2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型

高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 这样家庭的预算约束可以写作：


0
e
R (t )
L(t ) K (0) C(t ) dt H H


0
e R(t ) A(t )w(t )
L(t ) dt H
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
n (1 ) g 0
f ' (k gold ) < f ' (k * (t ))
因此 k * k gold
。
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2.3 经济的动态学
2.3.4 初始值与经济运行路径
c
0 c
A
0 k
B
C
F D
O
k (0)
k*
k
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2.3 经济的动态学
2.3.5 鞍点路径
c
0 c
k 0
如果我们引入消费 者预算约束和资本 存量为正的条件， 鞍点路径是一个经 济唯一可能运行的 路径。
O
k*
k
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2.4 平衡增长路径
变量 绝 对 量 K L A AL Y C 相 对 量 k K/L y Y/L c C/L K/Y s 资本存量 含义 平衡增长速度 n+g n g n+g n+g n+g 0 g 0 g 0 g 0 0 c=c* y=f(k)=Y/AL F(cK,cAL)=cF(K,AL) C=ALc k=k* k=K/AL 备注证明
高2.3.2 k的动态学
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2.3 经济的动态学
2.3.2 k的动态学
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2.3 经济的动态学
2.3.3 相图 注意：k*小于黄金 率资本存量水平 f ' ( k gold ) ( n g )
f ' (k * (t )) g
2.2.2 家庭的行为 家庭的行为是去选择各个时刻t的消费，以使家庭在服 从预算约束的条件下获得最大的终生效用，即 ：
L(t ) max : U e u[C (t )] dt t o H L(t ) K (0) L(t ) R (t ) R (t ) s.t.: e C (t ) dt e A(t ) w(t ) dt 0 0 H H H
0
*
f k f k *
c
0 c 0 c
*

0
0 当 k k 时， f k f k * c
0 c
高级经济学Ⅰ（宏观部分） k
0 当 k k 时， f k f k c
* *
0 当 k k *时， f k f k * c
k
2.3 经济的动态学
2.3.2 k的动态学
t f k t c t n g k t k
t 0 c t f k t n g k t k t 0 c t f k t n g k t k t 0 c t f k t n g k t k
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2.6 拉姆齐模型的基本结论
拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平 衡路径的基本结论。 索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例， 它必须对应于后者特殊的参数和稳态。 拉姆齐模型的特点在于储蓄的决定被内生化了。 拉姆齐模型中的任意初始状态不一定收敛到稳 态，会存在发散的情况，而索洛模型则不会。



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2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 只要资本的实际收益率r（t）超过未来消费的贴现率ρ， 人均消费就要增长。 在资本实际收益率与未来消费贴现率之差额既定的情 况下， θ越小，人均消费增长率的变化就越大，这意 味着家庭越愿意让消费随着时间来变化。 假如c没有按照欧拉方程的方式变化，那么家庭就能以 一种无需改变家庭终生支出的现值的办法来重新安排 它的消费，方可使家庭的终生效用达到提高。 对于任何给定的c(0)，都可根据欧拉方程来确定单位 有效劳动的消费运行路径 。
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2.7 李嘉图等价
假设：1.现在有这样一个人，他每年税后收入500块钱，他总是把收入的 60%消费，40%储蓄（稳定型）；2.该国的政府在之前年份中是收支平 衡的，无负债； 3.两期简单模型，只存在两年。 第一年，政府决定给这个人A减税100块钱（比如奖励重大贡献），那么 这个人的收入就增加了100块钱。但是政府之前预算是平的，没有闲钱怎 么办？政府向A发行了1年期国债100元，5%利率。而A这个人也决定购 买了，此时我们可以发现，A这个人资产增加了，由于只是这一年，我们 可以说他这一年的收入增加了，先前的500+100（减税所得）—100 （拿来购买国债）+100（国债现值）=600。 现在他决定对新增的100块钱在储蓄和消费之间按4：6的比例分配,那么 他的储蓄是240，消费就是360。 可见，政府税收减少100导致政府储蓄 减少100，而私人储蓄只增加了40，整个经济的消费增加了60。 或者这样理解：这个人原本是要储蓄240元的，现在买了国债相当于存了 100元存款啊，那么他再存140就好了，而买完国债后的可支配收入是 500，去掉存的140，他会消费360. 这个就是传统的观点。积极财政政策的经济扩张效应，也是广泛接受的。
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2.5 修正的黄金率资本存量
拉姆齐模型表明在索洛模型中高于黄金资本存 量的平衡增长路径是不可能的。 经济不收敛于产生最大c的平衡增长路径，而是 收敛于一个较低的水平c*。 k*是经济将收敛到的最优k值，人们也就把k* 叫做修正的资本黄金律水平(modified golden-rule capital stock)。
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2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率和实际工 资率的运动路径 r（t）和 w（t）视为既定。家庭只能 接受它们，而无法影响它们，因为要素市场是完全竞 争的。 家庭的目标是实现终生效用最大化。在追求这一目标 的过程中，家庭的经济活动要受到预算约束的限制， 也就是说，家庭终生消费的现值不能超过家庭初始拥 有的财富与家庭终生劳动收入的现值之和。
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2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 贴现率：按连续复利计算，从时刻0到时刻t这一时间 区间上单位资本的(连续复利)利率为：
R(t )
r( ) d
0
t
这意味着时刻0的1单位资本，在到达时刻t时变成为 e R(t ) 个单位的资本。等价地说，未来t时刻的一元钱的价值(即 R (t ) 现值)是 e 。所以R(t)就是未来价值向当前的贴现率。
劳动力
知识或技术 有效劳动 总产出 总消费 有效劳动的平均资本
人均资本
有效劳动的人均产出 人均产出 有效劳动的人均消费 人均消费 资本产出比
储蓄率
s=(y-c)/y
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2.4 平衡增长路径
结论： 将储蓄率内生化并没有改变索洛模型中关于平衡增长路 径的描述。即使储蓄率是内生的，外生的技术进步依 然是人均产出持续增长的唯一根源。
r (t ) f (k (t ))
w(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t ))
劳动的边际产出 F ( K , AL) L 不同于有效劳动的边际产出 F ( K , AL) ( AL) ， 二者之间的 注意： 关系为：F ( K , AL) L A F ( K , AL) ( AL) 。 因此， 每个工人(即每个家庭成员)在时刻 t 的劳动收入应该等于 A(t ) w(t ) 。
t
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2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 求解此效用最大化问题，可得描述C(t)调整路径的 “欧拉方程” ：
C (t ) r (t ) C (t )

