江苏省扬州中学2019届高三数学上学期12月月考试题

2018~2019扬州中学高三上学期12月月考数学
一.填空题： 1．函数3sin 24y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期是 ▲ ． 2．设2
(2)(z i i =-为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ． 3．若角α的终边经过点()3,2-A ,则αtan 值为 ▲ ． 4．已知集合2
{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A
B = ▲ ．
5．双曲线
22
1169
x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ ． 6. 若函数()11
x
m
f x a =+-是奇函数，则m 为 ▲ ．
7. 已知35
(0,
),(,),sin(),cos 22513
π
παβπαββ∈∈+=-=- ，则sin α的值等于 ▲ ．
8. 在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，
AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱
111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．
9．抛物线2
y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角
形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点(,)P x y 是区域D 内任意一点，则2x y +的取值范围是 ▲ ．
10．设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =
，2
3
BE BC =. 若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数）
，则12λλ+的值是 ▲ ．
11.若函数()f x 在定义域D 内某区间H 上是增函数，且
()f x x
在H 上是减函数，则称
()y f x =的在H 上是“弱增函数”．已知函数()()24g x x m x m =+-+的(]0,2上是
“弱增函数”，则实数m 的值为 ▲ ． 12.已知实数0a b >≥,满足11
1a b a b
+=+-，则32a b +的最小值为 ▲ ．
13. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，点A ，B 1，B 2，F 依次
为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点M 恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 ▲ ．
14.已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，
，
．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅，，
则实数a 的取值范围为 ▲ ．
二.解答题：
15.(本小题满分14分)
已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b αα
ββ=＝，，0βαπ<<<. （1）若a b ⊥，求||b a -的值；
（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求α，β的值.
16.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面A B C D ，
AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于
点,E F ．
（1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求证：//AB EF ．
17.(本小题满分14分)
如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为
120,,AB AC ︒的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.
（1）若围墙AP,AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？ （2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
18.(本小题满分16分)
已知椭圆C ：22221x y a b
+=（0a b >>）和圆O ：222
x y a +=，12(1,0),(1,0)F F -分别
是椭圆的左、右两焦点，过1F 且倾斜角为α（0,2πα⎛
⎤
∈ ⎥⎝
⎦
）的动直线l 交椭圆C 于,A B
两点，交圆O 于,P Q 两点（如图所示，点A 在x 轴上方）.当4
π
α=
时，弦PQ
（1）求圆O 与椭圆C 的方程；
（2）若22,,AF BF AB 依次成等差数列，求直线PQ 的方程.
19.(本小题满分16分)
A
P
Q
B
C
y
x
P A
Q
B F 1
O
F 2
已知函数2
()ln f x x x ax =+．
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，．
① 求实数a 的值；
② 设函数()()f x g x x =，当0s >时，试比较()g s 与1
()g s
的大小； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：11
()2
f x >-．
20.(本小题满分16分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足11b =，22b =，
12
n n n n T b
T b ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）是否存在正整数n ，使得
1
1
n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求满足要求
的那几项；若不存在，说明理由．
答案 ：
1．
2．5 3. 2
3
-
4. {1,1}- 5．y=±3/4x. 6.2 7.6365
8． 124 9． 1[2,]2- 10． 12 11.4 12.6
13. 12
14.(
14⎤-∞⎦，
15.（1）由题意 2
2-=|a b |，即（a -2
=）
b 2222-=a a b+b （2）a +b (cos cos ,sin sin )(0,1)αβαβ=++=，∴cos cos 0
sin sin 1
αβαβ+=⎧⎨
+=⎩，由此得
cos cos()απβ=-，由0βπ<<，得0πβπ<-<，又0απ<<，故απβ=-，
代入sin sin 1αβ+=得1sin sin 2αβ==，而αβ>，∴56πα=，6
π
β=.
16. 证：（1）因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC CD ⊥，
又因为CD AC ⊥，所以CD ⊥平面PAC ． （2）因为AB //CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以//AB 平面CDEF ，
又因为平面PAB 平面CDEF EF =，AB ⊄平面CDEF ，所以//AB EF ．
17.本题使用二次函数亦可.
