2-10=⨯3⇒=102
则D 仍为动点，设A 为原点
AB AP =3=30Q ∴B 表示的数为30，设运动了t 秒（t >5）则D 表示的数为t 30-2，因为M 为CD 的中点，所以M 表示的数为t 5+30-22
因为N 为PD 的中点，所以N 表示的数为t 10+30-22
t t MN 10+30-25+30-25=-=222
MN AB 512∴==3012为定值.。