和每单位有效劳动消费的“欧拉方程” ：
c(t ) C (t ) A(t ) r (t ) g c(t ) C (t ) A(t )
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2.1 模型的假设条件
2.1.2 关于厂商部门的假设 市场上有大量的企业存在，这些企业彼此相同，具有相 同的生产函数 Y=F(K,AL)，而且生产函数满足索洛模 型的假设(即与第一章提出的假设相同)。 企业在完全竞争的要素市场中雇用工人和租用资本； 知识要素A被企业视为既定，并假定以增长率g在增长， 这里g被当作外生变量看待； 家庭是企业的股东，企业的目标是实现利润最大化，并 把获得的利润全部分配给家庭。
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2.1 模型的假设条件
2.1.1基本假设 完全竞争市场结构； 长生不老的不断扩展 的家庭（有限寿命的 个人和基于利他主义 的代际转让）； 家庭和个人完全同质； 忽略资本的折旧。
租让资本，获取利息 提供劳动，赚取工资 购买产品，进行消费
家庭
相互拥有
厂商
销售产品，获得利润 雇佣劳动，支付工资 租用资本，支付利息
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2.1 模型的假设条件
2.1.3 关于家庭部门的假设 市场上存在着大量的家庭，这些家庭也彼此相同：相同 的家庭成员、相同的人口以及相同的资本持有量，并且 各个家庭成员也是完全相同的； 每个家庭的人口都以增长率n增长，家庭的每个成员在 任何时点上都向企业提供一个单位的劳动； 家庭把持有的任何资本都租给企业使用； 设经济在初始时刻的资本总额为 K(0)，时刻t的资本总 额为K(t)。用H表示经济中的家庭总数，则每个家庭的 初始持有资本量为K(0) /H。
2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
2.0 拉姆齐问题
本章模型由拉姆齐（Ramsey，1928）首先提 出，并由卡斯（Cass，1965）和库普曼 （Koopmans，1965）发展的。 拉姆齐模型的中心问题是跨时资源分配。 拉姆齐模型中储蓄率是内生的，解决了索洛模 型中储蓄率的“动态无效”问题。 拉姆齐模型提供了一个自然的参照系。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.3 关于家庭部门的假设 定义家庭效用函数为：
U
t o
e
t
u[C (t )]
L(t ) dt H
其中，C(t)表示t时刻家庭每个成员的消费； u( ▪)是瞬时效用函数，它给出每一家庭成员在给定时点的效用； L(t)是经济中的总人口，因此，L/H等于每个家庭的人口； u(C(t))L(t)/H是t时刻家庭的总即期效用； ρ是贴现率，ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未来的消费评价 越低。
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2.1 模型的假设条件
2.1.3 关于家庭部门的假设 即期效用函数的形式为：
C (t )1 其中 0 ， n (1 ) g 0 u[C (t )] 1 此即期效用函数有以下几个特点：
（1）边际效用为正（计算即期效用函数的边际效用）；
（2）边际效用的消费弹性(相对风险回避系数）：θ ；
（3） n (1 ) g 0 保证了定义家庭终生效用的定积分 是收敛的。
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2.2 家庭与厂商的行为
2.2.1 厂商的行为 企业按照边际产出向劳动和资本支付报酬，用r（t） 表示时刻t的实际利率，即向单位资本支付的报酬；用 w（t）表示时刻t的实际工资率，即向单位有效劳动支 付的报酬。可以表示成：
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2.3 经济的动态学
2.3.1 c的动态学 由于: r (t ) f ' (k (t )) 将其代入欧拉公式可得：
c( t ) f ' ( k ((t )) g c( t )

设 k *是 f k g 0的解。则有
t c c t