18（1
）PQ =Q 2
2
244
PQ OQ OD ∴=+=，即24a =，从而23b =， ∴椭圆C 的方程为：22
143
x y +
=，O e ：224x y +=. （2）设22,AF s BF t ==，121224,24AF AF a BF BF a +==+==Q ，又
Q 22,,AF BF AB 的长成等差数列，28t s s t ∴=+-- ，8
3
t ∴=
设00(,)B x y ，由22
0022
0064(1)91
43
x y x y ⎧-+=⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩
解得4(,3-，
k ∴=∴PQ
：y =+
19.（1）①因为()ln 21f x x ax '=++，所以(1)21f a '=+， 由曲线()y f x =在1x =处的切点为(1)a ，，
所以在1x =处的切线方程为(21)(1)y a a x -=+-． 因为切线过点(22)A -，，所以1a =-． ②()ln g x x x =-，
由1111()()(ln )(ln )2ln g s g s s s s s s s s
-=---=-+．
设1()2ln h s s s s =-+（0s >），所以2
22
(1)
21()10s h s s s s -'=--=-≤，
所以()h s 在(0)+∞，为减函数．
因为0s >，所以当1s >时，有1s s >，则1()()gs g s <；当1s =时，有1s s =，则1()()gs g s
=； 当01s <<时，有1s s <，则1()()g s g s
>．
（2）由题意，()ln 210f x x ax '=++=有两个不等实根1x ，2x （12x x <）． 设()ln 21g x x ax =++，则1()2g x a x
'=+（0x >），
当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，不符合题意； 当0a <时，由()0g x '=，得102x a =->，
列表如下： 由题意， 11()ln()022g a a -=->，解得102a -<<，所以(1)120g a =+>，
因为12x x <，所以101x <<． 因为111()ln 210f x x ax '=++=，所以1
11ln 2
x ax +=-， 所以11111111ln (ln 1)
()ln 22
x x x f x x x x +-=-⋅=（101x <<）． 令(ln 1)
()2
x x x ϕ-=
（01x <<）， 因为ln ()02
x x ϕ'=<，所以()x ϕ在(0,1)上为减函数，
所以11()(1)2x ϕϕ>=-，即11()2f x >-，所以，命题得证．
20.解：(1) 因为22n n S a =-，所以当2n ≥时，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=- ，即12n n a a -=，又1122S a =-，则12a =，
所以数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，故2n
n a =．
x
1(0,)2a -
12a - 1(,)2a -+∞ ()g x ' + 0 - ()g x
↗
极大值
↘
由12n n n n T b T b ++=得 33111122233445112
,,,,,n n n n n n n n T b
T b T b T b T b T b T b T b T b T b --+++=====， 以上n 个式子相乘得112
12
n n n T b b T b b ++=，即12n n n T b b += ①，当2n ≥时，112n n n T b b --=②，
两式相减得 112()n n n n b b b b +-=-，即112n n b b +--=（2n ≥），
所以数列{}n b 的奇数项、偶数项分别成等差数列，
又
11
23
T b T b =，所以32123b T b b ==+=，则1322b b b +=， 所以数列{}n b 是以11b =为首项，1为公差的等差数列，因此数列{}n b 的通项公式n b n =．
另法：由已知显然0n b ≠，因为12n n n n T b T b ++=，所以1112n n n n n n T T b b b b ++++=，则数列1
{}
n n n T
b b +是常数列，所以
11121
2n n n T T b b b b +==，即12n n n T b b +=，下同上． （2）当1n =时，1
1
n n n n a b a b +++-无意义，
设1121(2,)2(1)
n n n n n n n a b n c n n a b n *+++++==∈--+Ｎ≥，显然1n c >，
则11
11
12221202(2)2(1)[2(2)][2(1)]
n n n n n n n n n n n n c c n n n n +++++++++-⋅-=-=<-+-+-+⋅-+， 即11n n c c +>>，
显然212(1)n n
n n ++>-+，所以234731c c c =>=>>
>，
所以存在2n =，使得72b c =，33b c =，
下面证明不存在2n c =，否则21
22(1)
n n n
n c n ++==-+，即23(1)n n =+， 此式右边为3的倍数，而2n
不可能是3的倍数，故该式不成立． 综上，满足要求的n b 为37,b b ．。